1．已知函數(shù)，則方程的根個(gè)數(shù)為（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【解析】令，即根的個(gè)數(shù)，
設(shè)，所以，即或，解得或，
即或，即或，解得；
或或，無符合題意的解.
綜上所述：程的根個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A.
2．已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】作出的圖象，如圖所示：
則的值域?yàn)?，求的零點(diǎn)，即求，即，對(duì)應(yīng)方程的根.
設(shè)，則，則等價(jià)于，如圖所示：
有3個(gè)交點(diǎn)，則有三個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，有，解得或，
當(dāng)時(shí)，有，解得或（舍）
故的值分別為，，，則對(duì)應(yīng)解如下圖
對(duì)應(yīng)5個(gè)交點(diǎn)，分別為點(diǎn)Q，M，K，E，T，
綜上所述：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D
3．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)都有，則方程的解所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由題意可知，對(duì)任意的，都有.
則為定值.設(shè)，則.
又由，即.可解得.則，
∴.∴.
令，，
故在上單調(diào)遞增，又由，.
故的唯一零點(diǎn)在區(qū)間之間.則方程的解在區(qū)間上.故選:A.
4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，
所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值，如下圖示：
由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：
當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；
當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.
綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).選：B
5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解析】因?yàn)?，由可得?br>所以，關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①先討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以，方程只有兩解和；
②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由可得，可得或，
當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，不合乎題意，
當(dāng)時(shí)，由可得，
因?yàn)?，由題意可得或或，解得或.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.
6．函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出函數(shù)的圖像如下所示，當(dāng)，時(shí)，，所以時(shí)遞增，
當(dāng)時(shí)遞減，所以當(dāng)時(shí)，
在處取最大值為：（如下圖所示平行于直線）；
因?yàn)?，即，解得或?br>當(dāng)時(shí)，觀察圖像易知此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)根，
要使關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則需要與圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，只需要，即.故選：D.
7．已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象恰有8個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解析】當(dāng) 時(shí)， ，，
由時(shí)，，得單調(diào)遞減，由時(shí)，，得單調(diào)遞增，
故時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由時(shí)，，得單調(diào)遞減，
由時(shí)，得單調(diào)遞增，
所以時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，，
作出的大致圖象如圖：
函數(shù)與的圖象恰有8個(gè)不同公共點(diǎn)，
即方程有8個(gè)不同的根，
令 ，根據(jù)其圖象，討論有8解情況如下：令，
當(dāng) 在有兩個(gè)解時(shí)，滿足題意，即 ，解得 ，故選：A.
8．定義在上的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
令，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，
當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)根，
則方程等價(jià)于，
因?yàn)榉匠糖∮袀€(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，或，或，
可得這5個(gè)根也關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，所以，故選：D
9．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，
令，則方程可化為.
由圖可知：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，
要使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B
10．已知為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解析】作出的圖像如圖所示，由的圖像可知，
的極大值為，極小值為，
有9個(gè)零點(diǎn)，令，結(jié)合和的圖像可知，
有3個(gè)解，分別設(shè)為，且，
且每個(gè)對(duì)應(yīng)都有3個(gè)滿足，欲使有9個(gè)零點(diǎn)，由圖可知：，
且，，，由函數(shù)的解析式知：
，，，由圖像可知，
，則，解得，得，故選：A.
11．已知函數(shù)（且），若函數(shù)的零點(diǎn)有5個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．或
C．或或D．或
【解析】依題意函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，
①當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有兩個(gè)根，（，），
而對(duì)應(yīng)2個(gè)根，所以需要對(duì)應(yīng)3個(gè)根，所以，即，解得；
②當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有兩個(gè)根，（，），而對(duì)應(yīng)2個(gè)根，
對(duì)應(yīng)2個(gè)根，即共四個(gè)根，所以不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有三個(gè)根，，，
從而，，，所對(duì)應(yīng)2、2、1個(gè)根，即共5個(gè)根，所以滿足題意；
④當(dāng)時(shí)函數(shù)的函數(shù)圖象如下所示：
所以有三個(gè)根，，，（，，），
而，，分別對(duì)應(yīng)2、2、0個(gè)根，即共四個(gè)根，所以不滿足題意；
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為或；故選：D
12．已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】由題設(shè)，且方程的根分別為、，
當(dāng)時(shí)，在、上，在上，
所以在、上遞增，在上遞減，則極大值，極小值，
在各單調(diào)區(qū)間上恒有；
當(dāng)時(shí)，在上，在上，
所以在上遞減，在上遞增，且，；綜上，的圖象如下：
顯然時(shí)有一個(gè)解，而原方程共有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，由圖知：，即.故選：D
二、多選題
13．已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】∵，∴，，∴.
設(shè)，∵，，在上先增后減，
∴.∵，∴，，
∴，∴.∵，∴
設(shè)，∵，，在上先增后減，
∴.∴.故選：BC.
14．已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，從小到大依次是則下列說法正確的有（ ）
A．B．C．D．可以取到3
【解析】由題設(shè)，，其函數(shù)圖象如下：
而的對(duì)稱軸為且，即，
所以必有兩個(gè)零點(diǎn)、分別在的兩側(cè)，
由上圖知：且，滿足原方程有四個(gè)實(shí)根，
故，則，D正確；
所以：；且；
：；且：.；
所以且，則，
故A、C錯(cuò)誤，B正確.
故選：BD
15．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，則由的圖象可知：方程有5個(gè)不同的實(shí)根與的圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，且（不妨設(shè)）.則解得.故選：BCD
16．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同根，則整數(shù)m的取值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：
關(guān)于的方程有6個(gè)不同根，令，，
即方程有2個(gè)不同的解，可能一個(gè)在上，一個(gè)在上，也可能兩個(gè)都在上.
令，若在上和上各有一個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以，解得，所以整數(shù)的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
若在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，該不等式組無解，故選：ABC
17．設(shè)函數(shù)，集合，則下列命題正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)
C．若集合M有三個(gè)元素，則k的取值范圍為
D．若（其中），則
【解析】A：時(shí)，或，結(jié)合解析式：時(shí)有或，
時(shí)有，所以，正確；
B：時(shí)，由，知方程無解，則，正確；
由解析式可得其函數(shù)圖象如下圖示：
令，開口向上且對(duì)稱軸為，
若，則，即，有以下情況：
1、，：
此時(shí)，令，則在上有一個(gè)零點(diǎn)，
∴，可得，
2、，，由A知：.
綜上：，故C錯(cuò)誤；
若，由函數(shù)的性質(zhì)及圖象知：必有，.
此時(shí)，，，
所以，，所以，故D正確.
故選：ABD
18．若，則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)可能為（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知，作出函數(shù)圖象如圖所示，
又，所以或，因?yàn)?，有個(gè)實(shí)數(shù)解，
當(dāng)，即時(shí)，無解，共有個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)，即，，共有個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)實(shí)數(shù)解，共有個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)實(shí)數(shù)解，共有個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)實(shí)數(shù)解，共有個(gè)實(shí)數(shù)解；
故選：ACD.
三、填空題
19．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．
【解析】原方程可化為，解得，，
因?yàn)椋瑒t，，
的圖象如圖所示：
因?yàn)榉匠糖∮袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，不成立；
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)無解；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，不成立；
綜上：或
20．已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程（）恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_______.
【解析】令，則方程轉(zhuǎn)化為，畫出的圖象，如圖
可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，
因?yàn)榍『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，
因?yàn)椋獾?，，解得?br>所以，，每個(gè)方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以由，可得，即，解得；
由，可得，即， 解得；
由，可得，
即，而在上恒成立，
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.
21．已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_________.
【解析】等價(jià)于，
解得或， 因?yàn)?，所以，?
如圖，繪出函數(shù)的圖象，
方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
等價(jià)于有一個(gè)實(shí)數(shù)解且有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
或有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解且有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
①當(dāng)或時(shí)，無解，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，則，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，則，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意；
④當(dāng)時(shí)，則，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意，
綜上，m的取值范圍為.
22．已知函數(shù)，若函數(shù)（其中）有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
【解析】畫出函數(shù)的圖像，如下圖所示：
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，
所以，若和為方程的兩根時(shí)，
原函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，
則得到方程組，方程組無解；
若，為方程的兩根時(shí)，
原函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，得不等式組，解得.
故答案為：.
四、解答題
23．已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、x，且，求證：；
（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）．
當(dāng)時(shí)，，有，即．
當(dāng)時(shí)，，有，即．
綜上，函數(shù)在R上是奇函數(shù)．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在R上也是增函數(shù)，
故函數(shù)在上是增函數(shù)．
由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)．由奇函數(shù)的單調(diào)性知，
函數(shù)在上也是增函數(shù)，從而函數(shù)在R上是增函數(shù)．
由，得，所以，即．
（3）由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，故原方程可化為．
令，則當(dāng)時(shí)，．
原方程有兩個(gè)不相等的正根等價(jià)于：關(guān)于t的方程有兩個(gè)不相等的正根，
即
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
24．已知向量（其中），，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
(3)若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】(1)，
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，所以?br>依題意可得，解得.
(2)由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖：
因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以在的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，.
(3)因?yàn)椋?br>所以對(duì)任意的，都有恒成立，
設(shè)，則,即，解得.
25．已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個(gè)單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若關(guān)于x的方程在上有三個(gè)解，求a的取值范圍．
【解析】(1)因?yàn)閳D象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是，所以函數(shù)的最小正周期，解得，
即，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，，即，，
又因?yàn)?，所以，?br>(2)因?yàn)?，，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，解得，時(shí)，解得，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，函數(shù)，的圖象如下所示：
因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有三個(gè)解，
令，即，，
若為方程的根，此時(shí)，則，不符合題意；
依題意方程在有兩不相等實(shí)數(shù)根、，不妨令，且，；
若為方程的根，此時(shí)，則，此時(shí)符合題意；
若時(shí)，令則，即，解得，
綜上可得

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高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)專題講義專題14 函數(shù)零點(diǎn)問題-新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破（新高考專用）

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高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)專題講義專題05 分段函數(shù)-新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破（新高考專用）

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高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)專題講義專題02 函數(shù)的值域-新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破（新高考專用）

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)函數(shù)專題講義專題02 函數(shù)的值域-新高考數(shù)學(xué)之函數(shù)專項(xiàng)重點(diǎn)突破（新高考專用）
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