1、證明空間中直線、平面的平行關(guān)系
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；
④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面.
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2、證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對(duì)角線互相垂直；
④直徑所對(duì)的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質(zhì)（）；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質(zhì)（）；
平行線垂直平面的傳遞性（∥）；
⑤面面垂直的性質(zhì)（）.
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）.
【典型例題】
例1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，，則
例2．（2024·高一·吉林·期末）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：
①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線，則；
②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)所有的直線；
③若，且，則；
④若且，則；
⑤若，且，則．
其中正確命題的序號(hào)是 ．
例3．（2024·高三·新疆阿克蘇·期末）在圖中，分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線是異面直線的圖形有 （填上所有正確答案的序號(hào)）．

例4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線和平面，則“”是“直線與平面無(wú)公共點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，則
D．若，則
例6．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，若軸截面是正三角形，為底面圓周上一點(diǎn)，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，（不與S重合）為母線上一點(diǎn)，過(guò)D作垂直底面于E，連接，且.求證：平面平面.
例7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，點(diǎn)是棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與均不重合）.當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；
例8．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn). 求證： 平面.
例9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，平面，．證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值．
例10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D為AC的中點(diǎn)．求證：平面平面.

例11．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．
例12．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐PABCD中，E是棱PC上一點(diǎn)，底面ABCD是正方形，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F，平面PCD與平面PAB交于直線l.求證：l∥EF.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，，則
2．（2024·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，則
D．若，則
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)相交平面、，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知兩條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．與平行或相交
C． D．
5．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，那么這個(gè)直線與這個(gè)平面平行
B．兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截得的線段長(zhǎng)度不相等
C．如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)平面平行
D．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直
6．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知點(diǎn)O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．D1O∥平面A1BC1
B．MO⊥平面A1BC1
C．異面直線BC1與AC所成的角等于60°
D．平面MAC⊥平面ABC
二、多選題
7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面
B．兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，其交線一定平行
C．夾在兩平行平面間的平行線段相等
D．一直線與兩平行平面中的一個(gè)平行，這條直線必與另一個(gè)平行
8．（2024·遼寧·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若為異面直線，，則
9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）．
A．在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直
B．過(guò)直線有且只有一個(gè)平面與平面垂直
C．與直線垂直的直線不可能與平面平行
D．與直線平行的平面不可能與平面垂直
10．（2024·高三·湖南衡陽(yáng)·期末）若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（ ）
A．重合B．相交于一點(diǎn)C．兩兩平行D．恰有兩條交線平行
11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的有（ ）
A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行
B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行
C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在下列給出的正方體中，點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)為下底面的中心，點(diǎn)為正方體的棱所在的中點(diǎn)，則與不垂直的是（ ）.
A．B．
C．D．
13．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).則下列一定成立的是（ ）

A．B．C．D．
14．（2024·高三·廣東佛山·期末）已知為空間中三條不同的直線，為空間中四個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則
B．已知若，則
C．若，，則
D．若，則
15．（2024·高三·河北張家口·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，E，M是棱上的點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，若平面，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．平面平面B．E為的中點(diǎn)
C．D．平面
16．（2024·高三·湖北·階段練習(xí)）已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．
17．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為不同的兩點(diǎn)，直線，，為不同的三條直線，平面，為不同的兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，，則直線
三、填空題
18．（2024·高三·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知是不同的直線，是不同的平面，則下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則；②若，則；
③若，則；④若，則；
以上結(jié)論中，正確的序號(hào)是 ．
19．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正方中，分別是的中點(diǎn)，存在過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面截該正方體得到的截面面積為

20．（2024·高三·山西朔州·期中）已知A，B，C是球O的球面上三點(diǎn)，平面平面ABC，，O到平面ABC的距離為2，若異面直線OC與AB所成角的余弦值為，則球O的表面積為 ．
21．（2024·高二·上海靜安·期中）空間兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線可以確定 平面．
四、解答題
22．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方體中，E和F分別為BC和的中點(diǎn)．
(1)判斷直線EF和直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)判斷直線和直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
23．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，設(shè)平面平面.
(1)作出（不要求寫(xiě)作法）；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？請(qǐng)說(shuō)明理由.
24．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．求證：直線平面．

25．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在四面體中，分別是四面體的棱上的點(diǎn)，且、在同一個(gè)平面上，已知四邊形平行于四面體的一組對(duì)棱和，若，求四邊形的周長(zhǎng)．
26．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過(guò)直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．求證：；

27．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線．證明：平面.
28．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且平面．試探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

29．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)．在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并證明你的結(jié)論.
30．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺(tái)的兩條不同的母線.分別為圓臺(tái)的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形. 求證：.

31．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，為等邊三角形，點(diǎn)M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．證明：直線平面PAD.
32．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知單位正方體中，為的中點(diǎn)．求證：平面平面．
33．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四面體中，證明：
34．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）棱臺(tái)中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且（）.求證：平面；
35．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，高為，O，E分別為底面的中心和的中點(diǎn)．求證：平面平面.
36．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，.證明：平面.

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