【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率
1．隨機(jī)事件
（1）確定事件
事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
（2）隨機(jī)事件
在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．
（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意義
（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．
（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．
（3）概率取值范圍：0≤p≤1．
（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通過(guò)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過(guò)理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語(yǔ)言說(shuō)明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問(wèn)題．
3．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
4．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升
1．（2022?淮安）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球，記下數(shù)字．
（1）第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．
2．（2022?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于 ；
（2）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．
3．（2022?南通）不透明的袋子中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各一個(gè)，這些球除顏色外無(wú)其他差別．
（1）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到藍(lán)球的概率是 ；
（2）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球．求兩次摸到的球的顏色為“一紅一黃”的概率．
4．（2022?鹽城）某社區(qū)舉行新冠疫情防控核酸檢測(cè)大演練，衛(wèi)生防疫部門在該社區(qū)設(shè)置了三個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)A、B、C，甲、乙兩人任意選擇一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)．求甲、乙兩人不在同一檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)的概率．（用畫樹狀圖或列表的方法求解）
5．（2022?常州）在5張相同的小紙條上，分別寫有語(yǔ)句：①函數(shù)表達(dá)式為y＝x；②函數(shù)表達(dá)式為y＝x2；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻．
（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是 ；
（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再?gòu)暮凶覤中任意抽出1支簽．求抽到的2張小紙條上的語(yǔ)句對(duì)函數(shù)的描述相符合的概率．
6．（2022?徐州）如圖，將下列3張撲克牌洗勻后數(shù)字朝下放在桌面上．
（1）從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為 ；
（2）從中隨機(jī)抽取2張，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率．
7．（2022?泰州）即將在泰州舉辦的江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)帶動(dòng)了我市的全民體育熱．小明去某體育館鍛煉，該體育館有A、B兩個(gè)進(jìn)館通道和C、D、E三個(gè)出館通道，從進(jìn)館通道進(jìn)館的可能性相同，從出館通道出館的可能性也相同．用列表或畫樹狀圖的方法列出小明一次經(jīng)過(guò)進(jìn)館通道與出館通道的所有等可能的結(jié)果，并求他恰好經(jīng)過(guò)通道A與通道D的概率．
8．（2022?無(wú)錫）建國(guó)中學(xué)有7位學(xué)生的生日是10月1日，其中男生分別記為A1，A2，A3，A4，女生分別記為B1，B2，B3．學(xué)校準(zhǔn)備召開國(guó)慶聯(lián)歡會(huì)，計(jì)劃從這7位學(xué)生中抽取學(xué)生參與聯(lián)歡會(huì)的訪談活動(dòng)．
（1）若任意抽取1位學(xué)生，且抽取的學(xué)生為女生的概率是 ；
（2）若先從男生中任意抽取1位，再?gòu)呐腥我獬槿?位，求抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過(guò)程）
9．（2022?宿遷）從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發(fā)生的概率．
（1）甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是 ；
（2）任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）．
10．（2022?蘇州）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為 ；
（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）
11．（2022?揚(yáng)州）某超市為回饋廣大消費(fèi)者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎(jiǎng)活動(dòng)．摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1個(gè)球（不放回），再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球．
（1）用樹狀圖列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）活動(dòng)設(shè)置了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)次，一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)率低于二等獎(jiǎng)．現(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對(duì)應(yīng)不同獎(jiǎng)次，請(qǐng)寫出它們分別對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次，并說(shuō)明理由．
12．（2022?連云港）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢(shì)中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢(shì)相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br>13．（2021?無(wú)錫）學(xué)校開展學(xué)生會(huì)主席競(jìng)選活動(dòng)，最后一輪是演講環(huán)節(jié)，抽簽方式如下：每位選手分別從標(biāo)有“A”、“B”內(nèi)容的簽中隨機(jī)抽取一個(gè)，就抽取的內(nèi)容進(jìn)行演講．現(xiàn)有小明、小亮和小麗三名選手，求出下列事件發(fā)生的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列舉”等方法寫出分析過(guò)程）
（1）三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容；
（2）三個(gè)選手有兩人抽中內(nèi)容“A”，一人抽中內(nèi)容“B”．
14．（2021?淮安）在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個(gè)數(shù)字，分別為1、2、﹣1．現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后任意抽出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意抽出一張記下數(shù)字．
（1）第一次抽到寫有負(fù)數(shù)的卡片的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率．
15．（2021?南通）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4．
（1）隨機(jī)摸取一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，該事件的概率為 ；
（2）隨機(jī)摸取一個(gè)小球后放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球．求兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的概率．
16．（2021?泰州）江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物．在一次宣傳活動(dòng)中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個(gè)不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相同．小張從中隨機(jī)抽取2張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1張；第二種是一次性抽取2張．
（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率．
17．（2021?徐州）如圖，是一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A1、B1、B2…D3、D4分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口A1處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過(guò)程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會(huì)相等，直至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi)．用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率．
18．（2021?常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四邊形ABCD的對(duì)角線相等．將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中．
（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是 ；
（2）攪勻后先從中任意抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽．四邊形ABCD同時(shí)滿足抽到的2張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率．
19．（2021?無(wú)錫）將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片．求下列事件發(fā)生的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過(guò)程）
（1）取出的2張卡片數(shù)字相同；
（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”．
20．（2021?南京）不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．
（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球．求兩次摸出的球都是紅球的概率．
（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回再隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球．兩次摸出的球都是白球的概率是 ．
21．（2021?宿遷）即將舉行的2022年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，將三張正面分別印有以上3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 ．
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片圖案相同的概率．（請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求解）
22．（2021?揚(yáng)州）一張圓桌旁設(shè)有4個(gè)座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2個(gè)座位上．
（1）甲坐在①號(hào)座位的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求甲與乙相鄰而坐的概率．
23．（2021?蘇州）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、﹣2、3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．
（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為 ；
（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）
24．（2021?連云港）為了參加全市中學(xué)生“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，某校準(zhǔn)備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學(xué)校參加比賽．
（1）如果已經(jīng)確定女生甲參加，再?gòu)钠溆嗟暮蜻x人中隨機(jī)選取1人，則女生乙被選中的概率是 ；
（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．
25．（2021?鹽城）圓周率π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對(duì)π有過(guò)深入的研究．目前，超級(jí)計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π的小數(shù)部分超過(guò)31.4萬(wàn)億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同．
（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)數(shù)字是6的概率為 ；
（2）某校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）
【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
1．（2023?蘇州模擬）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”．將三張正面分別印有以上3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 ；
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片圖案不同的概率．（請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求解）
2．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)初一年級(jí)學(xué)生于五月初正式進(jìn)入西校區(qū)，開始了新的學(xué)習(xí)與生活．為慶祝這“美好的日子，初一（1）班同學(xué)在操場(chǎng)上舉行了擊鼓傳花的游戲．甲、乙、丙三位同學(xué)在操場(chǎng)上互相傳遞手中的花環(huán)，假設(shè)他們相互間傳遞是等可能的，并且由甲首先開始傳遞．
（1）經(jīng)過(guò)1次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率是 ．
（2）請(qǐng)畫樹狀圖或列表求經(jīng)過(guò)2次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率；
（3）猜想并直接寫出：經(jīng)過(guò)2022次傳遞后，傳到 同學(xué)手中（填甲、乙、丙）的可能性最大．
3．（2022?海州區(qū)校級(jí)二模）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)、平臺(tái)由P℃端、手機(jī)客戶端兩大終端組成．手機(jī)客戶端上主要有閱讀文章、觀看視頻、答題活動(dòng)三種學(xué)習(xí)方式．
（1）張老師從三種學(xué)習(xí)方式中隨機(jī)挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，恰好選中答題活動(dòng)的概率為 ．
（2）張老師和李老師各自從三種學(xué)習(xí)方式中隨機(jī)挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，選用列表或畫樹狀圖的方法，求他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的概率．
4．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）小明和小亮設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲：A、B是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，A轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的兩個(gè)扇形，B轉(zhuǎn)盤三個(gè)扇形的圓心角都為120°，如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫色，若配成紫色，則小明贏；否則小亮贏．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤B一次，轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率是 ；
（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2022?泉山區(qū)校級(jí)三模）小明的爸媽購(gòu)買車票，高鐵售票系統(tǒng)隨機(jī)分配座位，若系統(tǒng)已將兩人分配到同一排．
（1）小明的爸爸購(gòu)得A座票后，媽媽購(gòu)得B座票的概率是 ；
（2）求分給二人相鄰座位（過(guò)道兩側(cè)座位C、D不算相鄰）的概率．
6．（2022?連云港模擬）為防控冠狀病毒，市防疫辦要求學(xué)生進(jìn)校園必須戴口罩、測(cè)體溫．某校開通了A、B、C三條測(cè)體溫的通道，給進(jìn)校園的學(xué)生測(cè)體溫．在3個(gè)通道中，可隨機(jī)選擇其中的一個(gè)通過(guò)．
（1）則該校學(xué)生小明進(jìn)校園時(shí)，由A通道測(cè)體溫的概率是 ．
（2）用列樹狀圖或表格的方法，求小明和他的同學(xué)樂(lè)樂(lè)進(jìn)校園時(shí)，經(jīng)過(guò)同一通道測(cè)體溫的概率．
7．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）小明在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個(gè)數(shù)字，分別為1、﹣4、﹣3．現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后小明任意從中抽出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我獬槌鲆粡堄浵聰?shù)字．
（1）第一次抽到寫有正數(shù)的卡片的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為負(fù)數(shù)的概率．
8．（2022?漣水縣一模）某校計(jì)劃在下個(gè)月第三周的星期一至星期四開展社團(tuán)活動(dòng)．
（1）若甲同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一天參加活動(dòng)，則甲同學(xué)選擇在星期三的概率為 ．
（2）若乙同學(xué)隨機(jī)選擇其中的兩天參加活動(dòng)，請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
9．（2022?宜興市二模）某校共有2名男生和2名女生競(jìng)選學(xué)校學(xué)生會(huì)主席，現(xiàn)抽簽決定演說(shuō)順序．
（1）第一個(gè)演說(shuō)的是男生的概率是 ；
（2）求第一個(gè)和第二個(gè)演說(shuō)的都是女生的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的形式給出分析過(guò)程）
10．（2022?江都區(qū)二模）如圖，轉(zhuǎn)盤A中的半圓標(biāo)注2，其他兩個(gè)扇形的面積相等，分別標(biāo)注1和4．轉(zhuǎn)盤B中的半圓標(biāo)注1，其他兩個(gè)扇形的面積相等，分別標(biāo)注2和3．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針指向的數(shù)．連續(xù)進(jìn)行兩次該操作，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求記錄的2個(gè)數(shù)相同的概率；
（2）分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針各自指向的數(shù)，則記錄的2個(gè)數(shù)不相同的概率是 ．
11．（2022?宿豫區(qū)二模）煎餅，是我國(guó)北方地區(qū)傳統(tǒng)主食之一，在我國(guó)的分布地區(qū)很廣，種類眾多．某早餐店出售4種口味的煎餅：小麥煎餅、玉米煎餅、紅薯煎餅、雜糧煎餅，李阿姨到該早餐店買煎餅（假設(shè)李阿姨選擇煎餅的口味是隨機(jī)選擇的）．
（1）李阿姨買雜糧煎餅的概率是 ；
（2）若李阿姨準(zhǔn)備買2種不同口味的煎餅，試用列表或畫樹狀圖的方法，求李阿姨買小麥煎餅和玉米煎餅的概率．
12．（2022?啟東市二模）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國(guó)空間站開講，翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員相互配合，為廣大青少年再度帶來(lái)一場(chǎng)“高能”的太空科普課，生動(dòng)演示微重力環(huán)境下的“太空冰雪、液橋演示、水油分離、太空拋物”等四個(gè)實(shí)驗(yàn)，深入淺出講解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的科學(xué)原理．我們學(xué)校的全體學(xué)生也觀看了這一節(jié)課．小杰的物理老師組織班級(jí)同學(xué)開展“我愛科學(xué)”活動(dòng)，分享觀看四個(gè)實(shí)驗(yàn)后的感想．老師將四個(gè)實(shí)驗(yàn)的名稱分別寫在四張完全相同的卡片上，背面朝上，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中一張，并向同伴分享對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)的觀看收獲．
（1）小杰抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率為 ；
（2）通過(guò)列表或樹狀圖，求出小杰和同桌小偉恰好都抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率．
13．（2022?淮陰區(qū)校級(jí)一模）某城市新冠疫情嚴(yán)重，波及周圍部分城市，我市為加強(qiáng)防控，要求學(xué)生進(jìn)校必須戴口罩、測(cè)體溫．某校開通了A、B、C三條人工測(cè)體溫通道，在三個(gè)通道中，可隨機(jī)選擇其中的一個(gè)通過(guò)．
（1）某同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由A通道通過(guò)的概率是 ；
（2）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由相同通道通過(guò)的概率．（用畫“樹狀圖”或“列表格”）
14．（2022?豐縣二模）如圖，某公園門口的限行柱之間的三個(gè)通道分別記為A、B、C，這三個(gè)通道寬度同，行人選擇任意一個(gè)通道經(jīng)過(guò)的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約去該公園玩．
（1）甲同學(xué)選擇A通道的概率是 ．
（2）用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丙兩位同學(xué)從同一通道經(jīng)過(guò)的概率．
15．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．
（1）從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)畫三角形，所畫三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）從A、B、D、E四點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)C、F為頂點(diǎn)畫四邊形，用畫樹狀圖或列表格法求所畫四邊形是平行四邊形的概率．
16．（2022?儀征市二模）北京首次舉辦冬奧會(huì)，成為國(guó)際上唯一舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的“雙奧之城”，墩墩和融融積極參加雪上項(xiàng)目的志愿者服務(wù)，現(xiàn)有三輛車按照1，2，3編號(hào)，兩人可以任選坐一輛車去參加服務(wù)．
（1）墩墩選坐1號(hào)車的概率是 ；
（2）請(qǐng)利用樹狀圖或列表法求兩人同坐2號(hào)車的概率．
17．（2022?靖江市二模）隨著地方經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，某地體育中心、金融中心、文化中心相繼落成，小明、小麗周末都有想去參觀游玩的打算．
（1）若小明隨機(jī)選擇其中一個(gè)地點(diǎn)游玩，則小明選擇文化中心的概率為 ；
（2）利用列表或畫樹狀圖的方法，求小明、小麗兩人選擇的兩個(gè)地點(diǎn)不同的概率．
18．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）中國(guó)空間站作為國(guó)家太空實(shí)驗(yàn)室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宮課”中航天員生動(dòng)演示了微重力環(huán)境下的4個(gè)實(shí)驗(yàn)，分別是A．太空冰雪實(shí)驗(yàn)、B．液橋演示實(shí)驗(yàn)、C．水油分離實(shí)驗(yàn)、D．太空拋物實(shí)驗(yàn)．小明和小華兩位同學(xué)打算各自從這四個(gè)實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)抽取一個(gè)，制作手抄報(bào)講解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的科學(xué)原理．
（1）小明隨機(jī)抽取的實(shí)驗(yàn)是“太空拋物實(shí)驗(yàn)”的概率為 ；
（2）利用樹狀圖或列表的方法求小明和小華抽到不同實(shí)驗(yàn)的概率．
19．（2022?海州區(qū)校級(jí)二模）依次將甲、乙、丙三個(gè)完全相同的小球，隨機(jī)任意放入A、B、C三個(gè)盒子里，每個(gè)小球的去向互不影響．
（1）最終甲球被放入B盒子里的概率為 ；
（2）求甲、乙、丙三個(gè)球在同一個(gè)盒子里的概率（請(qǐng)用“畫樹狀圖”等方法寫出分析過(guò)程）．
20．（2022?宜興市校級(jí)二模）如圖，有2個(gè)相同的小球和5個(gè)擺放成“十”字型的正方形格子．
（1）將1個(gè)小球隨機(jī)放入格子中，則這個(gè)小球恰好落在中心格子中的概率是 ；
（2）將2個(gè)球隨機(jī)放入格中，每格至多放一個(gè)球，列表或者畫樹狀圖求這2個(gè)球所在的格子恰有一條公共邊的概率．
21．（2022?江都區(qū)校級(jí)三模）某公司獲得了江蘇省第二十屆運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“泰寶”、“鳳娃”的形象使用權(quán)，并專門設(shè)計(jì)了“泰寶”、“鳳娃”、“會(huì)徽”三款雪糕．為了解三款雪糕的顧客滿意度，公司在各商場(chǎng)設(shè)定摸獎(jiǎng)免費(fèi)試吃活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則：在一個(gè)不透明的盒子內(nèi)，裝有除標(biāo)記外其余都相同的三個(gè)小球（“泰寶”、“鳳娃”、“會(huì)徽”分別用T、F、H標(biāo)記），規(guī)定摸出什么記號(hào)的小球，即可兌換一支相應(yīng)款型的雪糕．
（1）小張同學(xué)參加活動(dòng)時(shí)，獲得兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他先摸出一個(gè)小球，放回?cái)噭蚝螅倜粋€(gè)小球，工作人員根據(jù)他兩次所摸結(jié)果為他兌獎(jiǎng)．請(qǐng)用樹狀圖或列表法，表示他摸出小球的各種可能情況．
（2）小張同學(xué)能獲得兩支不同款型雪糕的概率是多少？
22．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）某社區(qū)2名男生和3名女生積極報(bào)名參加抗擊疫情工作，他們分配到的任務(wù)是保障社區(qū)居民物資需求．
（1）若從這5人中選1人進(jìn)行物資登記，求恰好選中女生的概率；
（2）若從這5人中選2人進(jìn)行物資分配，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求恰好選中一男一女的概率．
23．（2022?泰興市一模）某社區(qū)要招募一名省運(yùn)會(huì)志愿者，小紅和小明都積極報(bào)名參加，社區(qū)擬采用抽簽的辦法決定誰(shuí)是志愿者．抽簽規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)簽（除編號(hào)外都相同）：從中隨機(jī)抽出兩個(gè)簽，記下數(shù)字，若兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，則小紅為志愿者，若兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，則小明為志愿者．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法列出抽簽所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）這個(gè)抽簽規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．（2022?建鄴區(qū)二模）為阻斷疫情傳播，筑牢抗疫防線，落實(shí)動(dòng)態(tài)清零政策，某社區(qū)設(shè)置了A、B、C三個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)．假定甲、乙兩人去某個(gè)檢測(cè)點(diǎn)是隨機(jī)的且去每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)機(jī)會(huì)均等．
（1）甲在A檢測(cè)點(diǎn)做核酸的概率為 ．
（2）求甲、乙兩人在不同檢測(cè)點(diǎn)做核酸的概率．
25．（2022?興化市二模）為增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉辦了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，某班共有3名學(xué)生（2名男生，1名女生）獲獎(jiǎng)．
（1）老師從獲獎(jiǎng)的3名學(xué)生中選取一名作為班級(jí)的“環(huán)保小衛(wèi)士”，則恰好是女生的概率為 ．
（2）老師若從獲獎(jiǎng)的3名學(xué)生中任選兩名作為班級(jí)的“環(huán)保小衛(wèi)士”，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求出恰好是一名男生，一名女生的概率．
26．（2022?南京二模）2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)在我國(guó)舉行．如圖，冬奧會(huì)的會(huì)徽和吉祥物為“冬夢(mèng)“、“冰墩墩“，冬殘奧會(huì)的會(huì)徽和吉祥物為“飛躍“、“雪容融“，將4張正面分別印有以上圖案的卡片隨機(jī)分成甲、乙兩組，每組2張．
（1）“冰墩墩“在甲組的概率是 ；
（2）求每組的2張卡片恰是會(huì)徽和對(duì)應(yīng)吉祥物的概率．
27．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）一個(gè)3×3的棋盤，在棋盤方格內(nèi)隨機(jī)放入棋子，且每一方格內(nèi)最多放入一枚棋子．
（1）如圖①，棋盤內(nèi)已有兩枚棋子，在剩余的方格內(nèi)隨機(jī)放入一枚棋子，這三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率為 ；
（2）如圖②，棋盤內(nèi)已有四枚棋子，在剩余的方格1、2、3、4、5內(nèi)隨機(jī)放入兩枚棋子，試用“列表法或畫樹狀圖”的方法，求僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率．
28．（2022?吳中區(qū)模擬）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某市政府決定對(duì)該市直屬機(jī)關(guān)200戶家庭用水情況進(jìn)行調(diào)查．市政府調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息解答下列問(wèn)題：
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 ，眾數(shù)是 ，中位數(shù)是 ．
（3）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進(jìn)行“節(jié)水”經(jīng)驗(yàn)分享．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率．
29．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤均被分成3個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（當(dāng)指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效，需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤，指針指向數(shù)字5的概率是 ；
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y，求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率．
30．（2022?賈汪區(qū)二模）隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢(shì)日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校為加強(qiáng)學(xué)生自我防護(hù)意識(shí)，成立“防疫志愿者服務(wù)隊(duì)”，設(shè)立三個(gè)“監(jiān)督崗”：①教學(xué)樓監(jiān)督崗，②閱覽室監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，小宇和小寧兩位同學(xué)報(bào)名參加了志愿者服務(wù)工作，在不了解具體崗位的情況下，他們從序號(hào)①、②、③中隨機(jī)填報(bào)了一個(gè)服務(wù)監(jiān)督崗序號(hào)．
（1）小宇填報(bào)“③”的概率為 ；
（2）用列表法或畫樹狀圖法，求小宇和小寧同時(shí)選到“③就餐監(jiān)督崗”的概率．
窗
過(guò)道
窗
月平均用水量（噸）
3
4
5
6
7
頻數(shù)（戶數(shù)）
4
a
9
10
7
頻率
0.08
0.40
b
0.20
0.14
2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）
專題12概率的有關(guān)計(jì)算（江蘇真題25道模擬30道）
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率
1．隨機(jī)事件
（1）確定事件
事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
（2）隨機(jī)事件
在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．
（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意義
（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．
（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．
（3）概率取值范圍：0≤p≤1．
（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通過(guò)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實(shí)際生活聯(lián)系密切，通過(guò)理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語(yǔ)言說(shuō)明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些實(shí)際問(wèn)題．
3．概率公式
（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
4．列表法與樹狀圖法
（1）當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．
（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．
（5）當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升
1．（2022?淮安）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球，記下數(shù)字．
（1）第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解析】（1）∵袋中共有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球，數(shù)字2為偶數(shù)，
∴第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是．
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的結(jié)果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4種，
∴兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率為．
2．（2022?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于 ；
（2）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率等于＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球的結(jié)果有1種，
∴2次都摸到紅球的概率為．
3．（2022?南通）不透明的袋子中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各一個(gè)，這些球除顏色外無(wú)其他差別．
（1）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到藍(lán)球的概率是 ；
（2）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球．求兩次摸到的球的顏色為“一紅一黃”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球的顏色為“一紅一黃”的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到藍(lán)球的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球的顏色為“一紅一黃”的結(jié)果有2種，
∴兩次摸到的球的顏色為“一紅一黃”的概率為．
4．（2022?鹽城）某社區(qū)舉行新冠疫情防控核酸檢測(cè)大演練，衛(wèi)生防疫部門在該社區(qū)設(shè)置了三個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)A、B、C，甲、乙兩人任意選擇一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)．求甲、乙兩人不在同一檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)的概率．（用畫樹狀圖或列表的方法求解）
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人不在同一檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人不在同一檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)的結(jié)果有6種，
∴甲、乙兩人不在同一檢測(cè)點(diǎn)參加檢測(cè)的概率為＝．
5．（2022?常州）在5張相同的小紙條上，分別寫有語(yǔ)句：①函數(shù)表達(dá)式為y＝x；②函數(shù)表達(dá)式為y＝x2；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻．
（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是 ；
（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再?gòu)暮凶覤中任意抽出1支簽．求抽到的2張小紙條上的語(yǔ)句對(duì)函數(shù)的描述相符合的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是，
故答案為：；
（2）列表如下：
由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中抽到的2張小紙條上的語(yǔ)句對(duì)函數(shù)的描述相符合的①③、①⑤、②④這3個(gè)，
所以2張小紙條上的語(yǔ)句對(duì)函數(shù)的描述相符合的概率為＝．
6．（2022?徐州）如圖，將下列3張撲克牌洗勻后數(shù)字朝下放在桌面上．
（1）從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為 ；
（2）從中隨機(jī)抽取2張，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，
∴抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率為＝．
7．（2022?泰州）即將在泰州舉辦的江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)帶動(dòng)了我市的全民體育熱．小明去某體育館鍛煉，該體育館有A、B兩個(gè)進(jìn)館通道和C、D、E三個(gè)出館通道，從進(jìn)館通道進(jìn)館的可能性相同，從出館通道出館的可能性也相同．用列表或畫樹狀圖的方法列出小明一次經(jīng)過(guò)進(jìn)館通道與出館通道的所有等可能的結(jié)果，并求他恰好經(jīng)過(guò)通道A與通道D的概率．
【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出相應(yīng)的概率．
【解析】樹狀圖如下所示，
由上可得，一共有6種可能性，其中恰好經(jīng)過(guò)通道A與通道D的可能性有1種，
∴恰好經(jīng)過(guò)通道A與通道D的概率為．
8．（2022?無(wú)錫）建國(guó)中學(xué)有7位學(xué)生的生日是10月1日，其中男生分別記為A1，A2，A3，A4，女生分別記為B1，B2，B3．學(xué)校準(zhǔn)備召開國(guó)慶聯(lián)歡會(huì)，計(jì)劃從這7位學(xué)生中抽取學(xué)生參與聯(lián)歡會(huì)的訪談活動(dòng)．
（1）若任意抽取1位學(xué)生，且抽取的學(xué)生為女生的概率是 ；
（2）若先從男生中任意抽取1位，再?gòu)呐腥我獬槿?位，求抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過(guò)程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若任意抽取1位學(xué)生，且抽取的學(xué)生為女生的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的結(jié)果有6種，
∴抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率為＝．
9．（2022?宿遷）從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發(fā)生的概率．
（1）甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是 ；
（2）任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）．
【分析】（1）根據(jù)題意可知甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，有3種可能性，其中選中丙的有1種可能性，從而可以求得恰好選中丙的概率；
（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，從而可以求得一定有乙的概率．
【解析】（1）由題意可得，
甲一定參加比賽，再?gòu)钠溆?名學(xué)生中任意選取1名，有3種可能性，其中選中丙的有1種可能性，
故恰好選中丙的概率是，
故答案為：；
（2）樹狀圖如下：
由上可得，一共有12種可能性，其中一定有乙的可能性有6種，
故一定有乙的概率是＝．
10．（2022?蘇州）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球，3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球是白球的概率為 ；
（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）畫樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出兩個(gè)球顏色不同的結(jié)果數(shù)，進(jìn)而求出概率．
【解析】（1）∵一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，
∴攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，則摸出白球的概率為：＝．
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖所示：
共有16種不同的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)球顏色不同的有6種，
∴2次摸到的球恰好是1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率為＝．
11．（2022?揚(yáng)州）某超市為回饋廣大消費(fèi)者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎(jiǎng)活動(dòng)．摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1個(gè)球（不放回），再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球．
（1）用樹狀圖列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）活動(dòng)設(shè)置了一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)次，一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)率低于二等獎(jiǎng)．現(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對(duì)應(yīng)不同獎(jiǎng)次，請(qǐng)寫出它們分別對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）畫出樹狀圖即可；
（2）由樹狀圖可知，摸出顏色不同的兩球的結(jié)果有4種，摸出顏色相同的兩球的結(jié)果有2種，再由概率公式去摸出顏色不同的兩球的概率和摸出顏色相同的兩球的概率，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解析】（1）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）摸出顏色不同的兩球?qū)?yīng)的獎(jiǎng)次為二等獎(jiǎng)，摸出顏色相同的兩球?qū)?yīng)的獎(jiǎng)次為一等獎(jiǎng)，理由如下：
由樹狀圖可知，摸出顏色不同的兩球的結(jié)果有4種，摸出顏色相同的兩球的結(jié)果有2種，
∴摸出顏色不同的兩球的概率為＝，摸出顏色相同的兩球的概率為＝，
∵一等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)率低于二等獎(jiǎng)，＜，
∴摸出顏色不同的兩球?qū)?yīng)的獎(jiǎng)次為二等獎(jiǎng)，摸出顏色相同的兩球?qū)?yīng)的獎(jiǎng)次為一等獎(jiǎng)．
12．（2022?連云港）“石頭、剪子、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢(shì)中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢(shì)相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時(shí)做出3種手勢(shì)中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br>【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解析】（1）甲每次做出“石頭”手勢(shì)的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖得：
共有9種等可能的情況數(shù)，其中乙不輸?shù)挠?種，
則乙不輸?shù)母怕适牵剑?br>13．（2021?無(wú)錫）學(xué)校開展學(xué)生會(huì)主席競(jìng)選活動(dòng)，最后一輪是演講環(huán)節(jié)，抽簽方式如下：每位選手分別從標(biāo)有“A”、“B”內(nèi)容的簽中隨機(jī)抽取一個(gè)，就抽取的內(nèi)容進(jìn)行演講．現(xiàn)有小明、小亮和小麗三名選手，求出下列事件發(fā)生的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列舉”等方法寫出分析過(guò)程）
（1）三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容；
（2）三個(gè)選手有兩人抽中內(nèi)容“A”，一人抽中內(nèi)容“B”．
【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容的結(jié)果，根據(jù)概率公式求解可得答案；
（2）找到這三個(gè)選手中有兩個(gè)抽中內(nèi)容“A”，一個(gè)抽中內(nèi)容“B”的情況，利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖：
由樹狀圖知，共有8種等可能結(jié)果，其中三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容的有2種結(jié)果，
∴三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容的概率為＝；
（2）三個(gè)選手有兩人抽中內(nèi)容“A”，一人抽中內(nèi)容“B”的有3種結(jié)果，
∴三個(gè)選手有兩人抽中內(nèi)容“A”，一人抽中內(nèi)容“B”的概率為．
14．（2021?淮安）在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個(gè)數(shù)字，分別為1、2、﹣1．現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后任意抽出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意抽出一張記下數(shù)字．
（1）第一次抽到寫有負(fù)數(shù)的卡片的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率．
【分析】（1）用負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)除以數(shù)字的總個(gè)數(shù)即可；
（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到寫有負(fù)數(shù)的卡片的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的有4種結(jié)果，
所以兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率為．
15．（2021?南通）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4．
（1）隨機(jī)摸取一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，該事件的概率為 ；
（2）隨機(jī)摸取一個(gè)小球后放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球．求兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）隨機(jī)摸取一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，該事件的概率為 ＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的結(jié)果有4種，
∴兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的概率為＝．
16．（2021?泰州）江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物．在一次宣傳活動(dòng)中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個(gè)不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相同．小張從中隨機(jī)抽取2張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1張；第二種是一次性抽取2張．
（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率．
【分析】（1）兩種抽取方式，結(jié)果是一樣的，即可求解；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小張抽到不同圖案卡片的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率相同，
故答案為：相同；
（2）把“泰寶”和“鳳娃”兩種吉祥物分別記為：A、B，
畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，小張抽到不同圖案卡片的結(jié)果有8種，
∴抽到不同圖案卡片的概率為＝．
17．（2021?徐州）如圖，是一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A1、B1、B2…D3、D4分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口A1處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過(guò)程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會(huì)相等，直至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi)．用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率．
【分析】根據(jù)題意畫出該過(guò)程的樹狀圖，寫出所有可能的情況，即可求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率．
【解析】根據(jù)題意，畫出如下樹形圖，
共有8種情況，其中落入③號(hào)槽的有3種，
P（落入③號(hào)槽）＝．
18．（2021?常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四邊形ABCD的對(duì)角線相等．將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中．
（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是 ；
（2）攪勻后先從中任意抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽．四邊形ABCD同時(shí)滿足抽到的2張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，四邊形ABCD一定是正方形的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有6種等可能的結(jié)果，四邊形ABCD一定是正方形的結(jié)果有4種，
∴四邊形ABCD一定是正方形的概率為＝．
19．（2021?無(wú)錫）將4張分別寫有數(shù)字1、2、3、4的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片．求下列事件發(fā)生的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過(guò)程）
（1）取出的2張卡片數(shù)字相同；
（2）取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”．
【分析】（1）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片數(shù)字相同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”的結(jié)果有7種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片數(shù)字相同的結(jié)果有4種，
∴取出的2張卡片數(shù)字相同的概率為＝；
（2）由（1）可知，共有16種等可能的結(jié)果，取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”的結(jié)果有7種，
∴取出的2張卡片中，至少有1張卡片的數(shù)字為“3”的概率為．
20．（2021?南京）不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．
（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球．求兩次摸出的球都是紅球的概率．
（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回再隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球．兩次摸出的球都是白球的概率是 ．
【分析】（1）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可；
（2）由題意得：第一次摸出白球的概率為，第二次摸出白球的概率也為，求解即可．
【解析】（1）畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果有4種，
∴兩次摸出的球都是紅球的概率為；
（2）由題意得：第一次摸出白球的概率為，第二次摸出白球的概率也為，
∴兩次摸出的球都是白球的概率為×＝，
故答案為：．
解法二：
若第一次摸到紅球，則兩次摸出的球都是白球的概率為P′＝0，
若第一次摸到白球，則兩次摸出的球都是白球的概率為P″＝×＝，
∴所求概率為P＝P′+P″＝0+＝，
故答案為：．
解法三：
第一次取到白球的概率為，
即一個(gè)圓的，
第二次再取到白球的概率是將上面的（扇形）再分為3等份，取到的白球的概率是的，
即，
∴兩次摸出的球都是白球的概率為，
故答案為：．
21．（2021?宿遷）即將舉行的2022年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，將三張正面分別印有以上3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 ．
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片圖案相同的概率．（請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案相同的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是，
故答案為：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”三張卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案相同的結(jié)果有3種，
∴兩次抽取的卡片圖案相同的概率為＝．
22．（2021?揚(yáng)州）一張圓桌旁設(shè)有4個(gè)座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2個(gè)座位上．
（1）甲坐在①號(hào)座位的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求甲與乙相鄰而坐的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，甲與乙相鄰而坐的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵丙坐了一張座位，
∴甲坐在①號(hào)座位的概率是；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有6種等可能的結(jié)果，甲與乙兩人恰好相鄰而坐的結(jié)果有4種，
∴甲與乙相鄰而坐的概率為．
23．（2021?蘇州）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、﹣2、3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌?張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)．
（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為 ；
（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列舉出所有可能，進(jìn)而利用概率公式進(jìn)而得出甲、乙獲勝的概率即可得出答案．
【解析】（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為，
故答案為：．
（2）列表如下：
由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，
所以甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率＝＝，
∴此游戲公平．
24．（2021?連云港）為了參加全市中學(xué)生“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，某校準(zhǔn)備從甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任選2人代表學(xué)校參加比賽．
（1）如果已經(jīng)確定女生甲參加，再?gòu)钠溆嗟暮蜻x人中隨機(jī)選取1人，則女生乙被選中的概率是 ；
（2）求所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3種等可能性的結(jié)果，其中恰好選中乙同學(xué)的有1種，即可求得答案；
（2）先求出全部情況的總數(shù)，再求出符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解析】（1）∵已確定甲參加比賽，再?gòu)钠溆?名同學(xué)中隨機(jī)選取1名有3種結(jié)果，其中恰好選中乙的只有1種，
∴恰好選中乙的概率為：．
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下圖：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好有1名女生和1名男生的結(jié)果數(shù)為8，
∴P（1女1男）＝＝．
∴所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．
25．（2021?鹽城）圓周率π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對(duì)π有過(guò)深入的研究．目前，超級(jí)計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π的小數(shù)部分超過(guò)31.4萬(wàn)億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同．
（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)數(shù)字是6的概率為 ；
（2）某校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）
【分析】（1）由題意得出從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字共有10種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字6的只有1種結(jié)果，利用概率公式求解即可；
（2）將祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉四位數(shù)學(xué)家分別記作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能結(jié)果及符合條件的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）∵隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，
∴從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字共有10種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字6的只有1種結(jié)果，
∴從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)是數(shù)字6的概率為，
故答案為：；
（2）將祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉四位數(shù)學(xué)家分別記作甲、乙、丙、丁，列表如下：
∵共有12種等可能的情況，其中有一幅是祖沖之的有6種結(jié)果，
∴其中有一幅是祖沖之的概率為＝．
【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
1．（2023?蘇州模擬）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”．將三張正面分別印有以上3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻．
（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是 ；
（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片圖案不同的概率．（請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）從中任意抽取1張，抽得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是，
故答案為：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”三張卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片圖案不相同的結(jié)果有6種，
∴兩次抽取的卡片圖案相同的概率為＝．
2．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)初一年級(jí)學(xué)生于五月初正式進(jìn)入西校區(qū)，開始了新的學(xué)習(xí)與生活．為慶祝這“美好的日子，初一（1）班同學(xué)在操場(chǎng)上舉行了擊鼓傳花的游戲．甲、乙、丙三位同學(xué)在操場(chǎng)上互相傳遞手中的花環(huán)，假設(shè)他們相互間傳遞是等可能的，并且由甲首先開始傳遞．
（1）經(jīng)過(guò)1次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率是 ．
（2）請(qǐng)畫樹狀圖或列表求經(jīng)過(guò)2次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率；
（3）猜想并直接寫出：經(jīng)過(guò)2022次傳遞后，傳到 甲 同學(xué)手中（填甲、乙、丙）的可能性最大．
【分析】（1）根據(jù)題意可知：第1次傳遞后，可能傳給乙，也可能傳給丙，從而可以寫出經(jīng)過(guò)1次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率；
（2）根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，從而可以得到經(jīng)過(guò)2次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率；
（3）先寫出猜想，然后說(shuō)一下如何猜想的即可．
【解析】（1）∵從甲開始傳遞，
∴第1次傳遞后，可能傳給乙，也可能傳給丙，
∴經(jīng)過(guò)1次傳遞后，花環(huán)傳到乙手中的概率是，
故答案為：；
（2）樹狀圖如下所示：
由上可得，經(jīng)過(guò)2次傳遞后，一共有4種可能性，其中花環(huán)傳到乙手中的可能性有1種，
故花環(huán)傳到乙手中的概率是；
（3）經(jīng)過(guò)2022次傳遞后，傳到甲同學(xué)手中的可能性最大，
提示：可以寫出第三次傳遞和第四次傳遞后，傳到甲、乙、丙相應(yīng)的概率，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)次乙、丙的概率一樣，大于甲的概率；偶數(shù)次乙、丙的概率一樣，小于甲的概率，從而可以寫出經(jīng)過(guò)2022次傳遞后，傳到甲同學(xué)手中的可能性最大，
故答案為：甲．
3．（2022?海州區(qū)校級(jí)二模）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)、平臺(tái)由P℃端、手機(jī)客戶端兩大終端組成．手機(jī)客戶端上主要有閱讀文章、觀看視頻、答題活動(dòng)三種學(xué)習(xí)方式．
（1）張老師從三種學(xué)習(xí)方式中隨機(jī)挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，恰好選中答題活動(dòng)的概率為 ．
（2）張老師和李老師各自從三種學(xué)習(xí)方式中隨機(jī)挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，選用列表或畫樹狀圖的方法，求他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算可得；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從表格中得出他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解可得．
【解析】（1）王老師從三種學(xué)習(xí)方式中隨機(jī)挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，恰好選中答題活動(dòng)的概率是；
故答案為：．
（2）記閱讀文章、觀看視頻、答題活動(dòng)分別為A，B，C，
列表如下：
由表可知共有9種等可能的結(jié)果，其中他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的有3種情況，
所以他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的概率．
4．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）小明和小亮設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲：A、B是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，A轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的兩個(gè)扇形，B轉(zhuǎn)盤三個(gè)扇形的圓心角都為120°，如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫色，若配成紫色，則小明贏；否則小亮贏．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤B一次，轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率是 ；
（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）用藍(lán)色的圓心角度數(shù)除以360°即可得出答案；
（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出小亮、小明去的概率，進(jìn)而判斷游戲是否公平．
【解析】（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤B一次，轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率是，
故答案為：；
（2）這個(gè)游戲公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中配成紫色的有3種，配不成紫色的有3種，
∴，，
所以游戲公平．
5．（2022?泉山區(qū)校級(jí)三模）小明的爸媽購(gòu)買車票，高鐵售票系統(tǒng)隨機(jī)分配座位，若系統(tǒng)已將兩人分配到同一排．
（1）小明的爸爸購(gòu)得A座票后，媽媽購(gòu)得B座票的概率是 ；
（2）求分給二人相鄰座位（過(guò)道兩側(cè)座位C、D不算相鄰）的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中分給小明的爸媽二人相鄰座位（過(guò)道兩側(cè)座位C、D不算相鄰）的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）小明的爸爸購(gòu)得A座票后，媽媽購(gòu)得B座票的的概率是；
故答案為：；
（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中分給小明的爸媽二人相鄰座位（過(guò)道兩側(cè)座位C、D不算相鄰）的結(jié)果有6種，
∴分給小明的爸媽二人相鄰座位（過(guò)道兩側(cè)座位C，D不算相鄰）的概率是＝．
6．（2022?連云港模擬）為防控冠狀病毒，市防疫辦要求學(xué)生進(jìn)校園必須戴口罩、測(cè)體溫．某校開通了A、B、C三條測(cè)體溫的通道，給進(jìn)校園的學(xué)生測(cè)體溫．在3個(gè)通道中，可隨機(jī)選擇其中的一個(gè)通過(guò)．
（1）則該校學(xué)生小明進(jìn)校園時(shí)，由A通道測(cè)體溫的概率是 ．
（2）用列樹狀圖或表格的方法，求小明和他的同學(xué)樂(lè)樂(lè)進(jìn)校園時(shí)，經(jīng)過(guò)同一通道測(cè)體溫的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，小明和他的同學(xué)樂(lè)樂(lè)進(jìn)校園時(shí)，經(jīng)過(guò)同一通道測(cè)體溫的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵某校開通了A、B、C三條測(cè)體溫的通道，給進(jìn)校園的學(xué)生測(cè)體溫，
∴小明進(jìn)校園時(shí)，由A通道測(cè)體溫的概率是．
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，小明和他的同學(xué)樂(lè)樂(lè)進(jìn)校園時(shí)，經(jīng)過(guò)同一通道測(cè)體溫的結(jié)果有3種，
∴小明和他的同學(xué)樂(lè)樂(lè)進(jìn)校園時(shí)，經(jīng)過(guò)同一通道測(cè)體溫的概率為＝．
7．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）小明在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個(gè)數(shù)字，分別為1、﹣4、﹣3．現(xiàn)將三張卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后小明任意從中抽出一張，放回?cái)噭蚝笤偃我獬槌鲆粡堄浵聰?shù)字．
（1）第一次抽到寫有正數(shù)的卡片的概率是 ；
（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為負(fù)數(shù)的概率．
【分析】（1）用正數(shù)的個(gè)數(shù)除以數(shù)字的總個(gè)數(shù)即可；
（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到寫有正數(shù)的卡片的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上數(shù)字都為負(fù)數(shù)的有4種結(jié)果，
所以兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率為．
8．（2022?漣水縣一模）某校計(jì)劃在下個(gè)月第三周的星期一至星期四開展社團(tuán)活動(dòng)．
（1）若甲同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一天參加活動(dòng)，則甲同學(xué)選擇在星期三的概率為 ．
（2）若乙同學(xué)隨機(jī)選擇其中的兩天參加活動(dòng)，請(qǐng)用畫樹狀圖（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，甲、乙兩位同學(xué)選擇的兩天是連續(xù)兩天的結(jié)果有6個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若甲同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一1天參加活動(dòng)，則甲同學(xué)選擇在星期三的概率為，
故答案為：．
（2）把星期一、星期二、星期三、星期四分別記為：A、B、C、D，
根據(jù)題意列表如下：
共有12個(gè)等可能的結(jié)果，乙同學(xué)隨機(jī)選擇其中的兩天參加活動(dòng)，其中一天是星期二的概率的結(jié)果有6個(gè)，
∴其中一天是星期二的概率為＝．
9．（2022?宜興市二模）某校共有2名男生和2名女生競(jìng)選學(xué)校學(xué)生會(huì)主席，現(xiàn)抽簽決定演說(shuō)順序．
（1）第一個(gè)演說(shuō)的是男生的概率是 ；
（2）求第一個(gè)和第二個(gè)演說(shuō)的都是女生的概率．（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的形式給出分析過(guò)程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中第一個(gè)和第二個(gè)演說(shuō)的都是女生的情況有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵共有2名男生和2名女生競(jìng)選學(xué)校學(xué)生會(huì)主席，
∴第一個(gè)演說(shuō)的是男生的概率是＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖圖如下：
共有12種等可能的情況，其中第一個(gè)和第二個(gè)演說(shuō)的都是女生的情況有2種，
∴第一個(gè)和第二個(gè)演說(shuō)的都是女生的概率為＝．
10．（2022?江都區(qū)二模）如圖，轉(zhuǎn)盤A中的半圓標(biāo)注2，其他兩個(gè)扇形的面積相等，分別標(biāo)注1和4．轉(zhuǎn)盤B中的半圓標(biāo)注1，其他兩個(gè)扇形的面積相等，分別標(biāo)注2和3．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針指向的數(shù)．連續(xù)進(jìn)行兩次該操作，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求記錄的2個(gè)數(shù)相同的概率；
（2）分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針各自指向的數(shù)，則記錄的2個(gè)數(shù)不相同的概率是 ．
【分析】（1）把轉(zhuǎn)盤A分成相等的四部分，2占2份，畫樹狀展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出2個(gè)數(shù)相同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算；
（2）把轉(zhuǎn)盤B分成相等的四部分，1占2份，畫樹狀展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出2個(gè)數(shù)不相同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．
【解析】（1）畫樹狀圖：
共有16種等可能的結(jié)果，其中2個(gè)數(shù)相同的結(jié)果數(shù)為6，
所以記錄的2個(gè)數(shù)相同的概率＝＝；
（2）畫樹狀圖：
共有16種等可能的結(jié)果，其中2個(gè)數(shù)不相同的結(jié)果數(shù)為12，
所以記錄的2個(gè)數(shù)不相同的概率＝＝．
故答案為：．
11．（2022?宿豫區(qū)二模）煎餅，是我國(guó)北方地區(qū)傳統(tǒng)主食之一，在我國(guó)的分布地區(qū)很廣，種類眾多．某早餐店出售4種口味的煎餅：小麥煎餅、玉米煎餅、紅薯煎餅、雜糧煎餅，李阿姨到該早餐店買煎餅（假設(shè)李阿姨選擇煎餅的口味是隨機(jī)選擇的）．
（1）李阿姨買雜糧煎餅的概率是 ；
（2）若李阿姨準(zhǔn)備買2種不同口味的煎餅，試用列表或畫樹狀圖的方法，求李阿姨買小麥煎餅和玉米煎餅的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可．
（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與李阿姨買小麥煎餅和玉米煎餅的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）李阿姨買雜糧煎餅的概率是；
故答案為：；
（2）小麥煎餅、玉米煎餅、紅薯煎餅、雜糧煎餅分別用A、B、C、D表示，
畫樹狀圖得：
共有12種等可能的結(jié)果，其中李阿姨買小麥煎餅和玉米煎餅的有2種情況，
則李阿姨買小麥煎餅和玉米煎餅的概率是＝．
12．（2022?啟東市二模）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國(guó)空間站開講，翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員相互配合，為廣大青少年再度帶來(lái)一場(chǎng)“高能”的太空科普課，生動(dòng)演示微重力環(huán)境下的“太空冰雪、液橋演示、水油分離、太空拋物”等四個(gè)實(shí)驗(yàn)，深入淺出講解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的科學(xué)原理．我們學(xué)校的全體學(xué)生也觀看了這一節(jié)課．小杰的物理老師組織班級(jí)同學(xué)開展“我愛科學(xué)”活動(dòng)，分享觀看四個(gè)實(shí)驗(yàn)后的感想．老師將四個(gè)實(shí)驗(yàn)的名稱分別寫在四張完全相同的卡片上，背面朝上，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中一張，并向同伴分享對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)的觀看收獲．
（1）小杰抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率為 ；
（2）通過(guò)列表或樹狀圖，求出小杰和同桌小偉恰好都抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率．
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可．
（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小杰和同桌小偉恰好都抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）小杰抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率為；
故答案為：；
（2）“太空冰雪、液橋演示、水油分離、太空拋物”四個(gè)實(shí)驗(yàn)分別用A、B、C、D表示，
根據(jù)題意畫圖如下：
由樹狀圖（表）可知，共有16種情況，且每種情況等可能性，其中小杰和同桌小偉恰好都分享“太空拋物實(shí)驗(yàn)”收獲（記為事件A）的情況有一種（“太空拋物實(shí)驗(yàn)”，“太空拋物實(shí)驗(yàn)”），
則小杰和同桌小偉恰好都抽到寫有“太空拋物實(shí)驗(yàn)”卡片，并分享觀后收獲的概率是．
13．（2022?淮陰區(qū)校級(jí)一模）某城市新冠疫情嚴(yán)重，波及周圍部分城市，我市為加強(qiáng)防控，要求學(xué)生進(jìn)校必須戴口罩、測(cè)體溫．某校開通了A、B、C三條人工測(cè)體溫通道，在三個(gè)通道中，可隨機(jī)選擇其中的一個(gè)通過(guò)．
（1）某同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由A通道通過(guò)的概率是 ；
（2）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由相同通道通過(guò)的概率．（用畫“樹狀圖”或“列表格”）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由相同通道通過(guò)的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵某校開通了A、B、C三條測(cè)體溫的通道，
∴某同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由A通道通過(guò)的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由相同通道通過(guò)的結(jié)果有3種，
∴甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)校園時(shí)，由相同通道通過(guò)的概率為＝．
14．（2022?豐縣二模）如圖，某公園門口的限行柱之間的三個(gè)通道分別記為A、B、C，這三個(gè)通道寬度同，行人選擇任意一個(gè)通道經(jīng)過(guò)的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約去該公園玩．
（1）甲同學(xué)選擇A通道的概率是 ．
（2）用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丙兩位同學(xué)從同一通道經(jīng)過(guò)的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，找出甲、丙兩位同學(xué)從同一通道經(jīng)過(guò)的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）甲同學(xué)選擇A通道的概率是；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的情況數(shù)，甲、丙兩位同學(xué)從同一通道經(jīng)過(guò)的有3種，
則甲、丙兩位同學(xué)從同一通道經(jīng)過(guò)的概率是＝．
15．（2022?海陵區(qū)二模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．
（1）從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)畫三角形，所畫三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）從A、B、D、E四點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)C、F為頂點(diǎn)畫四邊形，用畫樹狀圖或列表格法求所畫四邊形是平行四邊形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中以這兩點(diǎn)及點(diǎn)C、F為頂點(diǎn)畫四邊形，所畫四邊形是平行四邊形的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)畫三角形，共有4種可能，
其中選取C或E或F點(diǎn)時(shí)，所畫三角形是等腰三角形，
∴所畫三角形是等腰三角形的概率是，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中以這兩點(diǎn)及點(diǎn)C、F為頂點(diǎn)畫四邊形，所畫四邊形是平行四邊形的結(jié)果有4種，即AB、AE、BA、EA，
∴所畫四邊形是平行四邊形的概率為＝．
16．（2022?儀征市二模）北京首次舉辦冬奧會(huì)，成為國(guó)際上唯一舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的“雙奧之城”，墩墩和融融積極參加雪上項(xiàng)目的志愿者服務(wù)，現(xiàn)有三輛車按照1，2，3編號(hào)，兩人可以任選坐一輛車去參加服務(wù)．
（1）墩墩選坐1號(hào)車的概率是 ；
（2）請(qǐng)利用樹狀圖或列表法求兩人同坐2號(hào)車的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人同坐2號(hào)車的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）墩墩選坐1號(hào)車的概率是；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人同坐2號(hào)車的結(jié)果有1種，
則兩人同坐2號(hào)車的概率為．
17．（2022?靖江市二模）隨著地方經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，某地體育中心、金融中心、文化中心相繼落成，小明、小麗周末都有想去參觀游玩的打算．
（1）若小明隨機(jī)選擇其中一個(gè)地點(diǎn)游玩，則小明選擇文化中心的概率為 ；
（2）利用列表或畫樹狀圖的方法，求小明、小麗兩人選擇的兩個(gè)地點(diǎn)不同的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）若小明隨機(jī)選擇其中一個(gè)地點(diǎn)游玩，則小明選擇文化中心的概率為，
故答案為：；
（2）將體育中心、金融中心、文化中心分別記作A、B、C，
畫樹狀圖如圖：
由樹狀圖知，共有9個(gè)等可能的結(jié)果，其中小明、小麗兩人選擇的兩個(gè)地點(diǎn)不同的有6種結(jié)果，
所以小明、小麗兩人選擇的兩個(gè)地點(diǎn)不同的概率為＝．
18．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）中國(guó)空間站作為國(guó)家太空實(shí)驗(yàn)室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宮課”中航天員生動(dòng)演示了微重力環(huán)境下的4個(gè)實(shí)驗(yàn)，分別是A．太空冰雪實(shí)驗(yàn)、B．液橋演示實(shí)驗(yàn)、C．水油分離實(shí)驗(yàn)、D．太空拋物實(shí)驗(yàn)．小明和小華兩位同學(xué)打算各自從這四個(gè)實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)抽取一個(gè)，制作手抄報(bào)講解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象背后的科學(xué)原理．
（1）小明隨機(jī)抽取的實(shí)驗(yàn)是“太空拋物實(shí)驗(yàn)”的概率為 ；
（2）利用樹狀圖或列表的方法求小明和小華抽到不同實(shí)驗(yàn)的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小華抽到不同實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）小明隨機(jī)抽取的實(shí)驗(yàn)是“太空拋物實(shí)驗(yàn)”的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小華抽到不同實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有12種，
∴小明和小華抽到不同實(shí)驗(yàn)的概率為＝．
19．（2022?海州區(qū)校級(jí)二模）依次將甲、乙、丙三個(gè)完全相同的小球，隨機(jī)任意放入A、B、C三個(gè)盒子里，每個(gè)小球的去向互不影響．
（1）最終甲球被放入B盒子里的概率為 ；
（2）求甲、乙、丙三個(gè)球在同一個(gè)盒子里的概率（請(qǐng)用“畫樹狀圖”等方法寫出分析過(guò)程）．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解析】（1）最終甲球被放入B盒子里的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有27種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三個(gè)球在同一個(gè)盒子里的結(jié)果數(shù)為3，
所以甲、乙、丙三個(gè)球在同一個(gè)盒子里的的概率＝＝．
20．（2022?宜興市校級(jí)二模）如圖，有2個(gè)相同的小球和5個(gè)擺放成“十”字型的正方形格子．
（1）將1個(gè)小球隨機(jī)放入格子中，則這個(gè)小球恰好落在中心格子中的概率是 ；
（2）將2個(gè)球隨機(jī)放入格中，每格至多放一個(gè)球，列表或者畫樹狀圖求這2個(gè)球所在的格子恰有一條公共邊的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）將五個(gè)方格分別記作1、2、3、4、5，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）將1個(gè)小球隨機(jī)放入格子中，則這個(gè)小球恰好落在中心格子中的概率是，
故答案為：；
（2）如圖，將五個(gè)方格分別記作1、2、3、4、5，
列表如下：
由表知，共有20種等可能結(jié)果，其中這2個(gè)球所在的格子恰有一條公共邊的8種結(jié)果，
所以這2個(gè)球所在的格子恰有一條公共邊的概率為＝．
21．（2022?江都區(qū)校級(jí)三模）某公司獲得了江蘇省第二十屆運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“泰寶”、“鳳娃”的形象使用權(quán)，并專門設(shè)計(jì)了“泰寶”、“鳳娃”、“會(huì)徽”三款雪糕．為了解三款雪糕的顧客滿意度，公司在各商場(chǎng)設(shè)定摸獎(jiǎng)免費(fèi)試吃活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則：在一個(gè)不透明的盒子內(nèi)，裝有除標(biāo)記外其余都相同的三個(gè)小球（“泰寶”、“鳳娃”、“會(huì)徽”分別用T、F、H標(biāo)記），規(guī)定摸出什么記號(hào)的小球，即可兌換一支相應(yīng)款型的雪糕．
（1）小張同學(xué)參加活動(dòng)時(shí)，獲得兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他先摸出一個(gè)小球，放回?cái)噭蚝?，再摸一個(gè)小球，工作人員根據(jù)他兩次所摸結(jié)果為他兌獎(jiǎng)．請(qǐng)用樹狀圖或列表法，表示他摸出小球的各種可能情況．
（2）小張同學(xué)能獲得兩支不同款型雪糕的概率是多少？
【分析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果；
（2）從表格中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】（1）列表如下：
由表知，共有9種等可能結(jié)果；
（2）由表知，小張同學(xué)能獲得兩支不同款型雪糕的有6種結(jié)果，
所以小張同學(xué)能獲得兩支不同款型雪糕的概率為＝．
22．（2022?武進(jìn)區(qū)二模）某社區(qū)2名男生和3名女生積極報(bào)名參加抗擊疫情工作，他們分配到的任務(wù)是保障社區(qū)居民物資需求．
（1）若從這5人中選1人進(jìn)行物資登記，求恰好選中女生的概率；
（2）若從這5人中選2人進(jìn)行物資分配，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求恰好選中一男一女的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好選中一男一女的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若從這5人中選1人進(jìn)行物資登記，恰好選中女生的概率是；
（2）畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好選中一男一女的結(jié)果有12種，
∴恰好選中一男一女的概率為＝．
23．（2022?泰興市一模）某社區(qū)要招募一名省運(yùn)會(huì)志愿者，小紅和小明都積極報(bào)名參加，社區(qū)擬采用抽簽的辦法決定誰(shuí)是志愿者．抽簽規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)簽（除編號(hào)外都相同）：從中隨機(jī)抽出兩個(gè)簽，記下數(shù)字，若兩個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，則小紅為志愿者，若兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，則小明為志愿者．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法列出抽簽所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）這個(gè)抽簽規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即可；
（2）求出小紅、小明獲勝的概率即可．
【解析】（1）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
（2）這個(gè)抽簽規(guī)則對(duì)雙方不公平，理由如下：
由（1）可得，共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的有4種，偶數(shù)的有2種，
所以小紅勝的概率為＝，小明勝的概率為＝，
因?yàn)椋?br>所以不公平．
24．（2022?建鄴區(qū)二模）為阻斷疫情傳播，筑牢抗疫防線，落實(shí)動(dòng)態(tài)清零政策，某社區(qū)設(shè)置了A、B、C三個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)．假定甲、乙兩人去某個(gè)檢測(cè)點(diǎn)是隨機(jī)的且去每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)機(jī)會(huì)均等．
（1）甲在A檢測(cè)點(diǎn)做核酸的概率為 ．
（2）求甲、乙兩人在不同檢測(cè)點(diǎn)做核酸的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人在不同檢測(cè)點(diǎn)做核酸有6種結(jié)果，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）甲在A檢測(cè)點(diǎn)做核酸的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人在不同檢測(cè)點(diǎn)做核酸有6種結(jié)果，
∴甲、乙兩人在不同檢測(cè)點(diǎn)做核酸的的概率為＝．
25．（2022?興化市二模）為增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉辦了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，某班共有3名學(xué)生（2名男生，1名女生）獲獎(jiǎng)．
（1）老師從獲獎(jiǎng)的3名學(xué)生中選取一名作為班級(jí)的“環(huán)保小衛(wèi)士”，則恰好是女生的概率為 ．
（2）老師若從獲獎(jiǎng)的3名學(xué)生中任選兩名作為班級(jí)的“環(huán)保小衛(wèi)士”，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求出恰好是一名男生，一名女生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好是一名男生，一名女生的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）老師從獲獎(jiǎng)的3名學(xué)生中選取一名作為班級(jí)的“環(huán)保小衛(wèi)士”，則恰好是女生的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好是一名男生，一名女生的結(jié)果有4種，
∴恰好是一名男生，一名女生的概率為＝．
26．（2022?南京二模）2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)在我國(guó)舉行．如圖，冬奧會(huì)的會(huì)徽和吉祥物為“冬夢(mèng)“、“冰墩墩“，冬殘奧會(huì)的會(huì)徽和吉祥物為“飛躍“、“雪容融“，將4張正面分別印有以上圖案的卡片隨機(jī)分成甲、乙兩組，每組2張．
（1）“冰墩墩“在甲組的概率是 ；
（2）求每組的2張卡片恰是會(huì)徽和對(duì)應(yīng)吉祥物的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中每組的2張卡片恰是會(huì)徽和對(duì)應(yīng)吉祥物的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1））“冰墩墩“在甲組的概率是，
故答案為：；
（2）分別把“冬夢(mèng)“、“冰墩墩“記為A、B，“飛躍“、“雪容融“記為C、D，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中每組的2張卡片恰是會(huì)徽和對(duì)應(yīng)吉祥物的結(jié)果有4種，即（A，B）、（B，A）、（C，D）、（D，C），
∴每組的2張卡片恰是會(huì)徽和對(duì)應(yīng)吉祥物的概率為＝．
27．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）一個(gè)3×3的棋盤，在棋盤方格內(nèi)隨機(jī)放入棋子，且每一方格內(nèi)最多放入一枚棋子．
（1）如圖①，棋盤內(nèi)已有兩枚棋子，在剩余的方格內(nèi)隨機(jī)放入一枚棋子，這三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率為 ；
（2）如圖②，棋盤內(nèi)已有四枚棋子，在剩余的方格1、2、3、4、5內(nèi)隨機(jī)放入兩枚棋子，試用“列表法或畫樹狀圖”的方法，求僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有20個(gè)等可能的結(jié)果，僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的結(jié)果有8個(gè)，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）棋盤內(nèi)已有兩枚棋子，在剩余的方格內(nèi)隨機(jī)放入一枚棋子，這三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有20個(gè)等可能的結(jié)果，僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的結(jié)果有8個(gè)，
∴僅有三枚棋子恰好能在同一條直線上的概率為＝．
28．（2022?吳中區(qū)模擬）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某市政府決定對(duì)該市直屬機(jī)關(guān)200戶家庭用水情況進(jìn)行調(diào)查．市政府調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息解答下列問(wèn)題：
（1）填空：a＝ 20 ，b＝ 0.18 ．
（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 4.92噸 ，眾數(shù)是 4噸 ，中位數(shù)是 5噸 ．
（3）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進(jìn)行“節(jié)水”經(jīng)驗(yàn)分享．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率．
【分析】（1）求出抽查的戶數(shù)，即可解決問(wèn)題；
（2）由平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，列舉出來(lái)，恰好選到甲、丙兩戶的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）抽查的戶數(shù)為：4÷0.08＝50（戶），
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18，
故答案為：20，0.18；
（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝×（3×4+4×20+5×9+6×10+7×7）＝4.92（噸），
眾數(shù)是4噸，中位數(shù)為＝5（噸），
故答案為：4.92噸，4噸，5噸；
（3）畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，恰好選到甲、丙兩戶的結(jié)果有2種，
∴恰好選到甲、丙兩戶的概率為＝．
29．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤均被分成3個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（當(dāng)指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效，需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤，指針指向數(shù)字5的概率是 ；
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y，求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率．
【分析】（1）根據(jù)幾何概率的定義，1除以3即可求解；
（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵甲轉(zhuǎn)盤被分成3個(gè)面積相等的扇形，
∴轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤，指針指向數(shù)字5的概率是1÷3＝．
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有9種等可能的結(jié)果，點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，
∴點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率為．
30．（2022?賈汪區(qū)二模）隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢(shì)日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校為加強(qiáng)學(xué)生自我防護(hù)意識(shí)，成立“防疫志愿者服務(wù)隊(duì)”，設(shè)立三個(gè)“監(jiān)督崗”：①教學(xué)樓監(jiān)督崗，②閱覽室監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，小宇和小寧兩位同學(xué)報(bào)名參加了志愿者服務(wù)工作，在不了解具體崗位的情況下，他們從序號(hào)①、②、③中隨機(jī)填報(bào)了一個(gè)服務(wù)監(jiān)督崗序號(hào)．
（1）小宇填報(bào)“③”的概率為 ；
（2）用列表法或畫樹狀圖法，求小宇和小寧同時(shí)選到“③就餐監(jiān)督崗”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；
（2）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，找出小宇和小寧同時(shí)選到“③就餐監(jiān)督崗”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【解析】（1）小宇填報(bào)“③”的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小寧同時(shí)選到“③就餐監(jiān)督崗”的結(jié)果數(shù)有1種，
∴小宇和小寧同時(shí)選到“③就餐監(jiān)督崗”的概率為．
①
②
③
①③
②③
④
①④
②④
⑤
①⑤
②⑤
0
1
﹣2
3
0
1
﹣2
3
1
﹣1
﹣3
2
﹣2
2
3
5
3
﹣3
﹣2
﹣5
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，?。?br>（乙，?。?br>（丙，?。?br>一
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
B盤
A盤
藍(lán)
藍(lán)
紅
藍(lán)
藍(lán)藍(lán)
藍(lán)藍(lán)
藍(lán)紅
紅
紅藍(lán)
紅藍(lán)
紅紅
窗
過(guò)道
窗
1
2
3
4
5
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
T
F
H
T
（T，T）
（F，T）
（H，T）
F
（T，F(xiàn)）
（F，F(xiàn)）
（H，F(xiàn)）
H
（T，H）
（F，H）
（H，H）
月平均用水量（噸）
3
4
5
6
7
頻數(shù)（戶數(shù)）
4
a
9
10
7
頻率
0.08
0.40
b
0.20
0.14

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