1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
（2）元素與集合的關(guān)系：屬于 或 不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和．
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）．
（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．給定集合，可知，在該集合中，，不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．
集合應(yīng)滿足．
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分．集合和是同一個集合．
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．
具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
2、集合間的基本關(guān)系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．讀作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．
（4）空集的性質(zhì)： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本運(yùn)算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補(bǔ)集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補(bǔ)集，簡稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．
4、集合的運(yùn)算性質(zhì)
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．
【典型例題】
例1．（2024·河南·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，得，，故.
故選：C.
例2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，，則，
故選:B．
例3．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
由，得，解得，
即，所以.
故選：D
例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（ ）
A．32B．31C．16D．15
【答案】D
【解析】由得，解得，
又，，
由集合中共有個元素，故的真子集個數(shù)為.
故選：D.
例5．（2024·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，則集合、的關(guān)系是（ ）
A．?B．?C．D．
【答案】B
【解析】集合，
集合，
因?yàn)?，表示被除余的?shù)，，表示被除余的數(shù)，
所以?.
故選：B.
例6．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，其中，則（ ）
A．0B．或C．D．
【答案】B
【解析】由題意知：為方程的根，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，二次方程有兩個相同的根，則有，此時.
故選:B.
例7．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)全集，集合，則=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知，所以.
故選：C
例8．（多選題）（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋?br>所以或或，
所以或或，
故選：ABD．
例9．（多選題）（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知全集為U，A，B是U的非空子集，且，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
A．且
B．
C．或
D．且
【答案】AB
【解析】因?yàn)?，所以?br>則且，，故AB正確；
若是的真子集，則，則且，故C錯誤；
因?yàn)?，所以不存在且，故D錯誤.
故選：AB.
例10．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】2
【解析】當(dāng)時，，此時，不符合條件；
當(dāng)時，，此時，符合條件；
若，即，無實(shí)根，不符合條件．
所以．
故答案為：2.
例11．（2024·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>又，所以．
故答案為：
例12．（2024·河南·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由集合中，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故．因?yàn)?，所以，所以，故?shí)數(shù)m的取值范圍為．
故答案為：.
例13．（2024·山東泰安·高三?？计谀┮阎?，則 ．
【答案】
【解析】易知．∵，
∴，即，
∴，．
又由集合中元素的互異性，知，
∴，
故．
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解，得或，
故或，
則，而，
故，
故選：C
2．（2024·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯(lián)考期末）已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
，
則.
故選：C.
3．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】由題意
，
，故，
故，則的真子集的個數(shù)為，
故選：C
4．（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知集合，記全集，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】全集，則.
故選：C.
5．（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，解得或，
所以或.
，解得或，
所以或.
所以，B選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)錯誤.
故選：B
6．（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由方程解得或，得，
不等式解得，得，
所以.
故選：A．
7．（2024·河南·高三校聯(lián)考期末）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，即，
解得，所以，
又，解得，所以，
則或，所以.
故選：D.
8．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，其中，則（ ）
A．0B．或C．D．
【答案】B
【解析】由題意知：為方程的根，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，二次方程有兩個相同的根，則有，此時.
故選:B.
9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】全集，集合，則，而，
所以.
故選：A
10．（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意得：或， ，
所以.
故選：D
11．（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，所以，
，所以，所以，
圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合，所以為，
故選：D.
12．（2024·全國·高三校聯(lián)考期末）年春節(jié)影市火爆依舊，《無名》《滿江紅》《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學(xué)生的觀影情況，隨機(jī)調(diào)查了名在校學(xué)生，其中看過《無名》或《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學(xué)生共有位，則該校高三年級看過《無名》的學(xué)生人數(shù)的估計值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過《無名》的學(xué)生構(gòu)成的集合，
集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過《滿江紅》的學(xué)生構(gòu)成的集合，如下圖所示：
所以，調(diào)查的名在校學(xué)生看過《無名》的學(xué)生人數(shù)為，
所以，該校高三年級看過《無名》的學(xué)生人數(shù)的估計值為，
故選：C.
13．（2024·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）某單位周一?周二?周三開車上班的職工人數(shù)分別是15，12，9.若這三天中只有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
作出韋恩圖,如圖,
由題意得 ,則有,
所以,即，
因此要讓最大，則需要最小，
若則不滿足題意，
若則不滿足題意，
若則滿足題意，
所以這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是4，
故選:B.
二、多選題
14．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（ ）

A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】如圖，
對于A，，則，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，，故，故C正確；
對于D，，故D錯誤，
故選：AC．
15．（2024·福建福州·高三校聯(lián)考期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由圖可知陰影部分所表示的集合為，故C正確；
因?yàn)椋?br>所以，所以，故A正確.
故選：AC.
16．（2024·重慶·校聯(lián)考三模）已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】令，，，滿足，但，，故A，B均不正確；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正確.
故選：CD.
17．（2024·河北張家口·高三?？计谀┰O(shè)全集，集合，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】∵，，
∴，即A正確；，即B正確；
或，即C錯誤；
或，即D錯誤；
故選：AB.
18．（2024·浙江臺州·高三臺州一中?？计谀┮阎瑸槿淖蛹?，且滿足，下列結(jié)論不正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】作出Venn圖，由圖可得，，正確，錯誤．
故選：ACD．
19．（2024·江蘇宿遷·高三沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】∵∴，
若是的真子集，則，故A錯誤；
由可得，故B正確；
由可得，故C錯誤，D正確．
故選：BD．
20．（2024·河北衡水·高三河北武強(qiáng)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】CD
【解析】由，即，解得，
所以，
又，即，所以，
所以，
所以，故A錯誤；
，故C正確；
又，所以，故B錯誤；
，所以，故D正確；
故選：CD
三、填空題
21．（2024·福建三明·高三福建省大田縣第一中學(xué)?？计谀┠嘲嘤忻瑢W(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有人，同時參加數(shù)學(xué)和英語興趣小組的同學(xué)有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有人，則同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人 .
【答案】
【解析】以集合、、表示分別參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：
設(shè)同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有人，由圖可得，解得.
故答案為：.
22．（2024·湖北十堰·高三鄖陽中學(xué)?？计谀┮阎希?，則的子集個數(shù)為 .
【答案】4
【解析】集合表示直線上點(diǎn)的集合，集合表示圓上點(diǎn)的集合.
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，
點(diǎn)到直線的距離為,
所以直線與圓相交，
所以共有2個元素，所以的子集個數(shù)為.
故答案為：4.
23．（2024·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則的非空子集的個數(shù)是 ．
【答案】
【解析】,
集合中有個元素，
則的非空子集的個數(shù)是.
故答案為：.
24．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎?，，若，則 .
【答案】3
【解析】集合，，若,則，則.
故答案為：3
25．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谀┮阎希?，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】1
【解析】由題知,
若,則或,
當(dāng)時,方程無解;
當(dāng)時,,
解得:,
此時,,符合題意,所以.
故答案為：1.
26．（2024·上海普陀·高三校考期末）已知集合，集合，求
【答案】
【解析】由集合，可得，
又由集合，所以.
故答案為：.
27．（2024·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則 .
【答案】
【解析】集合，則，
又，
所以.
故答案為：
28．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）集合，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)時，，解得，故A中元素只有1個，符合要求；
當(dāng)時，對，需，即；
故答案為：或.
29．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谀┰O(shè)集合，集合，則 .
【答案】
【解析】或，
所以.
故答案為：.
30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）集合,，則
【答案】1或0
【解析】,
,或，
故或.
故答案為：1或0
數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號
或

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