一.基本概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足 ，當(dāng)時(shí)，.
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.
= 1 \* GB3 ①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部； Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，.
二.基本性質(zhì)
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).
（3）.
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.
【典例例題】
例1．（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以的實(shí)部為.
故選：A.
例2．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部為（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】C
【解析】，
所以，，
的實(shí)部為0．
故選：C
例3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，則，其虛部為.
故選：B
例4．（2023·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
由得，
，解得，
．
故選：A．
例5．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
，則，，
∴.
故選：B.
例6．（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】為純虛數(shù)，
，，
故選：.
例7．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，且為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以.
故選：A
例8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，
，且，故，
.
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
故選：A.
例9．（2023·浙江·高三期末）已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），若，則（ ）
A．1B．C．1或D．或5
【答案】C
【解析】由題意得，則，
所以，解得或，
故選：C
例10．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足 ，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,即，
其幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，
即點(diǎn)的軌跡為和的垂直平分線(xiàn)，
即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)上，故，
故選：B
例11．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根,所以也是方程的根.
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得
即得,
所以
故選:A.
例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若且，則的最小值為_(kāi)______．
【答案】3
【解析】表示圓心為，半徑為1的圓，而表示圓上的點(diǎn)到的距離，
∴最小值為圓心到點(diǎn)的距離減1，即最小值為，
如圖所示．
故答案為：3．
例13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則______．
【答案】
【解析】，
∴，
∴.
故答案為：.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的實(shí)部為（ ）．
A．B．3C．D．2
【答案】D
【解析】，
則，
則z的實(shí)部為.
故選：D.
2．（2023·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
∵，
∴，即：，
∴，
∴
∴.
故選：D.
3．（2023·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足3z－1＝（z＋2）i，則z＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入，有，
則，解得，∴.
故選：D
4．（2023·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)t，使為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)t，使為實(shí)數(shù)，a為實(shí)數(shù)，
所以存在實(shí)數(shù)t，，
故存在實(shí)數(shù)t，，
所以，
故選：A.
5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，
由，可知，
所以，則，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
位于第四象限.
故選：D
6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】A
【解析】由題意知，
，
則.
故選：A.
7．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br>所以，
故在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限.
故選：C.
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則a，b滿(mǎn)足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，
又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，
所以，解得.
故選：D.
9．（2023·浙江杭州·高三期末）若復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】因?yàn)?，則.
故選：C．
10．（2023春·河南濮陽(yáng)·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】復(fù)數(shù)，故，
所以，
故選：C
11．（2023·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】，
，
.
故選：A.
12．（2023·浙江紹興·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．0C．4D．5
【答案】D
【解析】由，則有，
所以.
故選:D．
13．（2023·山西長(zhǎng)治·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且，則的值為（ ）
A．B．1C．或1D．或2
【答案】C
【解析】或
故選：C.
14．（2023·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的虛部為（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】A
【解析】設(shè)，則，解得：，
故的虛部為-1.
故選：A．
15．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，由，
由，
故選：D
16．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的實(shí)部為（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，
則由可得且，
解得，
故，其實(shí)部為.
故選：C.
17．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，，
故選：D.
18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，∴.
故選：D
19．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考期末）若，則等于（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】B
【解析】,
所以.
故選：B
20．（2023春·河南·高三商丘市回民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所?
故選：A.
21．（2023春·甘肅天水·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意．
故選：C．
22．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若（是虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】A
【解析】因?yàn)?所以,
則,所以,
故選：A.
23．（2023春·河南·高三洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.
故選：A.
24．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
所以，
所以
故選：D
25．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有一個(gè)復(fù)數(shù)根是，則另一個(gè)復(fù)數(shù)根是（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
【答案】A
【解析】若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，則兩復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，
故該方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根是.
故選：A.
26．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故選：C
27．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】由已知，
則z的共軛復(fù)數(shù)為，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D.
28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為
A．-4B．
C．4D．
【答案】D
【解析】設(shè)
∴ ，解得
考點(diǎn)：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是正確計(jì)算復(fù)數(shù)，要掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念
二、多選題
29．（2023·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，，
，
若，則，解得，所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則下列各項(xiàng)正確的為（ ）
A．復(fù)數(shù)的虛部為B．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)
C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)的模為5
【答案】BC
【解析】∵，則可得：
復(fù)數(shù)的虛部為1，A錯(cuò)誤；
為純虛數(shù)，B正確；
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，C正確；
復(fù)數(shù)的模為，D錯(cuò)誤；
故選：BC．
三、填空題
31．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部是______．
【答案】
【解析】，
∴的虛部為.
故答案為：.
32．（2023·天津南開(kāi)·高三崇化中學(xué)校考期末）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．
【答案】-2
【解析】，
由，所以復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，，
此時(shí)，滿(mǎn)足.
故答案為：-2
33．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
由已知，在第二象限，
∴，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
34．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)上， 則的最小值為_(kāi)__________
【答案】9
【解析】
故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)
，整理得：
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為9
故答案為：9
35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，那么的最大值是______ ．
【答案】2
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得
故答案為：．

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