知識點01 三角形的認識與分類
三角形的認識：
如圖：由三條不在 上的線段首位順次連接組成的圖形。用符號“△”來表示，表示為 。
其中：點A、點B、點C時三角形的 。
線段AB、BC、AC是三角形的 。
∠A、∠B、∠C是三角形的 。
AB、AC與∠A相鄰，所以是∠A的 ，BC與∠A相對，所以是∠A的 ；
同理可得∠B、∠C的鄰邊與對邊。
題型考點：①判斷認識三角形。
三角形的分類：
三角形可按 或 進行分類。
①按邊分類：
②按角分類：
題型考點：三角形的分類。
【即學即練1】
1．圖中共有三角形 個，其中以AE為邊的三角形有 個．
【即學即練2】
2．關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確
B．甲、乙兩種分法均錯誤
C．甲的分法錯誤，乙的分法正確
D．甲的分法正確，乙的分法錯誤
知識點02 三角形的三邊關系
三角形的三邊關系：
由兩點之間線段最短可知，三角形的任意兩邊之和 第三邊。任意兩邊之差 第三邊。
解題時常用兩邊之差小于第三邊小于兩邊之和建立不等式。
題型考點：①判斷能否構成三角形。②求第三邊的范圍。
【即學即練1】
3．將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．2，3，5D．3，5，9
【即學即練2】
4．若一個三角形兩邊的長分別為2和6，則這個三角形第三邊的長可以是（ ）
A．3B．4C．6D．9
【即學即練3】
5．已知三角形的三邊長分別為3，5，x，則x不可能是（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．若三角形三邊長為3，2x+1，10，則x的取值范圍是 ．
知識點03 三角形的中線
三角形中線的定義：
如圖，三角形的頂點與 的連線段叫做三角形的中線。
三角形中線的性質：
①AM是三角形的中線M是BC的 BM CM＝ BC。
②中線平分三角形的 。即：
③中線分三角三角形的周長差等于對應另兩邊的差。即：
④三角形有 條中線，且三條中線交于一點，叫做三角形的 。
題型考點：①利用中線的性質進行與周長與面積有關的計算。
【即學即練1】
7．如圖，已知△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（ ）
第7題 第8題
A．2B．3C．4D．5
【即學即練2】
8．如圖，AD是△ABC的中線，AB＝5，AC＝4．若△ACD的周長為10，則△ABD的周長為（ ）
A．8B．9C．10D．11
知識點04 三角形的高線
三角形高線的定義：
如圖，過三角形的頂點作對邊的垂線， 之間的線段是三角形的高線。
BD是△ABC的高BD AC
銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形所有高線的畫法：


三角形的垂心：
三角形有 條高線，且三條高線交于一點，這個點叫做三角形的 。
高線與垂心的位置與三角形形狀的關系：
銳角三角形的三條高都在 ，垂心在 。
直角三角形有兩條高是 ，垂心在 。
鈍角三角形有兩條高在 ，垂心在 。
題型考點：①三角形高線的判斷與作圖。②根據(jù)高線與垂心的位置判斷三角形的形狀。
【即學即練1】
9．如所示的四個圖形中，線段BD是△ABC的高的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【即學即練2】
10．如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不能確定
知識點05 三角形的角平分線
三角形角平分線的定義：
如圖。三角形的一個內角平分線與這個角對邊相交，頂點和交點之間
的 是三角形的角平分線。
三角形角平分線的性質：
①AD是三角形的角平分線∠1 ∠2。
②三角形的角平分線把三角形分得的兩個小三角形的面積比等于被角平分線分邊分得的兩條線段比。即 。
③三角形有 條角平分線，三條角平分交于一點，這一點叫做三角形的 。
題型考點：①角平分線的認識。
【即學即練1】
如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則下列說法中，正確的是（ ）
A．AD是△ABE的中線
B．AE是△ABC的角平分線
C．AF是△ACE的高線
D．AE是△DAF的中線
知識點06 三角形的穩(wěn)定性
三角形的穩(wěn)定性：
三角形的三條邊確定，則這個三角形的 和 就會確定。這就是三角形的穩(wěn)定性。
題型考點：判斷三角形的穩(wěn)定性在生活中的應用。
【即學即練1】
12．如圖是位于汾河之上的通達橋，是山西省首座獨塔懸索橋，是連接二青會的水上運動、沙灘排球等項目及場館的主要通道，被譽為“時代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運用的數(shù)學原理是（ ）
A．三角形具有穩(wěn)定性
B．兩點確定一條直線
C．兩點之間，線段最短
D．三角形的兩邊之和大于第三邊
題型01 利用三角形三邊關系求取值范圍
【典例1】
已知a，b，c是一個三角形的三邊，且a，b滿足．則c的取值范圍是（ ）
A．c＞1B．c＜2C．1＜c≤2D．1＜c＜3
變式1：
在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，則n的取值范圍是（ ）
A．n＜11B．7＜n＜11C．9＜n＜17D．n＞7
變式2：
已知三角形三邊分別為2，a﹣1，5，那么a的取值范圍是（ ）
A．2＜a＜5B．3＜a＜6C．3＜a＜7D．4＜a＜8
題型02 利用三角形三邊關系化簡
【典例1】
已知a，b，c是三角形的三條邊，則|c﹣a﹣b|+|c+b﹣a|的化簡結果為（ ）
A．0B．2a+2bC．2bD．2a+2b﹣2c
變式1：
已知a，b，c是三角形的三邊長，化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝ ．
變式2：
已知三角形的三邊長分別為2，a﹣1，4，則化簡|a﹣3|﹣|a﹣7|的結果為 ．
題型03 三角形三邊關系與等腰三角形
【典例1】
等腰三角形的兩邊長分別為4和9，這個三角形的周長是（ ）
A．17B．22C．17或22D．17和22
變式1：
在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為16cm，則AB邊的取值范圍是（ ）
A．1cm＜AB＜4cmB．3cm＜AB＜6cm
C．4cm＜AB＜8cmD．5cm＜AB＜10cm
變式2：
等腰三角形的周長為26cm，一邊長為6cm，那么腰長為（ ）
A．6cmB．10cmC．6cm或10cmD．14cm
變式3：
已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足+（2a+3b﹣13）2＝0，則此等腰三角形的周長為（ ）
A．8B．6或8C．7D．7或8
題型04 三角形的中線與周長與面積的關系
【典例1】
如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長為30，則△BCD的周長是（ ）
A．20B．24C．26D．28
變式1：
在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3，AB與AC的和為13，則AC的長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例2】
已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為 cm2．
1．如圖，圖中三角形的個數(shù)共有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
2．下列關于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確
B．甲分法正確，乙分法錯誤
C．甲分法錯誤，乙分法正確
D．甲、乙兩種分法均錯誤
3．圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．以上都有可能
4．下列長度的三條線段中，能圍成三角形的是（ ）
A．5cm，6cm，12cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，6cm，10cmD．3cm，4cm，8cm
5．在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的長為整數(shù)，則BC的長可能是（ ）
A．2 cmB．3 cmC．6 cmD．7 cm
6．若a，b，c為△ABC的三邊長，化簡：|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ．
7．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（ ）
A．形狀相同的三角形B．面積相等的三角形
C．直角三角形D．周長相等的三角形
9．如圖，在△ABC中，點E是BC的中點，AB＝7，AC＝10，△ACE的周長是25，則△ABE的周長是 ．
第9題 第10題 第12題
10．如圖，在生活中，我們經(jīng)常會看見如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的（ ）
A．穩(wěn)定性B．靈活性C．對稱性D．全等性
11．一個三角形3條邊長分別為xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周長不超過39cm，則x的取值范圍是 ．
12．如圖，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，則點A到BD的距離是 ．
13．如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點，E點在邊AB上．
（1）若三角形BDE的周長與四邊形ACDE的周長相等，求線段AE的長．
（2）若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長．
14．已知，△ABC的三邊長為4，9，x．
（1）求△ABC的周長的取值范圍；
（2）當△ABC的周長為偶數(shù)時，求x．
15．已知a，b，c是三角形的三邊長．
（1）化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）若a＝10，b＝8，c＝6，求（1）中式子的值．
課程標準
學習目標
①三角形的認識與分類
②三角形的三邊關系
③三角形的中線、高線以及角平分線
④三角形的穩(wěn)定性
認識三角形并了解三角形的相關元素，并能根據(jù)三角形的特點對其進行分類。
掌握三角形的三邊關系，能夠利用三邊關系解題。
掌握三角形的中線、高線、角平分線以及他們的性質。
掌握三角形的穩(wěn)定性并了解它在生活中的應用。

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