知識(shí)點(diǎn)01 雙曲線的幾何性質(zhì)
【即學(xué)即練1】（2024高二·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）等軸雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±5x
【即學(xué)即練2】（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2b2=1b>0的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在雙曲線C上，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，求雙曲線C的焦距.
知識(shí)點(diǎn)02等軸雙曲線
定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq \r(2).
注意：對(duì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)
1.雙曲線的焦點(diǎn)決定雙曲線的位置；
2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫(huà)了雙曲線的開(kāi)口大小，離心率越大，雙曲線的開(kāi)口越大，反之亦然．
3.巧設(shè)雙曲線方程：與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【即學(xué)即練3】（2022高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為-6,0，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．x2-y2=-18B．x2-y2=18
C．x2-y2=-8D．x2-y2=8
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知等軸雙曲線C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A42,2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x236-y236=1B．y236-x236=1C．x228-y228=1D．y228-x228=1
知識(shí)點(diǎn)03 雙曲線與漸近線的關(guān)系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）
【即學(xué)即練5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線16x2-9y2=144，求該雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（多選）（24-25高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）設(shè)F為雙曲線C:x22-y22=1的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓心為0,m，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（ ）.
A．C的離心率為2B．OA2+OB2=6
C．OA+OB≤4D．FA2+FB2≥16-83
【題型1：雙曲線的幾何性質(zhì)】
例1．（23-24高三下·重慶·期中）已知雙曲線y212-x2b2=1b>0的焦距為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±13xB．y=±3xC．y=±3xD．y=±33x
變式1．（23-24高二下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C:x2a2-y26=1a>0的焦距為43，則C的漸近線方程是（ ）
A．y=±77xB．y=±33x
C．y=±xD．y=±3x
變式2．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線x24-y216=1的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）．
A．5B．4C．455D．23
變式3．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）共軛雙曲線x24-y23=1與y23-x24=1，有（ ）
A．相同的離心率B．公共焦點(diǎn)
C．公共頂點(diǎn)D．公共漸近線
變式4．（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知直線y=2x+m與雙曲線Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)的一條漸近線平行，則Γ的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A．22B．32C．62D．6
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知a,b>0,a≠b，則關(guān)于雙曲線C1:x2a2-y2b2=1與雙曲線C2:y2a2-x2b2=1，下列說(shuō)法中正確的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦點(diǎn)
C．有相同的離心率D．有相同的漸近線
變式6．（多選）（23-24高二上·河南漯河·階段練習(xí)）已知橢圓C1:x216+y29=1與雙曲線C2：x216-k-y2k-9=1（90,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，若OP=PF2=24F1F2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．423C．233D．253
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，焦距為2c(c>0).若雙曲線C右支上存在點(diǎn)P，使得PF2=4a，且S△PF1F2=12a2，則雙曲線C的離心率e=（ ）.
A．5B．53C．6+1D．13
變式5．（24-25高三上·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一條漸近線的方程為x+2y=0，則C的離心率的值為 .
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2且在x軸上，且雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PO|2=PF1?PF2，若PF2⊥x軸，則該雙曲線的離心率為 ．
變式7．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn).若MF=3FN,OM=3OP,OP?PF=0，則雙曲線的離心率為 .

變式8．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：
求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合c2=a2+b2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【題型4：離心率取值范圍問(wèn)題】
例4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的漸近線與圓x-22+y2=3沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．233,+∞B．2,+∞C．1,2D．1,233
變式1．（23-24高二上·浙江·期中）設(shè)橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a2-y2b2=1的離心率分別為e1，e2，且雙曲線C2的漸近線的斜率小于155，則e2e1的取值范圍是（ ）
A．1,4B．4,+∞C．1,2D．2,+∞
變式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)且點(diǎn)P在x軸上的射影恰為該雙曲線的右焦點(diǎn)F2,PF1交雙曲線于另一點(diǎn)Q，滿足F1Q=λ|QP|,13?λ?38，則雙曲線離心率e的取值范圍是（ ）
A．[2,3]B．[3,5]C．[5,7]D．[7,10]
變式3．（19-20高二上·河北石家莊·期中）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2-y2b2=1b>0的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，且滿足F1F2=2OP，tan∠PF2F1≥4，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．1,179B．179,+∞
C．173,+∞D(zhuǎn)．1,173
變式4．（23-24高二上·重慶·期中）已知F1-c,0，F(xiàn)2c,0為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且PF1?PF2=-12c2.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．1,2B．1,2C．2,+∞D(zhuǎn)．2,+∞
變式5．（23-24高二下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知圓C:x2+y2-4x+3=0與雙曲線D:y2a2-x2b2=1a>0,b>0的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線D的離心率的取值范圍為 ．
變式6．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c．若以線段F1F2為直徑的圓與直線ax-by+2ac=0有交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍為
變式7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若PF22PF1最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是 .
變式8．（23-24高二上·浙江臺(tái)州·期中）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記△AF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r2，r1r2≤16a2，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【題型5：直線與雙曲線的位置關(guān)系】
例5．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知直線l的方程為y=kx-1，雙曲線C的方程為x2-y2=1.若直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．(-2,-1)B．1,2C．(-2,-1)∪(1,2)D．1,2
變式1．（23-24高二下·廣東湛江·期中）若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(ba,cb)，則直線OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．不確定
變式2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:x29-y216=1，過(guò)點(diǎn)P3,3作直線l，使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線l共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
變式3．（23-24高二上·上海·期末）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,2，且與y24-x2=1具有相同的漸近線，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,0且與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條.
A．0B．1C．2D．3
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過(guò)點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24-y29=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
變式5．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知雙曲線x2-y23=1，與直線y=kx-k+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意的直線個(gè)數(shù)為 ．
變式6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P7,5且與雙曲線x27-y225=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 條，它們的方程分別是 ．
變式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，點(diǎn)P1,32在E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)W在曲線x2+4y232=x2-4y23上，探究直線AB與雙曲線C1:x2-4y23=1的位置關(guān)系．
變式8.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）求雙曲線x2-y22=1在點(diǎn)2,2處的切線方程；
（2）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過(guò)P引雙曲線x2-y22=1的兩條切線PA,PB，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．
【方法技巧與總結(jié)】
將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,a>0,b>0聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無(wú)公共點(diǎn)
【題型6：雙曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題】
例6．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知雙曲線C：2x2-y2=2，過(guò)點(diǎn)P1,2的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)MN= .
變式1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知離心率為5的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為右支上的一點(diǎn)，若PF2=2a，則S△PF1F2=（ ）
A．8a2B．4a2C．42a2D．43a2
變式2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作PF垂直于一條漸近線，垂足為P，若點(diǎn)P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則S△PQF= ．
變式3.（23-24高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知雙曲線M與雙曲線N：x26-y23=1有共同的漸近線．
(1)若M經(jīng)過(guò)拋物線y=-x2+8x-14的頂點(diǎn)，求雙曲線M的方程；
(2)若雙曲線M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為M上的一點(diǎn)，且PF1=PF2+10，求雙曲線M的方程．
變式4．（22-23高二上·浙江金華·期中）雙曲線x23-y26=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn).
(1)求弦長(zhǎng)AB；
(2)若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|?|PF2|=12，求點(diǎn)P到x軸的距離.
變式5．（23-24高二下·上?！て谀┮阎狝、B是雙曲線C:x24-y2=1的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,1．
(1)求直線AB的方程；
(2)求A,B兩點(diǎn)間距離．
變式6．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=±22x.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=42，求實(shí)數(shù)m的值.
變式7．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(3,2)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且OM?ON=0，求|MN|的最小值．
變式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知雙曲線C：x2a2-y22=1a>0的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若斜率為3的直線l經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2，與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，求△ABF1的周長(zhǎng).
變式9．（23-24高二下·廣東茂名·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與C2:y29-x23=1有相同的漸近線，點(diǎn)F(2,0)為C1的右焦點(diǎn)，A，B為C1的左右頂點(diǎn)．
(1)求雙曲線C1的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F傾斜角為45°的直線l交雙曲線C1于M，N兩點(diǎn)，求MN．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：
【題型7：雙曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題】
例7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，滿足F1B=3F1A，設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）斜率的最小值是（ ）
A．26B．3C．43D．5
變式1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=x+2與雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M1,3是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．2C．3D．3
變式2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知直線l過(guò)雙曲線C：x2-y24=1的左焦點(diǎn)F，且與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，若△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線l的斜率為（ ）
A．±102B．±132C．±133D．±63
變式3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線x24-y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M(3,32)，則直線l的方程為 ．
變式4．（23-24高二下·甘肅白銀·期末）已知雙曲線C:x22-y28=1，過(guò)點(diǎn)P1,8的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為 .
變式5．（23-24高二上·河南開(kāi)封·期末）已知點(diǎn)A,B,C是離心率為2的雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上的三點(diǎn)，直線AB,AC,BC的斜率分別是k1,k2,k3，點(diǎn)D,E,F分別是線段AB,AC,BC的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD,OE,OF的斜率分別是k1',k2',k3'，若1k1'+1k2'+1k3'=5，則k1+k2+k3= ．
變式6.（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線Γ：x24-y2=1的左右頂點(diǎn)分別為A1、A2．
(1)求以A1、A2為焦點(diǎn)，離心率為12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l過(guò)點(diǎn)C1,1與雙曲線Γ交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)C恰為弦AB的中點(diǎn)，求出直線l的方程；
變式7.（23-24高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±2x，實(shí)軸長(zhǎng)為2.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M3,2，求直線l的斜率.
變式8.（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P4,1的直線l與雙曲線x24-y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．
【方法技巧與總結(jié)】
雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：
設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有
證明：設(shè)，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，
所以： ， 所以
【題型8：解答題】
例8．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線一條漸近線方程為5x-2y=0，且點(diǎn)-22,5在雙曲線上.
(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，
(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求PA1?PF2的最小值.
變式1．（22-23高二上·全國(guó)·期中）已知雙曲線C1過(guò)點(diǎn)(-4,32)且與雙曲線C2:x22-y23=1有共同的漸近線，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是C1上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求PF1?PF2的取值范圍．
變式2．（23-24高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知曲線C的方程為x-102+y2-x+102+y2=2．
(1)說(shuō)明C為何種圓雉曲線，并求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線y=x-4與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的一條漸近線交于D點(diǎn)，且D在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA?OD+OB?OD．
變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知命題p：方程x22m+y29-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線y25-x2m=1的離心率e∈52,2．
(1)若命題q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
變式4．（23-24高二下·廣西貴港·期中）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)F10,0到C的一條漸近線的距離為6．
(1)求C的方程．
(2)設(shè)C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)3,0且斜率不為0的直線l與C相交于M，N兩點(diǎn)，直線A1M與直線A2N相交于點(diǎn)P．試問(wèn)點(diǎn)P是否在定直線上？若是，求出定直線的方程；若不是，說(shuō)明理由．
變式5．（23-24高二下·陜西榆林·期末）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,2，且其離心率為5．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)雙曲線C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C的一條漸近線上有一點(diǎn)P，滿足PF2恰好垂直于這條漸近線，求△PF1F2的面積．
變式6．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1過(guò)點(diǎn)M3,4，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線MA與直線MB的斜率之和為3．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線右支于P，Q（P在第一象限）兩點(diǎn)，PF2=3F2Q，E是雙曲線上一點(diǎn)，△PQE的重心在x軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
變式7．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）如圖:雙曲線Γ:x23-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作直線l交y軸于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)直線l平行于Γ的斜率大于0的漸近線l1時(shí)，求直線l與l1的距離；
(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，在Γ的右支上是否存在點(diǎn)P，滿足F1P?F1Q=0?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由;
變式8．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知圓M：x+52+y2=9的圓心為M，圓N：x-52+y2=1的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C．
(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；
(2)已知點(diǎn)P2,0，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且PA?PB=0．直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
一、單選題
1．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）方程x2-23x+1=0的兩個(gè)根可分別作為（ ）
A．橢圓和雙曲線的離心率B．兩雙曲線的離心率
C．兩橢圓的離心率D．以上皆錯(cuò)
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知雙曲線mx2-y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為1，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±2xD．y=±22x
3．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）南非雙曲線大教堂是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-x2b2=1a>0,b>0下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
A．y212-x24=1B．3y24-x24=1C．x24-y24=1D．y216-x24=1
4．（23-24高二下·廣西桂林·期末）雙曲線x2-y23=1的離心率為（ ）
A．12B．2C．2D．22
5．（23-24高二下·四川達(dá)州·期末）已知雙曲線C:x23-y24=1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，虛軸長(zhǎng)為m，離心率為e，則（ ）
A．A1-3,0B．F21,0C．m=2D．e=213
6．（23-24高二上·安徽阜陽(yáng)·期末）若雙曲線x2m2+1-y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則正數(shù)m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
7．（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為54，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±43xD．y=±34x
8．（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是（ ）
A．x2-y2=8B．x2-y2=4
C．y2-x2=8D．y2-x2=4
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線C：x2m-y2m+3=1，則“m=3”是“雙曲線C的離心率為3”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
10．（22-23高三上·海南儋州·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的方程為x225+y29=1，雙曲線的方程為y28-x28=1，則（ ）
A．雙曲線的一條漸近線方程為y=x
B．橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)
C．橢圓的離心率e=45
D．橢圓和雙曲線的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)
11．（23-24高二下·四川德陽(yáng)·期末）雙曲線C：x25-y24=1的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P、Q兩點(diǎn)在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)（ ）
A．以C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的橢圓方程為x29+y25=1
B．雙曲線C的離心率為355
C．直線AP與BQ的斜率之積為-45
D．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2
12．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知曲線C:mx2+ny2=1，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nn
B．若m>0，n=0，則C是兩條直線
C．若n>m>0時(shí)，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
D．若mn0）的右焦點(diǎn)為F(2,0)，則 W的離心率為 ．
14．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習(xí)）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸與虛半軸平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫雙曲線的蒙日?qǐng)A.過(guò)雙曲線W:x23-y2=1的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)P作W的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于A,B兩點(diǎn)，若∠PAB=30°，則△PAB的周長(zhǎng)為 .
15．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2m=1m>0的開(kāi)口比等軸雙曲線的開(kāi)口更開(kāi)闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
四、解答題
16．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線x2-y2=4，直線l:y=k(x-1)，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．
17．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎猭∈R，直線y=kx+1與雙曲線4x2-y2=1相交于不同的點(diǎn)A,B.
(1)若點(diǎn)A,B分別在雙曲線的左、右兩支上，求k的取值范圍；
(2)若以線段AB為直徑的圓，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求k的值.
18．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1，過(guò)該曲線上的點(diǎn)P(3,1)作不平行于坐標(biāo)軸的直線l1交雙曲線的右支于另一點(diǎn)Q，作直線l2//l1交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為x±y=0，且|AB|=|PQ|，
(1)求雙曲線方程．
(2)證明：直線QB過(guò)定點(diǎn).
(3)當(dāng)PQ的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求四邊形ABPQ的面積的取值范圍．
19．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）已知雙曲線C和橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=62．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P2,1作兩條相互垂直的直線PM,PN分別交雙曲線C于不同于點(diǎn)P的M、N兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線MN距離的最大值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
2.理解雙曲線離心率的定義，掌握離
心率的算法
1.重點(diǎn):雙曲線的漸近線、離心率等幾何性質(zhì):
2.難點(diǎn):雙曲線的離心率的意義及算法
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性質(zhì)
圖形
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性質(zhì)
范圍
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：eq \a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：eq \a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長(zhǎng)：eq \a\vs4\al(a)，半虛軸長(zhǎng)：eq \a\vs4\al(b)
離心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x

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