知識點01 雙曲線的定義
1.定義：在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.
2.焦距：這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.
注意：1. 若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
2. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
4. 若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點P是雙曲線C：x2-y215=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，若PF1=7，則PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“||MF1|-|MF2||為定值”是“動點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
知識點02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。
當(dāng)時，雙曲線的焦點在x軸上；
當(dāng)時，雙曲線的焦點在y軸上。
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過點-1,0，焦點分別為F1-2,0、F22,0，則雙曲線的方程為（ ）
A．x22-y2=1B．x2-y22=1C．x23-y2=1D．x2-y23=1
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·廣東肇慶·期末）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點，且過點C的雙曲線方程為（ ）
A．x2-y224=1B．x224-y2=1
C．x249-y224=1D．x24-y221=1
難點：數(shù)形結(jié)合的運用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F，直線l：y=x與E交于A，B兩點，且AF⊥BF，則b2a2= .
【題型1：雙曲線的定義】
例1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知動點M(x,y)滿足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，則動點M的軌跡是（ ）
A．射線B．直線
C．橢圓D．雙曲線的一支
變式1．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）到兩定點F1-3,0、F23,0的距離之差的絕對值等于6的點M的軌跡（ ）
A．橢圓B．直線C．雙曲線D．兩條射線
變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設(shè)P是雙曲線x216-y220=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點，F(xiàn)1F2=6，動點P滿足PF1-PF2=4，則動點P的軌跡是（ ）
A．雙曲線B．雙曲線的一支C．一條射線D．軌跡不存在
變式4.（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如果雙曲線x264-y236=1上一點P到焦點F1的距離等于6，那么點P到另一焦點F2的距離是 ．
變式5．（22-23高二上·山西晉中·期末）與兩圓x2+y2=4及x2+y2-8x+15=0都外切的圓的圓心的軌跡為（ ）
A．橢圓B．雙曲線的一支C．拋物線D．圓
變式6．(多選)（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點F1-3,0、F23,0的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的點M的軌跡（ ）
A．橢圓B．一條直線C．兩條射線D．雙曲線
變式7．（多選）（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）已知F1(-3,0),F2(3,0)，滿足條件PF1-PF2=2m-1的動點P的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，m可以是（ ）
A．12B．2C．-1D．-3
變式8．（23-24高二下·北京·期中）雙曲線x29-y216=1的左右焦點分別是F1與F2,M是雙曲線右支的一點，且MF1=7，則MF2= ．
變式9．（23-24高二上·湖南岳陽·期末）如果雙曲線x24-y23=1右支上一點P到左焦點F1的距離等于6，則點P到另一個焦點F2的距離為 .
【題型2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別是F1(-13,0)，F(xiàn)2(13,0)，點P在雙曲線C上，且PF1-PF2=10，則雙曲線C的方程是（ ）
A．x25-y212=1B．x212-y25=1C．x2144-y225=1D．x225-y2144=1
變式1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若a=6,b=8，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．y236-x264=1B．x264-y236=1C．x236-y264=1D．x236-y264=1或y236-x264=1
變式2．（21-22高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,5，F(xiàn)20,-5，P是雙曲線上一點且滿足PF1-PF2=6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x216-y29=1B．x29-y216=1C．y216-x29=1D．y29-x216=1
變式3．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為5,0，一個頂點為3,0，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．y216-x29=1B．x225-y29=1
C．x225-y216=1D．x29-y216=1
變式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知雙曲線的上、下焦點分別為F1(0,4)，F(xiàn)2(0,-4)，P是雙曲線上一點且PF1-PF2=6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x27-y29=1B．x29-y27=1C．y29-x27=1D．y27-x29=1
變式5．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）經(jīng)過點(433,23)且焦點為0,-5，0,5的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式6．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線Γ經(jīng)過兩點A-2,-3，B153,2，則雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式7．（22-23高二上·江蘇揚州·期中）已知對稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過點4,13，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式8．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(5，0)和(－5，0)，點P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為 ．
變式9．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）求焦點在x軸上，且經(jīng)過點P(4,2)與Q(26,22)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【方法技巧與總結(jié)】
用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：
【題型3：雙曲線定義的應(yīng)用】
例3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）若曲線x2k+4+y2k-1=1表示雙曲線，則k的取值范圍是（ ）
A．-4,1B．-∞,-4∪1,+∞
C．-4,1D．-∞,-4∪1,+∞
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則2

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2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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