在統(tǒng)計學(xué)中，除了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這類刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的量以外，還有一類刻畫數(shù)據(jù)波動(離散)程度的量，其中最重要的就是方差. 本節(jié)我們將在實際問題情境中，了解方差的統(tǒng)計意義并運用方差解決問題.
問題 農(nóng)科院計劃為某地選擇合適的甜玉米種子.選擇種子時，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題.為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗田進(jìn)行試驗，得到各試驗田每公頃的產(chǎn)量 (單位：t) 如下表所示.
根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計，農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢?上面兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是
說明在試驗田中，甲、乙兩種甜玉米的平均產(chǎn)量相差不大.由此可以估計出這個地區(qū)種植這兩種甜玉米，它們的平均產(chǎn)量相差不大.
為了直觀地看出甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的情況，我們把這兩組數(shù)據(jù)畫成下面的圖20.2-1和圖20.2-2.
比較上面的兩幅圖可以看出，甲種甜玉米在各試驗田的產(chǎn)量波動較大，乙種甜玉米在各試驗田的產(chǎn)量較集中地分布在平均產(chǎn)量附近. 從圖中看出的結(jié)果能否用一個量來刻畫呢？
為了刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，可以采用很多方法. 統(tǒng)計中常采用下面的做法：設(shè)有n 個數(shù)據(jù)x1， x2 ，… ,xn，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 … , 我們用這些值的平均數(shù)，即用 來衡量這組數(shù)據(jù)波動的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s 2.
人數(shù)相同的八年級甲、乙兩班學(xué)生在同一次數(shù)學(xué)單元測試中，班級平均分和方差如下： =80，s2甲=240，s2乙=180，則成績較為穩(wěn)定的班級是( ) A．甲班 B．乙班 C．兩班成績一樣穩(wěn)定 D．無法確定
在本題中，給出平均分和方差兩種數(shù)據(jù)，那么平均分要考查的是甲、乙兩班的成績的優(yōu)劣，而成績的穩(wěn)定性就要看兩班成績的方差了．那么所謂的穩(wěn)定性，也就是指成績的波動．成績波動越小，成績越穩(wěn)定．根據(jù)“方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大：方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，我們很容易發(fā)現(xiàn)乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成績較穩(wěn)定．
在利用方差比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況時，一定要先計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．一般說來，平均數(shù)可能反映數(shù)據(jù)的優(yōu)劣程度，如果在平均數(shù)上已經(jīng)能夠區(qū)分幾組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，那么就不用再考慮方差的大小了．但在實際的習(xí)題中，往往都是平均值相同，那么此時就要考慮數(shù)據(jù)的方差情況了．由此可得到：在解決問題時，要先算平均數(shù)，當(dāng)平均值不同時，擇優(yōu)選??；當(dāng)平均數(shù)相同時，比較方差，選擇波動較小的一組數(shù)據(jù)．
在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個芭蕾舞團(tuán)都表演了舞劇《天鵝湖》, 參加表演的女演員的身高(單位：cm)如表所示.哪個芭蕾舞團(tuán)女演員的身高更整齊？
甲、乙兩團(tuán)演員的身高平均數(shù)分別是
由s甲2 ＜ s乙2 可知，甲芭蕾舞團(tuán)女演員的身高更整齊.
一般地，設(shè)n 個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn 的平均數(shù)為 ，則方差 s2＝它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
對于一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)3，3，6，5下列說法錯誤的是(　　) A．眾數(shù)是3 B．平均數(shù)是4 C．方差是1.6 D．中位數(shù)是6
設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn 的平均數(shù)為x，方差為s 2，若s 2＝0，則(　　)A．x＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
若數(shù)據(jù)10，9，a，12，9的平均數(shù)是10，則這組數(shù)據(jù)的方差是(　　)A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.4
若一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x 的方差與另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差相等，則x 的值為(　　) A．1 B．6 C．1或6 D．5或6
某快餐公司的香辣雞腿很受消費者歡迎.現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質(zhì)相近.快餐公司決定 通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿.檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個，記錄它們的質(zhì)量(單位：g)如表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購哪家加工廠的雞腿？
檢查人員從甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠各隨機(jī)抽取的15個雞腿分別組成一個樣本，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是
由 可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由s甲2 ＜ s乙2可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻. 因此，快餐公司應(yīng)該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿.
在比較兩組數(shù)據(jù)時，一般先看平均數(shù)，在平均數(shù)相同或相近的情況下，再分析穩(wěn)定性問題，而方差是反映數(shù)據(jù)的波動大小的量，通過比較方差的大小來解決問題．
某跳遠(yuǎn)隊準(zhǔn)備從甲、乙兩名運動員中選取成績穩(wěn)定的一名參加比賽. 下表是這兩名運動員10次測驗成績(單位：m)你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪名運動員參賽？為什么？
x甲＝ ×(5.85＋5.93＋…＋6.19)＝6.01(m)，s甲2＝ ×[(5.85－6.01)2＋(5.93－6.01)2＋…＋(6.19－6.01)2] ＝0.009 54(m2)，x乙＝ ×(6.11＋6.08＋…＋6.21)＝6(m)，s乙2＝ ×[(6.11－6)2＋(6.08－6)2＋…＋(6.21－6)2] ＝0.024 34(m2)．因為s甲2s乙2，則兩個隊的隊員的身高較整齊的是(　　) A．甲隊 B．乙隊 C．兩隊一樣整齊 D．不能確定
某創(chuàng)意工作室6位員工的月工資如圖所示，因業(yè)務(wù)需要，現(xiàn)決定招聘一名新員工，若新員工的月工資為4 500元，則下列關(guān)于現(xiàn)在7位員工月工資的平均數(shù)和方差的說法正確的是(　　) A．平均數(shù)不變，方差變大B．平均數(shù)不變，方差變小C．平均數(shù)不變，方差不變D．平均數(shù)變小，方差不變
為了響應(yīng)學(xué)?！皶阈@”建設(shè)，陽光班的同學(xué)們積極捐書，其中宏志學(xué)習(xí)小組的同學(xué)捐書本數(shù)分別是：5，7，x，3，4，6.已知他們平均每人捐5本，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和方差分別是(　　)A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
某校數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)課外活動中，隨機(jī)抽查該校10名同學(xué)參加今年初中學(xué)業(yè)水平考試的體育成績，得到結(jié)果如下表所示：
下列說法正確的是(　　)A．這10名同學(xué)體育成績的中位數(shù)為38分B．這10名同學(xué)體育成績的平均數(shù)為38分C．這10名同學(xué)體育成績的眾數(shù)為39分D．這10名同學(xué)體育成績的方差為2
小明等五位同學(xué)以他們的年齡為一組數(shù)據(jù)，計算出這組數(shù)據(jù)的方差是0.5，則10年后小明等五位同學(xué)年齡的方差(　　)A．增大 B．不變 C．減小 D．無法確定
易錯點：對方差的意義理解不透導(dǎo)致出錯.
如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn 的方差是4，則另一組數(shù)據(jù)x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的方差是(　　) A．4 B．7 C．8 D．19
已知：一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，方差是 ，那么另一組數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均數(shù)和方差分別是(　　)A．2，　　 B．2，1　　 C．4，　　 D．4，3
下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)該選擇(　　)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲、乙、丙、丁四名射擊運動員在選拔賽中，每人射擊了10次，甲、乙兩人的成績?nèi)绫硭荆?、丁兩人的成績?nèi)鐖D所示．欲選一名運動員參賽，從平均數(shù)與方差兩個因素分析，應(yīng)選(　　)
A. 甲 　　B．乙 C．丙 　　D．丁
甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊比賽，兩人在相同條件下 各射擊10次，射擊的成績?nèi)鐖D所示． 根據(jù)圖中信息，回答下列問題： (1)甲的平均數(shù)是________， 乙的中位數(shù)是________； (2)分別計算甲、乙成績的方 差，并從計算結(jié)果來分析，你認(rèn)為哪名運動員的射擊成 績更穩(wěn)定？
(2)s甲2＝ [(6－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋ (8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋ (7－8)2]＝1.6， 因為x乙＝ (7＋10＋7＋7＋9＋8＋7＋9＋9＋7) ＝8， 所以s乙2＝[(7－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋ (9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(7－ 8)2]＝1.2. 因為s乙2＜s甲2，所以乙運動員的射擊成績更穩(wěn)定．
我市某家電公司營銷點自去年12月份至今年5月份銷售兩種 不同品牌冰箱的數(shù)量如圖： (1)完成下表：? (2)請你依據(jù)折線圖的變化趨勢， 對營銷點今后的進(jìn)貨情況提 出建議．
(2)建議：從折線圖來看，甲品牌冰箱月銷售量呈上升趨勢， 進(jìn)貨時可多進(jìn)甲品牌冰箱．答案不唯一，合理即可．
某校舉辦了一次成語知識競賽，滿分10分，學(xué)生得分均 為整數(shù)，成績達(dá)到6分及6分以上為合格，達(dá)到9分或10 分為優(yōu)秀，這次競賽中，甲、乙兩組學(xué)生成績分布的折 線統(tǒng)計圖如圖所示，成績統(tǒng)計分析表如下所示．
(1)求出下列成績統(tǒng)計分析表中a，b 的值；(2)小英同學(xué)說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中排 名屬中游略偏上！”觀察上面表格判斷，小英是甲、乙 哪個組的學(xué)生；(3)甲組同學(xué)說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以 他們組的成績好于乙組，但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的 說法，認(rèn)為他們組的成績要好于甲組．請你給出兩條支 持乙組同學(xué)觀點的理由．
(1)由折線統(tǒng)計圖可知，甲組學(xué)生成績從小到大排列 為：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10， ∴其中位數(shù)a＝6.乙組學(xué)生成績的平均分b＝ ＝7.2.(2)∵甲組的中位數(shù)為6，乙組的中位數(shù)為7.5，而小英 的成績位于全組中上游，∴小英屬于甲組學(xué)生．(3)(答案不唯一)①乙組的平均分高于甲組，即乙組的 總體平均水平高； ②乙組的方差比甲組小，即乙組的成績比甲組的 成績穩(wěn)定．
1.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要統(tǒng)計量，反映 的是數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動的情況，對于同類問題的兩 組數(shù)據(jù)，方差越大，數(shù)據(jù)波動就越大，方差越小，數(shù)據(jù) 波動就越??；在統(tǒng)計中常用樣本方差去估計總體方差．2.一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)，所得 新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等．3.一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓟?shù)據(jù)的k 倍，則所得新數(shù) 據(jù)的方差變?yōu)樵瓟?shù)據(jù)方差的k2 倍．

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20.2 數(shù)據(jù)的波動程度

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