【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】復(fù)數(shù)的概念4
【考點2】復(fù)數(shù)的四則運算5
【考點3】復(fù)數(shù)的幾何意義6
【考點4】復(fù)數(shù)與方程7
【分層檢測】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】9
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.
知識梳理
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運算
(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2023·全國·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．（2022·全國·高考真題）（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高考真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2021·全國·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
10．（2021·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
考點突破
【考點1】復(fù)數(shù)的概念
一、單選題
1．（2023·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1012B．1011C．D．
2．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
三、填空題
5．（2024·貴州黔南·二模）為虛數(shù)單位，若是以的實部為虛部、以的虛部為實部的復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模長為 .
6．（2024·湖北荊州·三模）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)， 則 ，的實部為 ．
反思提升：
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b＝0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0且b≠0.
2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
3.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq \(z,\s\up6(－))|＝eq \r(z·\(z,\s\up6(－)) )，若z∈R，則eq \(z,\s\up6(－))＝z.
【考點2】復(fù)數(shù)的四則運算
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）已知，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．2
2．（2023·云南·模擬預(yù)測）已知，是方程的兩個復(fù)根，則（ ）
A．2B．4C．D．
二、多選題
3．（2024·河南·二模）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的實部為
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點在第四象限
C．
D．
4．（2023·重慶·二模）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則或
C．若且，則D．若，則
三、填空題
5．（22-23高三上·天津南開·期中）已知（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則 ．
6．（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則 .
反思提升：
(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).
【考點3】復(fù)數(shù)的幾何意義
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·湖南長沙·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在實軸上D．的最大值為
4．（2024·江西·二模）已知復(fù)數(shù)（且，為虛數(shù)單位），若，則下列說法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限
B．
C．
D．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形的面積為
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，則實數(shù)的取值范圍是 .
反思提升：
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).
2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復(fù)數(shù)與方程
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·二模）關(guān)于 的方程 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個根 ，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北邢臺·二模）已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有（ ）
A．若，則
B．若是關(guān)于x的方程（p，）的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
二、多選題
3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知，方程有一個虛根為，為虛數(shù)單位，另一個虛根為，則（ ）
A．B．該方程的實數(shù)根為1
C．D．
4．（2024·浙江溫州·三模）已知是關(guān)于的方程的兩個根，其中，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·河南·三模）已知（i為虛數(shù)單位），z為實系數(shù)方程的一個根，則 ．
6．（2024·廣東廣州·二模）若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，則實數(shù) .
反思提升：
(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（23-24高一下·浙江·期中）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）若為純虛數(shù)，則（ ）
A．2B．4C．D．
4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（ ）
A．B．C．1D．
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都位于第四象限
B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上
C．
D．的最小值為4
6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若則（ ）
A．B．
C．D．是純虛數(shù)
7．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．
C．若，則或D．若且，則
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 ．
10．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復(fù)數(shù)（a，），存在實數(shù)t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)和滿足，則（ ）
A．1B．C．D．2
二、多選題
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．的最小值為3D．的最小值為3
三、填空題
3．（2024·上海靜安·二模）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 ．
四、解答題
4．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，且．
(1)求m的值；
(2)若是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程的一個根，求該一元二次方程的另一復(fù)數(shù)根．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2022·上海奉賢·一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（ ）個.
A．9B．10C．11D．無數(shù)
二、多選題
2．（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)復(fù)數(shù)，且,其中為確定的復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則是實數(shù)
B．若，則存在唯一實數(shù)對使得
C．若 ，則 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是射線
D．若，則
三、填空題
3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期
滿足條件(a，b為實數(shù))
復(fù)數(shù)的
分類
a＋bi為實數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

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