知識(shí)點(diǎn)一：?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；
（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；
（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間(通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；
（3）恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；
（4）根的分布來(lái)定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
【方法技巧與總結(jié)】
1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.
【典例例題】
例1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，即的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為．
故選：A．
例2．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為增函數(shù)B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．的最大值為2eD．的圖象關(guān)于對(duì)稱
【答案】D
【解析】A：，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以函數(shù)在R上沒(méi)有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；
D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故選：D
例3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：B
例4．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【解析】，
，令得：，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，
又函數(shù)在上連續(xù)，或，
或.
故選：C．
例5．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的導(dǎo)函數(shù)為B．在上單調(diào)遞減
C．的最小值為D．的圖象在處的切線方程為
【答案】C
【解析】A：，因此本選項(xiàng)不正確；
B：由上可知：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此本選項(xiàng)不正確；
C：由上可知：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，因此本選項(xiàng)正確；
D：由上可知，因?yàn)椋?br>所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項(xiàng)不正確，
故選：C
例6．（2024·高三·河北·期末）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，在上恒成立，
記，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，所以只需，解得，
故選：A．
例7．（2024·高二·廣西河池·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，
若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得；
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
例8．（2024·高三·甘肅蘭州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，則函數(shù)的定義域是，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由，得，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A．
例9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.
【解析】函數(shù)，定義域是，
，
時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.
綜上所述：時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；
時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
時(shí)，的增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；
時(shí)，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.
例10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由可得，
由可得或，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.
例11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中R.討論的單調(diào)性；
【解析】依題意，的定義域?yàn)椋?br>由，得 ，
①當(dāng)時(shí)， 恒成立，所以在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高三·山西晉城·開(kāi)學(xué)考試）若在處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：A
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D
3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝2x＋x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.
4．（2024·高二·河南·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的定義域?yàn)椋?br>，
由，可得，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為．
故選：C．
5．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.
故選：B.
6．（2024·高三·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，知在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立．
因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
故選：C．
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，
即在上恒成立．令，,則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
故選：C．
8．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．是奇函數(shù)B．是周期函數(shù)
C．是的唯一零點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增
【答案】B
【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，所以為奇函數(shù)，所以A正確；
對(duì)于B中，由函數(shù)，可得，
則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，
所以函數(shù)一定不時(shí)周期函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由，得到為單調(diào)遞增函數(shù)，
又由，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，所以C正確；
對(duì)于D中，由，得到為上單調(diào)遞增函數(shù)，所以D正確.
故選：B.
9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)（ ）
A．在區(qū)間，內(nèi)均有一個(gè)零點(diǎn)
B．在區(qū)間，內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)
C．在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
D．在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
又
所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).
故選：D
10．（2024·高三·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則“在區(qū)間上單調(diào)遞增”的一個(gè)充分不必要條件為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于在區(qū)間上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要條件，故D正確.
故選：D.
11．（2024·高三·北京通州·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對(duì)于A, ,所以在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由于，所以在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，故在上單調(diào)遞減，C正確，
對(duì)于D，的圖象如下所示：故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，

故選：C
二、多選題
12．（2024·高三·安徽六安·期末）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br>且，故為偶函數(shù)，
且時(shí)，單調(diào)遞增，故A正確；
B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故不是偶函?shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，
故是偶函數(shù)，
且時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.
故選：AD
13．（2024·山西晉城·一模）若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在上純粹遞增，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在上純粹遞減，則（ ）
A．函數(shù)在上純粹遞增
B．函數(shù)在上純粹遞增
C．函數(shù)在上純粹遞減
D．函數(shù)在上純粹遞減
【答案】BC
【解析】若，則，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤．
若，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以B正確．
若，則，所以C正確．
若，則在上不恒成立，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC
14．（2024·高三·江西宜春·期中）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是增函數(shù)，A不對(duì)；
對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減，B對(duì)；
對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，并且在上單調(diào)遞減，C對(duì)；
對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，是奇函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，即，解得，所以遞減區(qū)間是.D不對(duì)．
故選：BC
三、填空題
15．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由條件知f′(x)＝
＋2ax＋(2a＋1)≤0，x∈(1，＋∞)恒成立．所以2a(x＋1)＋
＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以2a≤－
，所以a≤－
.
16．（2024·江西上饒·一模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即時(shí)，恒成立，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，所以，
故答案為：.
17．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ．
【答案】
【解析】存在，使得可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
18．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)：①；②，；③；④．其中，能使恒成立的函數(shù)是 ．
【答案】①③
【解析】法1：(圖象法)分別畫(huà)出各個(gè)函數(shù)的大致圖象．
①函數(shù)圖象如下圖所示：
由圖象可知該函數(shù)是凹函數(shù)，符合題意；
②，，圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數(shù)是先凸后凹，不符合題意；
③；函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知，該函數(shù)是凹函數(shù)，符合題意；
④，函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知：該函數(shù)是凸函數(shù)，不符合題意，
故答案為：①③
法2：利用二階導(dǎo)數(shù)判斷．
①，所以該函數(shù)是凹函數(shù)，
②，
顯然當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)先凸后凹，
③，是凹函數(shù)，
④，
是凸函數(shù)，
故答案為：①③.
19．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
由得或（因?yàn)?，故舍去）?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．
故答案為：
四、解答題
20．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線為軸．
(1)求的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>依題意且，
所以，解得.
（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
21．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間.
(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).
【解析】（1）因?yàn)椋ǎ?
所以：.
由，又函數(shù)定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，，方程無(wú)解；
當(dāng)，函數(shù)在上遞減，在遞增，
所以，所以方程無(wú)解.
綜上可知：方程的根的個(gè)數(shù)為.
22．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
【解析】（1），令，得，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為.
23．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于軸．
(1)求實(shí)數(shù)；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【解析】（1）由可得：，
由題意，，解得；
（2）由（1）得，，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).
故時(shí)，函數(shù)有極小值為，無(wú)極大值.
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為，無(wú)極大值.
24．（2024·高三·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實(shí)數(shù)m的范圍.
【解析】（1）的定義域?yàn)镽，
，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；
故單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∵，，，，
∴，，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，
∴，
∴.
25．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
①當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，因此在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，
得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
26．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減.
【解析】證明：因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以在上單調(diào)遞減.
27．（2024·高三·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求，的值；
(2)證明：在上單調(diào)遞增.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
依題意可得，即，解得，
所以.
（2）證明：由（1）可得，則，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增.
28．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，由，得，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．
化為在上存在實(shí)數(shù)解，
令，
則，
∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，
∴的最小值為，
∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．
29．（2024·高二·安徽滁州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值.
(1)求、的值；
(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.
【解析】（1）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，?br>則，解得，此時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，合乎題意.
因此，，.
（2）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，?br>令，可得，列表如下：
所以，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，
函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.
30．（2024·高三·吉林長(zhǎng)春·期末）已知函數(shù)．
(1)，求函數(shù)的最小值；
(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
令，則有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，則有，
因此當(dāng)時(shí)，則有，
當(dāng)時(shí)， 顯然，
于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以；
（2）由，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以在上恒成立，
由，
設(shè)，則有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范圍為.
31．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】的定義域?yàn)镽，且.
由于，所以在R上恒成立，
所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
32．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若為增函數(shù)，求的取值范圍．
【解析】因?yàn)?，又為增函?shù)，
所以在上恒成立，所以，
設(shè)，則，令，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，
所以．
33．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.
【解析】由題可知的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令得，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
34．（2024·高三·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：在上單調(diào)遞增．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
（2）由（1）知，，
因?yàn)?，?br>所以，
所以
設(shè)，則導(dǎo)函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增
35．（2024·高二·貴州遵義·期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【解析】（1）時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，
令，解得，令，解得，
故在處取得極小值，，
的極小值為，無(wú)極大值.
（2）在區(qū)間上為減函數(shù)，
∴在區(qū)間上，
，
令，只需，
顯然在區(qū)間上為減函數(shù)，
，
36．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性．
【解析】由題設(shè)且，
當(dāng)時(shí)在上遞減；
當(dāng)時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；
當(dāng)時(shí)在上遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
減
極小值
增

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