一．直線(xiàn)與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
二．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
線(xiàn)線(xiàn)平行
相似比（常用三角形的中位線(xiàn)）
構(gòu)造平行四邊形（證明一組對(duì)邊平行且相等）
平行的傳遞性
線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：垂直同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行
線(xiàn)面平行的性質(zhì)
面面平行的性質(zhì)
平面向量
空間向量
線(xiàn)面平行
證明線(xiàn)面平行有兩種常用方法：
一是線(xiàn)面平行的判定定理；
二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)面平行．
考向分析
考向一 三角形的中位線(xiàn)證線(xiàn)面平行
【例1】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：平面.
【方法總結(jié)】
三角形中位線(xiàn)證明線(xiàn)面平行思路
通過(guò)把面外的直線(xiàn)平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線(xiàn)
構(gòu)造三角形中位線(xiàn)
【舉一反三】
1．（2021·廣東湛江節(jié)選）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：A1B1平面DEC1.
2．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．求證：平面.
3．（2021·南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)節(jié)選）如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.
考向二 構(gòu)造平行四邊形證線(xiàn)面平行
【例2】（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)節(jié)選）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．證明：MN∥平面C1DE；
【方法總結(jié)】
構(gòu)造平行四邊形證線(xiàn)面平行
（1）通過(guò)把面外的直線(xiàn)平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線(xiàn)
（2）構(gòu)造平行四邊形，通過(guò)一組對(duì)邊平行且相等證明平行四邊形
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)證明線(xiàn)線(xiàn)平行
【舉一反三】
1．（2020·廣東梅州節(jié)選）如圖，四棱錐P?ABCD中，E是PD的中點(diǎn)．證明：直線(xiàn)平面PAB.
2．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)節(jié)選）如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.
3．（2021·河南洛陽(yáng)市節(jié)選）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面
考向三 三角形相似比證線(xiàn)面平行
【例3】（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考節(jié)選）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)平面
【舉一反三】
1．（2021·浙江杭州市·高三期末節(jié)選）在三棱錐中，為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.若，，.
（Ⅰ）求證：平面；
2．（2020·江西吉安市節(jié)選）如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，求證：平面
考向四 面面平行的性質(zhì)證線(xiàn)面平行
【例4】（2021·江西宜春市節(jié)選）如圖所示，在多面體中，，，，四邊形為矩形，證明：平面
【方法總結(jié)】
面面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)面平行
1：把線(xiàn)放在某個(gè)平面或構(gòu)造一個(gè)平面與之平行
2.利用面面平行的性質(zhì)證明線(xiàn)面平行
【舉一反三】
1．（2020·全國(guó)高三月考節(jié)選）斜三棱柱中，設(shè)中點(diǎn)為，且，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面
2 .（2021·寧夏吳忠市節(jié)選）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D、E、F分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，求證：平面BDE
考向五 證明線(xiàn)線(xiàn)平行--線(xiàn)面垂直的性質(zhì)
【例5】（2021·江西贛州市節(jié)選）在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；
【舉一反三】
1．如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，，證明：直線(xiàn)平面；
2如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求證：平面ABCD

考向六 面面平行
【例6】（2020·江西省奉新縣第一中學(xué)節(jié)選）如圖，在多面體中，面為正方形，面和面為全等的矩形，求證：平面平面
【舉一反三 】
1．（2021·武漢市第一中學(xué)節(jié)選）如圖所示，多面體中，四邊形為菱形，，求證：平面平面
2．（2021·山西呂梁市節(jié)選）正方體，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：∥平面
3．（2021·安徽高三期末節(jié)選）如圖，在四棱柱中，底面是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，證明：平面ACE
強(qiáng)化練習(xí)
1．（2021·安徽淮南市節(jié)選）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC與BD的交點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，求證：平面PAD
2．（2021·河南高三月考節(jié)選）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，平面
2．（2020·江西吉安市·高三節(jié)選）在四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面
3．（2021·江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選）如圖，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面；
4．（2021·廣西河池市節(jié)選）如圖，在長(zhǎng)方體中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，證明：平面
5．（2021·安徽蚌埠市·高三二模節(jié)選）如圖，已知四邊形和均為直角梯形，，，且，.，求證：平面
6．（2021·河南節(jié)選）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，證明：平面
7．（2021·河南駐馬店市·高三期末節(jié)選）如圖，該多面體由底面為正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的邊長(zhǎng)為，是線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，，證明：平面；
8．（2021·山西運(yùn)城市·高三期末節(jié)選）如圖，在幾何體中，四邊形為等腰梯形，且，，四邊形為矩形，且，M，N分別為，的中點(diǎn)，求證：平面
9．（2021·安徽黃山市節(jié)選）已知四棱錐中，，設(shè)平面平面，求證：
10．（2021·江蘇蘇州市節(jié)選）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面，求的值;
11．（2021·安徽六安市·高三一模節(jié)選）如圖，在四棱錐中，，，E是PD的中點(diǎn)，證明：平面PBC
12．（2021·浙江臺(tái)州市·高三期末節(jié)選）如圖，在三梭柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面
13．（2021·江西高三其他模擬節(jié)選）如圖，已知四邊形為菱形，對(duì)角線(xiàn)與相交于O，，平面平面直線(xiàn)，求證：
14．（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：
（1）直線(xiàn)EG平面BDD1B1；
（2）平面EFG平面BDD1B1.
15.（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，在上，且，，證明：平面
16.（2020·貴溪市第一中學(xué)節(jié)選）已知四邊形為梯形，，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，平面，，，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，，證明：平面；
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定
定理
平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行(線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α
性質(zhì)
定理
一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b
文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
如果兩個(gè)平面互相平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的一直線(xiàn)平行與另外平面

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