1、表面積與體積計(jì)算公式
2、斜二測(cè)畫法
斜二測(cè)畫法的主要步驟如下:
(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標(biāo)系.
(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.
(3)畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長(zhǎng)度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡(jiǎn)化為“橫不變,縱減半”.
(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.
注: 直觀圖和平面圖形的面積比為.
3、外接球與內(nèi)切球
類型1：正方體或長(zhǎng)方體外接球的球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)。
類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點(diǎn)處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）可補(bǔ)成直三菱柱或長(zhǎng)方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型3：正棱錐（圓錐）模型(側(cè)棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點(diǎn)與底面外心連線線段(或延長(zhǎng)線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型4：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。
類型5：錐體的內(nèi)切球問題
三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑
方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
【典型例題】
例1．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）已知某棱長(zhǎng)為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·廣西來賓·一模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1，2，體積為3，則該正四棱臺(tái)的高為（ ）
A．1B．C．D．
例3．（2024·山東棗莊·一模）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3，側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的側(cè)面都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且各表面均與球相切，則球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·寧夏銀川·一模）已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·遼寧遼陽·一模）四羊方尊（又稱四羊尊）為中國(guó)商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)（上、下底面的邊長(zhǎng)分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為2和3，高為，則它的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2024·高一·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．5
例9．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形為某圖形的直觀圖，則該圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
例10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月11日，“探索一號(hào)”科考船搭載著“奮斗者”號(hào)載人潛水器圓滿完成國(guó)際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個(gè)突出的成就，一是到達(dá)了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達(dá)了瓦萊比—熱恩斯深淵，并且在這兩個(gè)海底深淵都進(jìn)行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號(hào)模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（ ）．
A．B．C．D．
例11．（2024·高二·云南紅河·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則 ．
例12．（2024·高三·河南南陽·期末）《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，全書總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學(xué)史上有其獨(dú)到的成就．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，幾何體P－ABCD為一個(gè)陽馬，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，則幾何體EFGABCD的外接球表面積為 ．
例13．（2024·高三·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)的上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，若圓臺(tái)的外接球（上下底面圓在同一球面上）的表面積為且其球心在線段上．則圓臺(tái)的體積為 ．

【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)底面半徑為2的圓錐被與其底面平行的平面所截，截去的小圓錐的底面半徑和高均為1，所得圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高二·北京·期中）一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角，其中，則平面圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高一·安徽蕪湖·期中）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，，則該平面圖形的面積為（ ）

A．B．2C．D．
4．（2024·北京東城·一模）《天工開物》是我國(guó)明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級(jí)計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級(jí)共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的體積為，上、下底面圓的半徑分別為1，2，則圓臺(tái)的高為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知圓錐的底面圓的面積為，側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，其面積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陜西銅川·二模）已知一個(gè)圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
9．（2024·山東淄博·一模）某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．D．
10．（2024·四川成都·二模）某圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·安徽·開學(xué)考試）如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)沿將圓錐的側(cè)面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知圓錐PO的母線長(zhǎng)為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，均為，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，表面積之和為．則底面半徑的最大值為（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·高三·河北張家口·期末）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺(tái)的表面積為（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·高三·天津東麗·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·高一·陜西西安·期末）底面半徑為的圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·江蘇南京·二模）直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長(zhǎng)為（ ）
A．B．1C．D．
二、多選題
20．（2024·高三·廣東深圳·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C．兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．平行于同一直線的兩直線平行
21．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（ ）
A．該圓錐的母線長(zhǎng)為2
B．該圓錐的體積為
C．從點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為
D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為
22．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）下列說法中不正確的是（ ）
A．各側(cè)面都是正方形的正四棱柱一定是正方體
B．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)
C．任意兩條直線都可以確定一個(gè)平面
D．空間中三條直線，若a與b共面，b與c共面，則a與c共面
23．（2024·云南紅河·二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．圓錐的軸截面為直角三角形
B．圓錐的表面積大于球的表面積的一半
C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
D．圓錐的體積與球的體積之比為
24．（2024·高二·四川·期中）某正方體的棱長(zhǎng)為，則（ ）
A．該正方體的體積為B．該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為
C．該正方體的表面積為48D．該正方體內(nèi)切球的表面積為
三、填空題
25．（2024·高三·上海浦東新·期中）如圖，有一底面半徑為1，高為3的圓柱.光源點(diǎn)沿著上底面圓周作勻速運(yùn)動(dòng)，射出的光線始終經(jīng)過圓柱軸截面的中心.當(dāng)光源點(diǎn)沿著上底面圓周運(yùn)動(dòng)半周時(shí)，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為 .

26．（2024·遼寧鞍山·二模）已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為 ．
27．（2024·上海·一模）已知圓柱底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為4，則該圓柱的體積為 ．
28．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）某工廠為學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)定制獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，已知獎(jiǎng)杯的底座是由金屬片圍成的空心圓臺(tái)，圓臺(tái)上下底面半徑分別為1，2，將一個(gè)表面積為的水晶球放置于圓臺(tái)底座上，即得該獎(jiǎng)杯，已知空心圓臺(tái)（厚度不計(jì)）圍成的體積為，則該獎(jiǎng)杯的高（即水晶球最高點(diǎn)到圓臺(tái)下底面的距離）為 ．

29．（2024·遼寧·一模）已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的高為 .
30．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長(zhǎng)為
31．（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期末）某圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，若它的外接球表面積為，則該圓臺(tái)的高為 .
32．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知一個(gè)正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為 ．
表面積
柱體
為直截面周長(zhǎng)
椎體
臺(tái)體
球
體積
柱體
椎體
臺(tái)體
球

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