專題23 復(fù)數(shù)經(jīng)典問題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一.基本概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，.
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.
= 1 \* GB3 ①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部； Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).
= 2 \* GB3 ②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計(jì)算公式為，顯然，.
二.基本性質(zhì)
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).
（3）.
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.
【典型例題】
例1．（2024·河北唐山·一模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則=（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】,所以，，.
故選：D
例2．（2024·陜西西安·二模）復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則（）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
故有，解得.
故選：C.
例3．（2024·寧夏石嘴山·一模）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，
所以且，解得，
又，，，，
則.
故選：A．
例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（）.
A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)B．
C．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)D．
【答案】A
【解析】，故，
故A正確，B、C、D錯誤.
故選：A.
例5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)的實(shí)部大于0，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
代入，得，
解得：，
所以.
故選：D.
例6．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
則有，
即，
化簡可得，故.
故選：D.
例7．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知的兩共軛虛根為，，且，則．
【答案】3
【解析】由題設(shè)，可令，且，
所以，
所以.
故答案為：3
例8．（2024·高三·上海靜安·期末）已知，是虛數(shù)單位，的虛部為 .
【答案】
【解析】由題，
所以的虛部為.
故答案為：
例9．（2024·高三·廣東·專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)
【答案】
【解析】由，
結(jié)合題意，則，解得.
故答案為：.
例10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，虛數(shù)為方程的一個根，則的值為 .
【答案】1
【解析】由題意可知虛數(shù)為方程的一個根，也為方程的一個根，
所以，
設(shè)，則，
，
所以，
故答案為：.
例11．（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程和有四個不同的根，若這四個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)共圓，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因?yàn)榈慕鉃?br>，
設(shè)所對應(yīng)的兩點(diǎn)分別為，
則，，
設(shè)的解所對應(yīng)的兩點(diǎn)分別為，，
記為,,，
當(dāng)，即時，因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，
且，，關(guān)于軸對稱，顯然四點(diǎn)共圓；
當(dāng)，即或時，
此時,,，且，
故此圓的圓心為，半徑，
又圓心到的距離，
解得，
綜上：,
故答案為：.
例12．（2024·天津南開·一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為
【答案】
【解析】.
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）
A．B．C．3D．0
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以復(fù)數(shù)的虛部.
故選：A
2．（2024·北京·模擬預(yù)測）記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所?
故選：C.
3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）設(shè)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
故，
故選：B
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：，.
方法二：.
故選：B.
5．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到向量，點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)為，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，設(shè)其與實(shí)軸正半軸夾角為，則，
故可設(shè)，
設(shè)與實(shí)軸正半軸夾角為，則，
故，
故，則，
，
.
故選：C
6．（2024·陜西西安·一模）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，
所以.
故選：A
7．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
則.
故選：D.
8．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】，
在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.
故選：B.
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】設(shè)則
所以，，即，
則
故選：B.
10．（2024·全國·二模）若復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>所以的共軛復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第四象限.
故選：D
11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2－1）＋（a＋1）i為純虛數(shù)，則＝（）
A．1B．0C．1＋iD．1－i
【答案】D
【解析】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i為純虛數(shù)，則a2－1＝0，a＋1≠0，則a＝1，則
＝
＝
＝1－i.
12．（2024·福建·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A．B．0C．D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
則，
故選：D.
13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A．若，則
B．若，則且
C．若，則
D．若，且，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
【答案】D
【解析】設(shè)、，、、、，
對A：若，則有，
即且，故A錯誤；
對B：取、，亦有，故B錯誤；
對C：取，，則有，，故C錯誤；
對D：設(shè)，、，若，
則有，
即有，
整理得，
由，故與不能同時成立，
故在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，
故D正確.
故選：D.
14．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虛部為.
故選:B.
二、多選題
15．（2024·福建漳州·一模）若，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由題意可得：，
則，解得，可得，
故BCD正確，A錯誤.
故選：BCD.
16．（2024·云南·一模）已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）
A．若，則
B．
C．若，則
D．
【答案】BD
【解析】對于A：令、，則，顯然不滿足，故A錯誤；
對于C：令、，則，，
所以，但是，故C錯誤；
設(shè)，，
所以，
則
，
又，
所以，故B正確；
，又，
所以，故D正確.
故選：BD
17．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）設(shè)，是關(guān)于的方程的兩根，其中，.若為虛數(shù)單位，則
（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椋顷P(guān)于的方程的兩根，其中，且，
所以，
所以，所以，
，所以，
則，故A錯誤，B正確，C正確；
，故D正確.
故選：BCD
18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）
A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．D．是方程的一個根
【答案】BD
【解析】因?yàn)椋裕?br>則的虛部為，故A錯誤；
由于，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確；
由于，故C錯誤；
方程可化為，方程的根為，故D正確．
故選:BD．
19．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由可得，
所以，即A正確；
可得，即B正確；
，，顯然錯誤，即C錯誤；
，而，所以D錯誤.
故選：AB
20．（2024·吉林白山·二模）已知為復(fù)數(shù)，則（）
A．若，則為實(shí)數(shù)
B．
C．若，則
D．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上
【答案】ABD
【解析】設(shè)，故為實(shí)數(shù)，故A正確；，故B正確；
令，故，但，故C錯誤；
若，則，故，即或，故D正確.
故選：ABD
21．（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，則（）
A．B．
C．若，則D．
【答案】ACD
【解析】由題意知復(fù)數(shù)，滿足，，且，
則，故，
即，得，
故，D正確；
，
得，A正確；
由于，
故
，B錯誤；
由以上D的分析可知，若，則，故，C正確；
故選：ACD
22．（2024·山東棗莊·一模）已知，則（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ABD
【解析】設(shè)，則.
對于A：若，且，
可得，所以，正確；
對于B：若，則，即，
得或，所以，正確；
選項(xiàng)C：令、，則，，
所以，但是，錯誤；
選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>所以，
，所以，正確.
故選：ABD
23．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的為（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】對于A，，則，
所以，故A正確；
對于B，
，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，
所以，故D正確.
故選：ACD.
24．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（）
A．，
B．
C．若，，則的最小值為1
D．若是關(guān)于x的方程的根，則
【答案】ACD
【解析】對于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，
故，A正確；
對于B，由于，故，B錯誤；
對于C，，設(shè)，由于，則，
故，
由，得，則，
故當(dāng)時，的最小值為1，C正確；
對于D，是關(guān)于x的方程的根，
故，即，
故，D正確，
故選：ACD
25．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（）
A．若，則B．若，則
C．D．
【答案】AC
【解析】設(shè)，則.
對于A：，
若，則，
所以，即，故A一定成立；
對于B：，若，則①，
，同理，
若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立；
選項(xiàng)C：，
，
所以，故C一定成立；
選項(xiàng)D：②，
，與②式不同，故D不一定成立.
故選：AC
26．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則D．若是非零復(fù)數(shù)，則
【答案】BC
【解析】對于A項(xiàng)，若，，顯然滿足，但，故A項(xiàng)錯誤；
對于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故而，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，由可得：，因是非零復(fù)數(shù)，故，即，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，當(dāng)時，是非零復(fù)數(shù)，但，故D項(xiàng)錯誤.
故選：BC.
27．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)z1＝2－2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P1，復(fù)數(shù)z2滿足|z2－i|＝1，則下列結(jié)論正確的是（）
A．點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，－2）
B．z1＝2＋2i
C．|z2－z1|的最大值為＋1
D．|z2－z1|的最小值為2
【答案】ABC
【解析】解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝2－2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P1，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，－2），故A正確；因?yàn)閦1＝2－2i，所以z1＝2＋2i，故B正確；設(shè)z2＝x＋yi（x，y∈R），在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P（x，y），設(shè)A（0，1），因?yàn)閨z2－i|＝1，所以點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A的距離為1，因此點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A（0，1）為圓心，1為半徑的圓，|z2－z1|表示圓A上的點(diǎn)到點(diǎn)P1的距離，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝
＋1＝
＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝
－1＝
－1，故C正確，D不正確．故選ABC.
【考查意圖】
復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，只需確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部即可．
28．（2024·湖南邵陽·二模）已知復(fù)數(shù)滿足：(其中為虛數(shù)單位)，則下列說法正確的有( )
A．B．
C．的最小值為D．的最大值為
【答案】BC
【解析】設(shè)，則，即，
它表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；
設(shè)，則由，得，
即，它表示一條直線；
對于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C和D：表示圓上點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線段的長度，
該距離最小為圓心到直線距離減去圓的半徑，即為；該距離無最大值（直線上的點(diǎn)可離圓上的點(diǎn)無窮遠(yuǎn)）；
故選：BC．
29．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若復(fù)數(shù)滿足，，則（）
A．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的向量與對應(yīng)的向量所成角的正切值為2
B．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C．的虛部為2
D．的實(shí)部為
【答案】CD
【解析】設(shè)，、，
由，即有，即，
由，即有，即，即，
對A：設(shè)對應(yīng)的向量與對應(yīng)的向量所成角為，
則，即，故A錯誤；
對B：在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，故B錯誤；
對C、D：的虛部為2，實(shí)部為，故C、D正確.
故選：CD.
30．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）若、為復(fù)數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】對于A選項(xiàng)，取，，則，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A錯；
對于B選項(xiàng)，設(shè)，，
則，，
，，則，所以，，B對；
對于C選項(xiàng)，不妨取，，則，，，
所以，，故，C錯；
對于D選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，，
所以，，D對.
故選：BD.
31．（2024·江蘇·一模）已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的有（）
A．若，則B．若，則
C．若，則或D．若，則
【答案】AC
【解析】選項(xiàng)A，，則，故A正確；
選項(xiàng)B，令，滿足條件，但，且均不為，故B錯誤；
選項(xiàng)C，下面先證明命題“若，則，或”成立.
證明：設(shè)，，
若，則有，
故有，即，兩式相乘變形得，，
則有，或，或，
①當(dāng)時，，即；
②當(dāng)，且時，則，
又因?yàn)椴煌瑫r為，所以，即；
③當(dāng)，且時，則，同理可得，故；
綜上所述，命題“若，則，或”成立.
下面我們應(yīng)用剛證明的結(jié)論推證選項(xiàng)C，
，，
，或，即或，故C正確；
選項(xiàng)D，令，
則，
但，不為，故D錯誤.
故選：.
32．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）
A．
B．若，則
C．若且，則
D．若，則的最大值為.
【答案】ACD
【解析】對于A中，由，可得，所以A正確；
對于B中，由，因?yàn)椋傻?，所以B錯誤；
對于C中，由，因?yàn)?，可得，?br>又因?yàn)?，可得?br>聯(lián)立方程組，可得，解得，所以C正確；
對于D中，由，可得，
因?yàn)?，可得，即?br>表示以為圓心，半徑為的圓，
可得，則原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即的最大值為，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題
33．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則．
【答案】
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，故，
則，故
故答案為：

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