一、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1、兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，..，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.
2、數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.
3、空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）.
二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
.
（2）設(shè)，，則.
這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則,
或者.其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.
（4）向量在向量上的射影為.
（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.
（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.
（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，，只要證明，即.
（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.
（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空間角公式.
①異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.
②線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則.
③二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.
（11）點(diǎn)到平面的距離為，，為平面的法向量，則.
【典型例題】
例1．（2024·高二·浙江杭州·期中）如圖，空間四邊形中，，，，在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)椋瑒t，
因此，.
故選：B.
例2．（2024·高二·北京·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若 ，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在平行六面體中，
.
故選：D
例3．（2024·高一·廣東云浮·階段練習(xí)）已知空間不共線的向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，?br>對(duì)于A：因?yàn)椋?br>則不存在任何，使得，所以、、不共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)椋?br>則不存在任何，使得，所以、、不共線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>所以，則、、三點(diǎn)共線，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?br>則不存在任何，使得，所以、、不共線，故D錯(cuò)誤；
故選：C
例4．（2024·高二·安徽黃山·期末）已知向量則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量為.
故選：D
例5．（2024·江蘇南通·二模）在正方體中，下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
所以，，
，，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：D.
例6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
可得，
則，
又因?yàn)楫惷嬷本€的夾角范圍是，
因此異面直線所成角的余弦值為.
故選：A
例7．（多選題）（2024·高二·江西吉安·期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面
B．直線與底面所成的角的正弦值為
C．平面與底面夾角的余弦值為
D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】AB
【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故A正確．
B選項(xiàng)，平面的法向量，
設(shè)直線與底面所成的角為，
則，故B正確．
C選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量，
則令，得，則．
設(shè)平面與底面的夾角為，
則，
∴平面與底面夾角的余弦值為，故C錯(cuò)誤．
D選項(xiàng)，∵，平面，平面，
又，平面的法向量，
∴點(diǎn)到平面的距離即為直線與平面的距離，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
例8．（多選題）（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是上的動(dòng)點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．的面積是定值B．與共線的單位向量是
C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)：在上且，
到的距離等于到的距離，設(shè)為定值，
為定值，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：的模為，不為單位向量，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如圖所示建系，，，，，
則，，
C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：設(shè)，
則，，
即，，
為面的一個(gè)法向量，故D選項(xiàng)正確；
故選：AD．
例9．（多選題）（2024·高二·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）給出下列命題，其中為假命題的是（ ）
A．已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，若，則
B．已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，若，則與所成角為
C．若兩個(gè)不同的平面，的法向量分別為，，且，，則
D．已知空間的三個(gè)向量，，，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，總存在實(shí)數(shù)使得
【答案】AD
【解析】對(duì)于A：由題意，當(dāng)時(shí)，或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由圖象可得，，則，
所以，根據(jù)線面角的定義可得：與所成角為，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?，故，故C正確；
對(duì)于D：只有當(dāng)空間的三個(gè)向量，，不共面時(shí)，
對(duì)于空間的任意一個(gè)向量，才存在實(shí)數(shù)使得，故D錯(cuò)誤.
故選：AD.
例10．（2024·遼寧·一模）已知空間中的三個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為 ．
【答案】/
【解析】由題意知，，
所以，
得，，
所以點(diǎn)A到直線BC的距離為
.
故答案為：
例11．（2024·高二·上海徐匯·期末）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面.

(1)求證：
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與所成角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)到平面的距離，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，平面?br>如圖以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得與所成角的余弦值為，
則，又，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以存在滿足條件，
所以，依題意可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，設(shè)，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
例12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為．求：
(1)點(diǎn)到直線的距離；
(2)二面角的余弦值．
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以四邊形為平行四邊形，
又，
故⊥，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
于是．
設(shè)所成的角為，
則，
故，解得，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，
所以．
所以點(diǎn)到直線的距離為．
（2）依題意，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，
解得，令，得，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
解得，令，得，則．
設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，
則，
所以二面角的余弦值為．
例13．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在五棱錐中，，，平面平面.

(1)求證：；
(2)若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【解析】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)
四邊形為矩形，
平面平面，平面平面
平面平面，即.
（2）如圖建系，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
.
例14．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，點(diǎn)E在棱PD上，，．
(1)證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）由平面，平面，所以；
又底面是正方形，所以；
因?yàn)?，平面，所以平面?br>又平面，所以，
因?yàn)椋?，平面?br>可得平面，又平面，
所以，又因?yàn)椋?br>可知點(diǎn)E是的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意可得兩兩垂直，
因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
設(shè)，則；
所以；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
可得，令，可得；
即；
設(shè)直線與平面所成的角為，
則
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高二·湖北荊門(mén)·期末）在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)镚是的重心，
則，
由，得，
所以.
故選：C.
2．（2024·高二·河南鄭州·期末）人教A版選擇性必修第一冊(cè)教材44頁(yè)“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標(biāo)系中，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，設(shè)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，由，可得，此即平面的點(diǎn)法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋?br>所以平面的一個(gè)法向量為,2,，
直線的方向向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則,．
故選：B．
3．（2024·全國(guó)·一模）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，兩兩垂直?br>以A為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
又因?yàn)?，?br>所以，，，，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，
可得，
所以異面直線與所成角的余弦值是.
故選：B.
4．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如下圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，
，，，
設(shè)異面直線與所成的角為,，
則,所以.
故選：C
二、多選題
5．（2024·高三·福建·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，，，，為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線平面的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則，
所以,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，即，
顯然，即與不垂直，故直線與平面不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示取側(cè)棱中點(diǎn)D，連接AD，BD，由正方體的特征可知，
所以平面即平面，平面，平面，
所以直線平面，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由正方體的特征易知平面?zhèn)让妫瑐?cè)面，
所以直線平面，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示取正方體一棱中點(diǎn)G，連接，
由正方體的特征可知：，
易知六點(diǎn)共面，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
6．（2024·高二·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，兩兩垂直，，則（ ）
A．向量在向量上的投影向量為
B．向量在向量上的投影向量為
C．向量
D．向量
【答案】AD
【解析】
如圖所示，取，連接，則.
因?yàn)閮蓛纱怪?，?br>所以在上的投影為點(diǎn)，在上的投影為點(diǎn)，
所以向量在向量上的投影向量為，故A正確，B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD
三、填空題
7．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
【答案】 /0.5
【解析】
如圖，不妨設(shè)，依題意，,
，
因，則
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
從而有，解得.
故答案為：.
8．（2024·高二·福建泉州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若平面過(guò)點(diǎn)，且以向量不全為零為法向量，則平面的方程為．已知平面的方程為，則點(diǎn)到平面平面的距離為 .
【答案】/
【解析】由平面的方程為，可得平面過(guò)點(diǎn)，且其法向量為，
又由點(diǎn)，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
故答案為：
9．（2024·高二·安徽·階段練習(xí)）已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為 .
【答案】/
【解析】由題意可得，
又是平面的法向量，
則點(diǎn)到平面的距離為，
故答案為：
10．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知在正方體中，，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為 ．
【答案】
【解析】作出圖形，如圖所示．
延長(zhǎng)至E，使得，則≌，≌，
故，，故四邊形為平行四邊形，
連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，連接，則即為直線l．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∽，且相似比為1:2，
故，，
則，，，，
故，，
故直線l與所成角的余弦值為．
故答案為：
四、解答題
11．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，則，
則．
證明：，
由，得，
由，得，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>（2）
由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，
則,故，
令，得面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的值為，
則，所以，二面角的正弦值為．
12．（2024·江蘇·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；
(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求.
【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
∵，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令得，故
，
故平面；
（2）平面的一個(gè)法向量，
，
.
13．（2024·天津河西·一模）已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的大??；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】（1）因?yàn)槠矫?，?br>如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
（2）設(shè)平面的法向量，，
則，即，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，又，
所以，所以直線與平面所成角的大小為.
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.
14．（2024·天津河?xùn)|·一模）在正方體中（如圖所示），邊長(zhǎng)為2，連接

(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)底面正方形的內(nèi)切圓上是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，若存在求長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由．
【解析】（1）
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
平面的法向量為，
，令，則，
，
平面；
（2）平面的法向量為，
，令，則，
平面與平面夾角為，
；
（3）設(shè)，且，
與平面所成角為，
，
即，
解得或，故或，
所以.
15．（2024·吉林白山·二模）如圖在四棱錐中，為菱形.
(1)證明：；
(2)若，求平面與平面所成二面角的正弦值.
【解析】（1）記交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)槭橇庑?，所以，且為的中點(diǎn).
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槠矫?，且，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫?
（2）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)?，所以是等邊三角形，所?
又因?yàn)椋势矫妫?br>所以平面.又平面，所以.
由（1）知，且，所以平面.
不妨設(shè)，則.
在中，由，得，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，過(guò)點(diǎn)作垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
設(shè)平面的法向量為，
所以，
令得；
設(shè)平面的法向量為，
所以，
令得.
故，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
16．（2024·四川南充·二模）如圖所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若，求與平面所成角的正弦值；
【解析】（1）
如圖所示，連接，連接，，
，分別為，的中點(diǎn)，
且，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面；
（2）
如圖所示，
連接，取中點(diǎn)，連接，
由已知直四棱柱的底面為菱形，
平面，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
又，，
，，，
，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
17．（2024·浙江·二模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，.
(1)證明：//平面BDM；
(2)求平面AMB與平面BDM的夾角.
【解析】（1）
如圖，連接交于，連接,由是的中點(diǎn)可得，
易得與相似，所以，
又，所以//，
又平面平面，所以//平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，由，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)可得
又平面，故得平面.如圖，取的中點(diǎn)為,分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，
，則，.
設(shè)平面的法向量為，由，
則，故可?。?br>設(shè)平面的法向量為，由，
則，故可取.
故平面與平面的夾角余弦值為，
所以平面與平面的夾角為.
18．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，且底面，，若且 .

(1)求的值；
(2)若平面，求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，，
由，可知；
故，；
由，可知，
解得或（舍去）.
（2）若平面，結(jié)合平面平面，平面知；
由（1）知，即為的中點(diǎn)，
故為的中點(diǎn)，即；
故，，，
故，，，
設(shè)平面的法向量，則，取，
所以點(diǎn)到平面的距離．
19．（2024·山東泰安·一模）如圖，在底面為菱形的直四棱柱中，，分別是的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求平面與平面所成夾角的大小．
【解析】（1）
取中點(diǎn)，連接
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，?br>所以
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
（2）設(shè)平面的法向量為
又
所以即
取，則
為平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則
平面與平面的夾角為
20．（2024·高三·湖北武漢·期末）在三棱錐中，，平面，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：；
(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>故，
由勾股定理逆定理得，
又平面，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼?，?br>當(dāng)時(shí)，分別為的中點(diǎn)，
，
則，
，故，
；
（2），
故，
故，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
所以平面與平面夾角的余弦值為
.
21．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱中，，M為AC的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，．
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的余弦值．
【解析】（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，
因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，又?br>所以，，，
所以，所以，
又，則，即；
又，，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又，，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又，所以；
（2）由（1）得兩兩垂直，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
設(shè)，
則，，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令得，
則平面的法向量，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，
解得，令，則，
則平面的法向量，
，
所以平面與平面所成角的余弦值為．
22．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.
(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌妫?br>所以.
因?yàn)榈酌媸蔷匦危?
又，且平面，所以平面.
又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以.
設(shè)平面的法向量為，則
，則
取，得.
設(shè)平面的法向量為，則
，則
取，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，則
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
23．（2024·高三·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．
(1)證明：直線平面PAD；
(2)當(dāng)二面角為120°時(shí)，求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值．
【解析】（1）取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE，
∵N為PC中點(diǎn)，
∴且，
又∵且，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
（2）連接，取AD中點(diǎn)F，連接，
因?yàn)榈酌媸橇庑危詾榈冗吶切危?br>故⊥，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以⊥?br>故為二面角的平面角，
因?yàn)槎娼菫?，故?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于平面的直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，則，，
∴，，，，
∴，，，
，，，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量，
故，
令得，故，
設(shè)MN與平面PCD所成角為，
∴．
24．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為正方形，其中點(diǎn)在平面上的投影為，點(diǎn)在線段上.
(1)求證：平面平面；
(2)若與平面所成角為45°，求二面角的余弦值.
【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，∵與平面所成角為45°，∴，
∴，，，，
∴，.
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，∴.
易知為平面的一個(gè)法向量，
∴，由圖可知，二面角為銳角，
∴所求二面角的余弦值為.
25．（2024·高三·浙江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).

(1)證明：；
(2)求平面與平面所成角的余弦值.
【解析】（1）在梯形中，設(shè)，
由，
，，
即，所以可得.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，平面，所以平面平面
又等邊是棱的中點(diǎn)，所以，
平面平面平面，
所以平面，平面，
故.
（2）取中點(diǎn)，易知，所以平面，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
，
由（1）知平面的一個(gè)法向量是，
又
設(shè)是平面的法向量，
則，
令，可得，
所以，
故平面與平面所成角的余弦值為.
26．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）證明：底面，又面，故可得，又，
故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，?所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
從而可得以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：
，，
則
所以.
（2）設(shè)平面的法向量為，又，，
則，即，
令，可得，則平面的法向量，
故點(diǎn)到平面的距離.
27．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)

(1)證明：平面；
(2)若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）
證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，
為中點(diǎn)，則，又，得，
由，，得，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則有，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，有，得，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
.
28．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱，如圖所示，是，上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，．
(1)求證：平面；
(2)當(dāng)平面，且時(shí)，求三棱錐的體積．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
又，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面法向量的法向量為，
則，
解得，令，則，故，
則點(diǎn)到平面的距離為，
由勾股定理得，
，
則三棱錐的體積為.
29．（2024·高三·山東棗莊·期末）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
則為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）由題意（1）及幾何知識(shí)得，
在直四棱柱中，，
兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，
.
設(shè)異面直線與所成角為，則
，
解得：，
故，
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
到平面的距離為.
所以即取，
得.
所以，
即到平面的距離為.
30．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，現(xiàn)將沿著對(duì)角線折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，此時(shí)二面角為．

(1)求異面直線，所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)A到平面的距離．
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)D做交于O，連接，
以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以為x軸，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O垂直于的線為y軸，
過(guò)點(diǎn)O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
因?yàn)椋裕?br>所以為二面角的平面角．所以，
又因?yàn)?，所以點(diǎn)，
又因?yàn)椋?，由等邊三角形可得?br>所以，，
所以，
所以與夾角的余弦值為．
（2），，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
令，則，
故，
所以點(diǎn)A到平面的距離為．
31．（2024·安徽銅陵·三模）如圖所示，空間四邊形中，，，且，，二面角的大小為45°.
(1)求異面直線和的夾角；
(2)求二面角的大小.
【解析】（1）∵，，∴
，∴，
，
∵二面角的大小為45°，∴ ，
∴，.
方法一：又，，∴，
∴，即，的夾角為.
方法二：取的中點(diǎn)，∵，，∴，，
又，∴平面，∴，即AC，BD的夾角為.
（2）方法一：過(guò)作于，連接，
由（1）知：，，
∴，∴，
∴即為二面角的平面角，由勾股定理可知，，
由等面積法可知,所以.
∴，∴二面角的大小為.
方法二：過(guò)在平面內(nèi)作的平行線，顯然與夾角為45°，如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，
由題意可知：平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，
， ，
,得，
令，則，∴，
由圖可知二面角為鈍角，∴二面角的大小為.

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