知識(shí)點(diǎn)01 多邊形的認(rèn)識(shí)
多邊形的概念：
在平面內(nèi)，由多條線段首位順次連接所組成的圖形是多邊形。組成的線段有多少條，則圖形就是一個(gè)幾邊形。
多邊形的相關(guān)概念：
如圖：組成多邊形的線段叫做多邊形的 邊 ；相鄰兩條邊的交點(diǎn)叫多邊形的 頂點(diǎn) ；相鄰兩條邊構(gòu)成的角是多邊形的 角 ；任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)間的連線段叫做多邊形的 對(duì)角線 ；多邊形的邊與鄰邊的延長(zhǎng)線構(gòu)成的角叫做多邊形的 外角 。
題型考點(diǎn)：判斷圖形。
【即學(xué)即練1】
如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）個(gè)．

A．3B．4C．5D．6
【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第五個(gè)．
故選：A．
知識(shí)點(diǎn)02 多邊形的內(nèi)角和外角和
多邊形的對(duì)角線計(jì)算：

總結(jié)規(guī)律：若多邊形的邊數(shù)為，則多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線條數(shù)為 條，多邊形所有的對(duì)角線條數(shù)為 條。
多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形數(shù)量計(jì)算：
由上圖總結(jié)：一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線分多邊形成三角形的個(gè)數(shù)為： 個(gè)。
多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式：
由上圖可知，多邊形的內(nèi)角和等于圖中所有三角形的內(nèi)角和之和。即： 。
多邊形的外角和：
任意多邊形的外角和都等于 360° 。
題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。
②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算。
【即學(xué)即練1】
十二邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．1440°B．1620°C．1800°D．1980°
【解答】解：十二邊形的內(nèi)角和等于：（12﹣2）?180°＝1800°；
故選：C．
若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080度，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．10
【解答】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得
（n﹣2）?180＝1080，
解得n＝8．
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8．
故選：C．
【即學(xué)即練2】
多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時(shí)，其外角和的度數(shù)（ ）
A．增加B．減少C．不變D．不能確定
【解答】解：∵任何多邊形的外角和都是360°，
∴多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時(shí)，其外角和的度數(shù)不變，
故選：C．
【即學(xué)即練3】
一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案為：7．
若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和大360°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 ．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，
根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°﹣360°＝360°，
解得n＝6．
故答案為：6．
知識(shí)點(diǎn)03 正多邊形
正多邊形的概念：
每條邊都 相等 ，每個(gè)內(nèi)角都 相等 的多邊形是正多邊形。
正多邊形的每個(gè)內(nèi)角計(jì)算：
因?yàn)檎噙呅蔚膬?nèi)角和為，每個(gè)內(nèi)角都相等且有個(gè)內(nèi)角，所以正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為： 。
正多邊形的每個(gè)外角計(jì)算：
正多邊形的外角和是360°，每個(gè)外角也相等，所以正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)為 。
正多邊形的內(nèi)角與外交關(guān)系：
180° ；
題型考點(diǎn)：利用正多邊形的相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算。
【即學(xué)即練1】
若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135°，則它的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．5D．10
【解答】解：∵一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135°，
∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都為：180°﹣135°＝45°，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8．
故選：B．
一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 °．
【解答】解：360°÷36°＝10，
（10﹣2）×180°＝1440°．
即這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，
故答案為1440．
如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比是7：2，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．11B．10C．9D．8
【解答】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，
由題意得：（n﹣2）×180＝360，
解得：n＝9，
故選：C．
題型01 多邊形的截角問題
【典例1】
如圖，在△ABC中，∠C＝70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（ ）
A．140°B．180°C．250°D．360°
【解答】解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故選：C．
變式1：
一個(gè)多邊形截去一個(gè)角（截線不過頂點(diǎn)）之后，所形成的多邊形的內(nèi)角和是2520°，那么原多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．19B．17C．15D．13
【解答】解：設(shè)內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)是n．
根據(jù)題意得：（n﹣2）?180＝2520，
解得：n＝16．
則原來的多邊形的邊數(shù)是16﹣1＝15．
故選：C．
變式2：
一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．11C．12D．10或11或12
【解答】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為n，
則（n﹣2）?180°＝1620°，
解得n＝11，
∵截去一個(gè)角后邊上可以增加1，不變，減少1，
∴原來多邊形的邊數(shù)是10或11或12．
故選：D．
變式3：
一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°，則原多邊形的邊數(shù)是 ．
【解答】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為n，
則（n﹣2）?180°＝1440°，
解得n＝10，
∵截去一個(gè)角后邊上可以增加1，不變，減少1，
∴原多邊形的邊數(shù)是9或10或11．
故答案為：9或10或11．
題型02 實(shí)際生活與正多邊形
【典例1】
小華從A點(diǎn)出發(fā)向前直走50m，向左轉(zhuǎn)18°，繼續(xù)向前走50m，再向左轉(zhuǎn)18°，他以同樣的走法回到A點(diǎn)時(shí)，共走了 m．
【解答】解：∵多邊形的邊數(shù)為360°÷18°＝20，
∴小華要走20次才能回到原地，
∴小華走的距離為20×50＝1000（m）．
故答案為：1000．
變式1：
如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（ ）
A．100米B．80米C．60米D．40米
【解答】解：∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，
∴他走過的圖形是正多邊形，
∴邊數(shù)n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了8×10＝80（m）．
故選：B．
【典例2】
一名模型賽車手遙控一輛賽車，先前進(jìn)1m，然后，原地逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a（0°＜α＜180°）被稱為一次操作．若五次操作后，發(fā)現(xiàn)賽車回到出發(fā)點(diǎn)，按照向量考慮，則角α為（ ）
A．72°B．108°或144°C．144°D．72°或144°
【解答】解：360÷5＝72°，
720÷5＝144°．
故選：D．
變式1：
活動(dòng)課上，小華從點(diǎn)O出發(fā)，每前進(jìn)1米，就向右轉(zhuǎn)體a°（0＜a＜180），照這樣走下去，如果他恰好能回到O點(diǎn)，且所走過的路程最短，則a的值等于 ．
【解答】解：根據(jù)題意，小華所走過的路線是正多邊形，
∴邊數(shù)n＝360°÷a°，
走過的路程最短，則n最小，a最大，
n最小是3，a°最大是120°．
故答案為：120．
題型03 正多邊形的圖形組合
【典例1】
如圖，平面上兩個(gè)正方形與正五邊形都有一條公共邊，則α的度數(shù)為（ ）
A．36°B．92°C．144°D．150°
【解答】解：如圖，
∵正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，正方形的每個(gè)內(nèi)角90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝108°﹣90°＝18°，
∴∠α＝180°﹣18°﹣18°＝144°．
故選：C．
變式1：
如圖，由一個(gè)正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠ABC的度數(shù)應(yīng)是（ ）
A．72°B．84°C．82°D．94°
【解答】解：如圖，
由題意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
則∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故選：B．
變式2：
如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的邊CD重合，DH的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)是（ ）
A．83°B．84°C．85°D．86°
【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠BCD＝∠B＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∵五邊形GHCDL為正五邊形，
∴CD＝CH，∠DCH＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CDH＝∠CHD＝＝36°，
∵四邊形BCDP的內(nèi)角和為360°，
∴∠BPD＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故選：B．
變式3：
把邊長(zhǎng)相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDM的CD邊重合，按照如圖的方式疊合在一起，延長(zhǎng)MG交AF于點(diǎn)N，則∠ANG等于（ ）
A．140°B．144°C．148°D．150°
【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠ANG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故選：B．
1．八邊形的內(nèi)角和是外角和的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°＝1080°，其外角和為360°，
∴1080°÷360°＝3（倍），
故選：B．
2．下列角度不可能是多邊形內(nèi)角和的為（ ）
A．180°B．270°C．540°D．1440°
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n（n≥3且n為整數(shù)），
則（n﹣2）?180°＝180°，
解得：n＝3，
則A不符合題意；
（n﹣2）?180°＝270°，
解得：n＝3.5，
則B符合題意；
（n﹣2）?180°＝540°，
解得：n＝5，
則C不符合題意；
（n﹣2）?180°＝1440°，
解得：n＝10，
則D不符合題意；
故選：B．
3．如圖，∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B的度數(shù)是（ ）
A．180°B．240°C．300°D．360°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠CFE＝∠AFB，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠CFE
∴∠C+∠D+∠E﹣∠A﹣∠B
＝∠C+∠D+∠E﹣（∠A+∠B）
＝∠C+∠D+∠E﹣（180°﹣∠CFE）
＝∠C+∠D+∠E+∠CFE﹣180°
＝360°﹣180°
＝180°，
故選：A．
4．清明節(jié)當(dāng)天八年級(jí)某班組織學(xué)生去烈士林園為革命先烈掃墓，以此表達(dá)對(duì)先烈的追思和崇敬之情，細(xì)心燈小明發(fā)現(xiàn)革命烈士紀(jì)念塔的塔底平面為八邊形，這個(gè)八邊形的內(nèi)角和（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
【解答】解：八邊形的內(nèi)角和為：（8﹣2）×180°＝1080°，
故選：C．
5．如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、D'，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（ ）?
A．62.5°B．72.5°C．55°D．45°
【解答】解：∵∠2＝35°，
∴∠AEA′＝180°﹣35°＝145°，
∴由折疊性質(zhì)可得：∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝72.5°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝72.5°，
故選：B．
6．如圖，奇奇先從點(diǎn)A出發(fā)前進(jìn)4m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)4m，又向右轉(zhuǎn)15°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【解答】解：∵奇奇從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，
∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為n＝360°÷15°＝24，
則一共走了24×4＝96（米）．
故選：D．
7．若一個(gè)正多邊形每一個(gè)外角都相等，且一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是140°，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．正七邊形B．正八邊形C．正九邊形D．正十邊形
【解答】解：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9，
∴這個(gè)多邊形是正九邊形．
故選：C．
8．如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠1＝50°，∠2＝70°，則∠3的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵四邊形ABCDE為五邊形，
∴其內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，
∵AE∥CD，
∴∠D+∠E＝180°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°×3﹣360°＝180°，
∵∠1＝50°，∠2＝70°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
故選：C．
9．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【解答】解：如圖，連接AD，
∵∠E+∠F+∠EMF＝∠MAD+∠MDA+∠AMD＝180°，∠EMF＝∠AMD，
∴∠E+∠F＝∠MAD+∠MDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
＝∠BAM+∠B+∠C+∠CDM+∠MAD+∠MDA
＝∠DAB+∠B+∠C+∠ADC
＝360°，
故答案為：360．
10．如圖，正五邊形ABCDE的對(duì)角線BD、CE相交于點(diǎn)F，則∠CFD的度數(shù)為 ．
?
【解答】解：∵五邊形ABCDE為正五邊形，
∴∠BCD＝∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝CD＝DE，
∴∠BDC＝∠CBD＝∠DCE＝∠CED＝＝36°，
∴∠CFD＝180°﹣∠BDC﹣∠DCE＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故答案為：108°．
11．如圖，四邊形ABOC中，∠BAC與∠BOC的角平分線相交于點(diǎn)P，若∠B＝16°，∠C＝42°，則∠P＝ °．
【解答】解：延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，OC與AP交于點(diǎn)E，
根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，
∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，
∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP則∠COP＝29°+∠BAP，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，
∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，
所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，
故答案為：13．
12．將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊AB與正方形的邊CD在同一條直線上，則∠BOC的度數(shù)是 ．
【解答】解：∵圖中六邊形為正六邊形，
∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故答案為：30°．
13．（1）正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是每個(gè)外角的m倍，求m的值；
（2）一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：（1）∵正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴它的每個(gè)外角為：180°﹣135°＝45°，
則m＝135÷45＝3；
（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
則（n﹣2）?180°×＝360°，
解得：n＝14，
即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為14．
14．已知，如圖，AD與BC交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，判斷∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系： ，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為 ．
（3）如圖3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF與DE交于點(diǎn)M，∠E+∠F＝50°，請(qǐng)直接寫出∠A+∠B＝ ．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝180°＝∠COD+∠C+∠D，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如圖2，連接AB，
由（1）得，∠OBA+∠OAB＝∠C+∠D，
∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為五邊形ABEFM的內(nèi)角和，
即（5﹣2）×180°＝540°，
故答案為：540°；
（3）∵CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠MCD＝∠OCD，∠MDC＝∠ODC，
由（1）可得，∠E+∠F＝∠MCD+∠MDC，
∴∠OCD+∠ODC＝50°，
∴∠OCD+∠ODC＝100°，
∴∠A+∠B＝∠OCD+∠ODC＝100°，
故答案為：100°．
15．如圖，四邊形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠A＝90°，
①求證：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如圖2，求證：DF∥BG．
（2）如圖3，作DF平分∠ADC，在銳角∠BAD內(nèi)部作射線AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大小為45°，試說明：AN平分∠BAD．
【解答】證明：（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠EDG+∠ADC＝180°，
∴∠EDG＝∠ABC；
②∵BE平分∠ABC，
∴，
∵DF平分∠ADC，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠DFC，
∴DF∥BG；
（2）延長(zhǎng)AB、DF交于點(diǎn)M，如圖所示：
∵∠AND﹣∠GBC＝45°，
∴∠AND＝∠2+45°，
∴∠DAN＝180°﹣∠AND﹣∠3
＝180°﹣∠2﹣45°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∵DF平分∠ADC，
∴，
∵∠BFM＝∠CFD＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠AMN＝∠ABC﹣∠BFM＝2∠2﹣90°+∠3，
∴∠BAN＝∠AND﹣∠AMN
＝45°+∠2﹣2∠2+90°﹣∠3
＝135°﹣∠2﹣∠3，
∴∠DAN＝∠BAN，
∴AN平分∠BAD．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①多邊形的認(rèn)識(shí)
②多邊形的內(nèi)角和與外角和
③正多邊形
掌握多邊形及其與多邊形有關(guān)的概念。
掌握多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程及其相關(guān)計(jì)算，掌握多邊形的外角和度數(shù)。
掌握正多邊形的概念，且根據(jù)正多邊形的性質(zhì)解決相應(yīng)的題目。

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