【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】7
【考點1】復(fù)數(shù)的概念7
【考點2】復(fù)數(shù)的四則運算10
【考點3】復(fù)數(shù)的幾何意義13
【考點4】復(fù)數(shù)與方程16
【分層檢測】19
【基礎(chǔ)篇】19
【能力篇】25
【培優(yōu)篇】27
考試要求：
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.
知識梳理
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運算
(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2023·全國·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．（2022·全國·高考真題）（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
10．（2021·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
2．B
【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
3．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
4．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.
故選：A.
5．D
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.
【詳解】，
故選：D.
6．C
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.
【詳解】
故選 ：C
7．A
【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可
【詳解】
由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應(yīng)相等，
得,即
故選:
8．D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.
【詳解】由題設(shè)有，故，故，
故選：D
9．A
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.
【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，
該點在第一象限，
故選：A.
10．C
【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).
【詳解】設(shè)，則，則，
所以，，解得，因此，.
故選：C.
11．C
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因為，故，故
故選：C.
12．B
【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.
【詳解】，
.
故選：B.
考點突破
【考點1】復(fù)數(shù)的概念
一、單選題
1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1012B．1011C．D．
2．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．（2024·山東濟寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
三、填空題
5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數(shù)單位，若是以的實部為虛部、以的虛部為實部的復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模長為 .
6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)， 則 ，的實部為 ．
參考答案：
1．D
【分析】由錯位相減法化簡復(fù)數(shù)后再由復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的幾何意義求出結(jié)果即可.
【詳解】因為，
，
所以，①
因為，所以，，
所以化簡①可得，
所以虛部為，
故選：D.
2．A
【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.
【詳解】，
因為為純虛數(shù)，所以，
所以.
故選：A.
3．BCD
【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則結(jié)合模長公式可判定B、D.
【詳解】對于A，由，得，則A錯誤.
對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.
對于C，設(shè)（，且），
則，所以，則C正確.
對于D，由，得.
設(shè)（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
4．AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法、乘法、乘方運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算，依次判斷選項即可.
【詳解】A：設(shè)，則，
所以，
，則，故A正確；
B：設(shè)，則，
所以，
，則，故B錯誤；
C：由選項A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，則，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；
D：設(shè)，則，
若，則，即，推不出；
若，則，
又，
同理可得，所以，；
所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：AC
5．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實部、虛部的概念可得，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和模長公式運算求解.
【詳解】因為的實部為2，的虛部為2，
由題意可知：，則，
所以的共軛復(fù)數(shù)的模長為.
故答案為：.
6． /
【分析】化解復(fù)數(shù)，由棣莫弗定理可得， ，根據(jù)復(fù)數(shù)模及共軛復(fù)數(shù)定義即可求解.
【詳解】因為復(fù)數(shù)，
所以由棣莫弗定理可得，
，
所以.
所以，
所以的實部為.
故答案為：①985；②.
反思提升：
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b＝0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.
2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up6(－)) )，若z∈R，則eq \(z,\s\up6(－))＝z.
【考點2】復(fù)數(shù)的四則運算
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．2
2．（2023·云南·模擬預(yù)測）已知，是方程的兩個復(fù)根，則（ ）
A．2B．4C．D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的實部為
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點在第四象限
C．
D．
4．（2023·重慶·二模）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則或
C．若且，則D．若，則
三、填空題
5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則 ．
6．（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則 .
參考答案：
1．D
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運算和四則運算法則求出復(fù)數(shù)，繼而得的虛部.
【詳解】由，
則，的虛部為2.
故選：D.
2．B
【分析】
利用求根公式求出兩個復(fù)根，然后利用復(fù)數(shù)的運算法則及模的公式直接計算即可.
【詳解】
已知，是方程的兩個復(fù)根，所以，
則設(shè)，，所以，
故選：B.
3．ABD
【分析】先化簡得到，然后用實部和共軛實數(shù)的定義判斷A和B選項；由于虛數(shù)不能比較大小，故C錯誤；直接計算即知D正確.
【詳解】我們有，故的實部為，A正確；
由知，所以在復(fù)平面中對應(yīng)的點是，在第四象限，B正確；
都不是實數(shù)，它們不能比較大小，C錯誤；
，D正確.
故選：ABD.
4．BCD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的特征、幾何意義以及復(fù)數(shù)運算判斷各選項即可.
【詳解】對于A，若，例如：，則，故A錯誤；
對于B，若，則，所以或至少有一個成立，即或，故B正確；
對于C，由，則，∵，∴，故C正確；
對于D：若，則，故D正確.
故選：BCD.
5．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】
因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，.
故答案為：-3.
6．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算以及模長公式求解即可.
【詳解】設(shè)，則，
由，，
得，解得，
所以，
故答案為：.
反思提升：
(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).
【考點3】復(fù)數(shù)的幾何意義
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·湖南長沙·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在實軸上D．的最大值為
4．（2024·江西·二模）已知復(fù)數(shù)（且，為虛數(shù)單位），若，則下列說法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限
B．
C．
D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形的面積為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【詳解】由題圖可知，，則，
解得（舍去），
所以，，則向量在向量上的投影向量為，
所以其坐標(biāo)為．
故選：D
2．B
【分析】由復(fù)數(shù)四則運算以及幾何意義即可得解.
【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.
故選：B.
3．ABC
【分析】先設(shè)，代入中并化簡，根據(jù)為純虛數(shù)得到的關(guān)系可判斷A，C；計算判斷B；由復(fù)數(shù)模的幾何意義得到的最大值為判斷D．
【詳解】由題意設(shè)，則．因為為純虛數(shù)，所以，且，因此，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在實軸上，所以A，C正確；，所以B正確；表示圓上的點到點的距離，且最大距離為，所以D不正確．
故選：ABC．
【點睛】方法點睛：本題考查復(fù)數(shù)的運算與幾何意義，對于復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的分類包括方程的復(fù)數(shù)解或?qū)崝?shù)解等問題可以設(shè)，代入運算后利用復(fù)數(shù)相等或復(fù)數(shù)的定義得出實數(shù)的關(guān)系，達(dá)到求解的目的．
4．ACD
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運算判斷各選項．
【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)，
共軛復(fù)數(shù)為，
對于A，由得，
所以或（舍去）.
所以復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)，
則共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，位于第四象限，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，設(shè)復(fù)數(shù)，
所以，
即
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】由已知求得，進(jìn)一步得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得．
【詳解】解：由題意，，
，
．
故答案為：2．
6．
【分析】由實部和虛部都小于零解不等式組求出即可.
【詳解】由題意得，，解得，
∴實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
反思提升：
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復(fù)數(shù)與方程
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·二模）關(guān)于 的方程 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個根 ，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北邢臺·二模）已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若是關(guān)于x的方程（p，）的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知，方程有一個虛根為，為虛數(shù)單位，另一個虛根為，則（ ）
A．B．該方程的實數(shù)根為1
C．D．
4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關(guān)于的方程的兩個根，其中，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數(shù)單位），z為實系數(shù)方程的一個根，則 ．
6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，則實數(shù) .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)求根公式求出，在根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)模的公式即可逐個判斷。
【詳解】由題設(shè)方程，不妨取，，
根據(jù)韋達(dá)定理知，，故A，B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確；
故選：D
2．C
【分析】對于A，令即可判斷；對于D，令即可判斷；對于B，由韋達(dá)定理即可驗算；對于C，由共軛復(fù)數(shù)以及模的運算公式即可判斷.
【詳解】對于A，令，顯然，但都不等于0，故A錯誤；
對于B，由于一元二次方程的虛根是以共軛復(fù)數(shù)的形式成對出現(xiàn)的，
所以若是關(guān)于x的方程（p，）的一個根，
則也是關(guān)于x的方程（p，）的一個根，
從而由韋達(dá)定理有，故B錯誤；
對于C，設(shè)，
而，
所以，故C正確；
對于D，取，顯然有，但不滿足且，故D錯誤.
故選：C.
3．BD
【分析】將代入方程中，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求解，進(jìn)而結(jié)合選項即可逐一求解.
【詳解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
對于A，，A錯誤；
對于BC，方程，變形為，
顯然此方程還有一個實根1，另一個虛根，B正確，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：BD
4．ACD
【分析】根據(jù)虛根成對原理得到，即可判斷A，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算判斷B，利用韋達(dá)定理判斷C、D.
【詳解】因為是關(guān)于的方程的兩個根且，
所以，即，故A正確；
，，所以，故B錯誤；
因為，所以，故C正確；
又，故D正確.
故選：ACD
5．
【分析】
由復(fù)數(shù)的除法求出，利用韋達(dá)定理求出的值即可.
【詳解】已知，則，，
z為實系數(shù)方程的一個根，則，，
所以.
故答案為：
6．-2
【分析】利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
【詳解】（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，
（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，
，解得.
故答案為：-2.
反思提升：
(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（23-24高一下·浙江·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）若為純虛數(shù)，則（ ）
A．2B．4C．D．
4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（ ）
A．B．C．1D．
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都位于第四象限
B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上
C．
D．的最小值為4
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若則（ ）
A．B．
C．D．是純虛數(shù)
7．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若，則或D．若且，則
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
10．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實數(shù)t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算和商的運算化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以的虛部為.
故選：B
2．A
【分析】利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)加法、乘法運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的模及共軛計算判斷BCD；舉例說明判斷A.
【詳解】設(shè)，
對于A，令，，A錯誤；
對于B，
，B正確；
對于C，，
則，，
因此，C正確；
對于D，，D正確.
故選：A
3．A
【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡復(fù)數(shù)，由題意可得且，解方程即可得出答案.
【詳解】由題得，
因為為純虛數(shù)．所以且，
解得．
故選：A．
4．C
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)虛部的概念求解.
【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以的虛部是1.
故選：C
5．BC
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷A和B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加減運算法則判斷C；由復(fù)數(shù)的模即可判斷D．
【詳解】對于AB，因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故A錯誤，B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，當(dāng)時，取最小值為2，故D錯誤；
故選：BC．
6．AB
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到復(fù)數(shù)點所對應(yīng)的軌跡，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷AB；舉反例即可判斷CD.
【詳解】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點在對應(yīng)線段的中垂線即直線上，
對A，因為直線上的點到點的距離相等，則A正確；
對B，因為與關(guān)于實軸對稱，則對應(yīng)的點在直線上，且該直線上的點到點的距離相等，所以B正確；
對C，在直線上取點，則其所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，則，故C錯誤；
對D，在直線上取點，則其所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則，故D錯誤.
故選：AB.
7．BCD
【分析】通過列舉特殊復(fù)數(shù)驗證A；設(shè)，則，通過復(fù)數(shù)計算即可判斷B；由得，即可判斷C；設(shè)，通過復(fù)數(shù)計算即可判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)，則，所以，而，
所以，故A不正確；
對于B，設(shè)，
則，故B正確；
對于C，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一個為0，故C正確.
對于D，設(shè)，則，
所以，而，
所以，故D正確.
故選：BCD.
8．
【分析】設(shè)，由條件得，所求式消元后化成，結(jié)合點的軌跡圖形特征，求得的范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即得的最小值.
【詳解】設(shè)，由兩邊平方整理得：，
即而，
作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡的圖形如圖.
易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
故，
即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.
故答案為:.
9．/
【分析】首先求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可判斷其虛部.
【詳解】因為，又，
所以，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：
10．
【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.
【詳解】，
因為是純虛數(shù)，
所以，得.
故答案為：
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，即可求得答案；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，可求得答案.
【詳解】（1）由題意復(fù)數(shù)，
則由可得；
（2）當(dāng),時，，
故.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）對化簡整理可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等分析運算；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模長的定義和公式，結(jié)合運算求解.
【詳解】（1）∵，則，
由復(fù)數(shù)相等，消去t得，
故為定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，則，整理得，
∴原不等式組即為，解得，
故a的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（ ）
A．1B．C．D．2
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為3D．的最小值為3
三、填空題
3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．
(1)求m的值；
(2)若是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的模長結(jié)合已知組成方程組，解出即可.
【詳解】設(shè)
因為，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正確；
故選：A.
2．ABD
【分析】借助復(fù)數(shù)的基本概念與模長運算可得A；借助復(fù)數(shù)的幾何意義計算可得B；借助圓與直線的距離可得C、D.
【詳解】對A：為純虛數(shù)，可設(shè)選項A正確；
對B：設(shè)，，
則，即，
則所對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
，選項B正確；
對C：為純虛數(shù)，對應(yīng)點在軸上（除去原點），
所對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
的取值范圍為，無最小值，選項C錯誤；
對D： ，
表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，
為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點），
當(dāng)時取得最小值3，∴選項D正確.
故選：ABD．
3．/
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，
所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，則，
故答案為：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運算即可求解參數(shù)的值；
（2）首先將代入一元二次方程中求出參數(shù)，的值，然后再根據(jù)求根公式求解另外一個復(fù)數(shù)根即可.
【詳解】（1）已知，則，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，將代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
帶入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一個復(fù)數(shù)根為
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2022·上海奉賢·一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（ ）個.
A．9B．10C．11D．無數(shù)
二、多選題
2．（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則是實數(shù)
B．若，則存在唯一實數(shù)對使得
C．若 ，則 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是射線
D．若，則
三、填空題
3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 .
參考答案：
1．C
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運算公式，求得即，接下來分與兩種情況進(jìn)行求解，結(jié)合，求出的個數(shù).
【詳解】，其中，所以，即，，當(dāng)時，①，，所以，，因為，所以或；②，，所以，，因為，所以，，，，或；當(dāng)時，①，，即，，因為，所以，②，，即，，因為，所以，，，，，綜上：，，一共有11個.
故選：C
2．ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運算性質(zhì)，以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，逐項計算，即可求解.
【詳解】對于A中，若，因為，則，可得，
設(shè)，則，所以A正確；
對于B中，由A得，設(shè)，若，
則，
只要或，選項B就不正確；
例如：，此時，
可表示為或，
所以表示方法不唯一，所以B錯誤.
對于C中，若，則，可得，
則，所以且，
設(shè)，則，其中，
則復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量方向共線，且長度是倍，
故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是射線（且與方向共線），所以C正確.
對于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因為，所以成立，
所以成立，所以D正確.
故選：ACD.
3．
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)滿足，即
即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離滿足
設(shè)，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到點的距離
數(shù)形結(jié)合可知的最大值
故答案為：
滿足條件(a，b為實數(shù))
復(fù)數(shù)的
分類
a＋bi為實數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

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