一、證明不等式常用的方法和思路
作差構造函數(shù)，轉化為最值問題
二、不等式恒成立問題常用的方法和思路
(1)直接法
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；
三、零點問題常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．
【典型例題】
例1．（2024·高三·全國·專題練習）證明：當時，；
【解析】令，則，
在上單調遞增，，即當時，；
令，則，
令，則，
當時，單調遞增，即單調遞增，，
在上單調遞增，，
即當時，；
綜上所述：當時，.
例2．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，證明：對一切，都有成立.
【解析】當時，不等式等價于，
在在，令，，
由，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以，
令，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
所以，即，
又因為當時，函數(shù)到到最小值，當時，函數(shù)到到最大值，
所以.
例3．（2024·高三·全國·專題練習）求證：
(1)（）；
(2)；
(3)（）．
【解析】（1）要證，只需證，
令（），，
故在上單調遞減，由于，因，
故，則有（）.
（2）令，，
當時，；當時，，
可知在上單調遞增；在上單調遞減，所以，
故，從而成立.
（3）令（），，由解得：，，
令，得，令，得或
故在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
由于，
則有對恒成立，故得：（）．
例4．（2024·山東煙臺·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由于的斜率為，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故當時，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范圍為
例5．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1） ，
因此，而，
故所求切線方程為，即；
（2）依題意，，故對任意恒成立.
令，則，
令，解得.
故當時，單調遞增；
當時，單調遞減，
則當時，取到極大值，也是最大值2.
故實數(shù)的取值范圍為.
例6．（2024·高二·山西大同·期末）已知函數(shù)在時取得極值．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）易知，
依題意，解得，
此時，
當或時，；當時，，
即函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，
因此函數(shù)在時取得極值，
所以．
（2）由（1）得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；
所以，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為．
例7．（2024·高二·重慶永川·階段練習）已知函數(shù).
(1)討論的最值；
(2)設，若恰有個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題得，，
當時，，在上單調遞減，故無最值
當時，令，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故在處取得唯一的極小值，即為最小值，
即，
綜上所述，當時，無最值
當時，的最小值為，無最大值.
（2），
函數(shù)恰有個零點，即恰有個不等的實根，
即恰有個不等的實根，
設，則，
，單調遞增，
有兩個解，即有兩個解.
令，則，
當時，，單調遞增
當時，，單調遞減，
又時，，且，，
當時，，
當時，僅有一個零點，
的取值范圍為.
例8．（2024·高三·四川·對口高考）已知a，b為實數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)證明：函數(shù)有唯一零點．
【解析】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，
因此，恒成立，所以.
（2）由（1）知，，，在上單調遞增，則函數(shù)至多有一個零點，
又，所以函數(shù)有唯一零點．
例9．（2024·高三·山東·階段練習）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個零點．
【解析】（1）因為，且，，
所以切線方程為，
即所求切線方程為．
（2）．
因為，所以，，，
所以，所以，當且僅當時取等號，
所以在上是減函數(shù)，且，
所以在上僅有一個零點．
例10．（2024·高三·江蘇·階段練習）已知函數(shù).
(1)設，求在區(qū)間上的最值；
(2)討論的零點個數(shù).
【解析】（1）因為，
所以在區(qū)間上單調遞減，
所以當時，取最大值；
當時，取最小值.
（2）先討論在上的零點個數(shù)，
由（1）可知，在上遞減，，
所以在上遞減，因為，
所以在上有唯一零點，
又因為，
所以是偶函數(shù)，所以在上有兩個零點.
【過關測試】
1．（2024·高二·福建莆田·期末）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)若，證明：.
【解析】（1）的定義域,
若則在上單調遞增；
若當時，則單調遞減，時，則單調遞增.
綜上：當時，在上單調遞增，無減區(qū)間；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）因，設則，
則在上單調遞減，故.
2．（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)證明：.
【解析】（1）顯然該函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，
由，
當時，，所以函數(shù)單調遞增，
當時，，所以函數(shù)單調遞減，
因此；
（2）由（1）可知：，即，
即，
當時，.
3．（2024·高二·全國·課時練習）證明：.
【解析】令，則，
令，則，
所以在上單調遞增，且，
故當時，單調遞增，當時，單調遞減，
故當時，取極小值也是最小值，
故，因此.
4．（2024·高二·北京·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：.
【解析】（1）,，
,所以切點為，由點斜式可得，，
所以切線方程為：.
（2）由題可得，
設，
，
所以當時，，
當時，，
所以在單調遞增，單調遞減，
所以，
即.
5．（2024·高二·黑龍江牡丹江·期中）已知函數(shù).
(1)若在處的切線過原點，求切線的方程；
(2)令，求證：.
【解析】（1）∵，∴在處的切線的斜率為.
又在曲線上，在處的切線過原點，
∴，解得.
∴切線的方程為，即.
（2）證明：∵，
∴，
由有：，由有：，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴函數(shù)的最大值為，
∴.
6．（2024·浙江杭州·一模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)當時，證明：對任意的，．
【解析】（1）由題可知函數(shù)的定義域為 ，
，
即，
(i)若，
則在定義域上恒成立，
此時函數(shù)在上單調遞增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上單調遞減，上單調遞增.
綜上，時，在上單調遞增；
時，在上單調遞減，上單調遞增.
（2）當時，，
要證明，只用證明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解設為，且，
所以，
當變化時，與的變化情況如下，
所以，
因為，因為，所以不取等號，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得證.
7．（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)在和處取得極值.
(1)求的值及的單調區(qū)間；
(2)若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）
，
函數(shù)在和處取得極值．
，，
聯(lián)立解得：，．
，
令，解得和，
時，，函數(shù)單調遞增；時，，函數(shù)單調遞減；時，，函數(shù)單調遞增．
故和是的極值點，
故函數(shù)單調遞增區(qū)間為，；函數(shù)單調遞減區(qū)間為．
（2）由（1）知在單調遞減，在單調遞增，
要使得對任意，不等式恒成立，則需且，
故且，
解得，或，
的取值范圍是,,．
8．（2024·高三·北京通州·期中）已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由得，又，
所以在切線為
（2）令，則，故在單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當時，取極小值，無極大值，
（3）由得，
故，
構造函數(shù)則，令，則，
故當時，，單調遞增，時，單調遞減，
故當取極小值也是最小值，，
所以，即
9．（2024·高三·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．
(1)討論的單調性；
(2)對于，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由題設且，
當時在上遞減；
當時，令，
當時在區(qū)間上遞減；
當時在上遞增．
所以當時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）由題設知對恒成立．
當時，此時，不合題設，舍去．
當時，在上遞增，只需符合．
綜上：．
10．（2024·高三·全國·專題練習）已知，求證：恒成立.
【解析】證明：，顯然在單調遞增，
又，，所以存在唯一的使得
即，兩邊取對數(shù)得
當時，單調遞減，
當時，單調遞增.
所以，
所以恒成立．
11．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，求證：當時，.
【解析】要證：時，，即證：，
兩邊同時乘，則，
即，即證：，
令，，
所以在單調遞減，
所以，即，即．
12．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．
(1)求，的值與函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1），
，
函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可得：，．
令，則，
所以當變化時，的變化情況如下：
由表格可知：當時，函數(shù)取得極大值，，又．
函數(shù)在上的最大值為8．
由，不等式恒成立，．
，
解得或．
的取值范圍是．
13．（2024·高二·福建龍巖·階段練習）設函數(shù)．
(1)求的增區(qū)間；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，依據(jù)題意可知，
令得或，所以，的增區(qū)間為，.
（2）令，得（舍），，列表如下：
所以，當時，，
對任意的，恒成立，則.
14．（2024·高二·廣東梅州·期中）已知函數(shù).
(1)求的極值；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由得，
令，故在單調遞增，令，故在單調遞減，故當時，取極小值，且極小值為，故極大值，
（2）由恒成立可得恒成立，
記，則，令 ，則，
由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，
因此在上單調遞增，且，故當時， ，單調遞增，當時， ，單調遞減，故當時，取極小值也是最小值1，故
15．（2024·高三·全國·專題練習）求函數(shù)f(x)＝x－4ln x－2的零點個數(shù).
【解析】f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋
－
＝
.
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
當x變化時，f′(x)，f(x)的取值變化情況如表：
當0

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