雙曲線的幾何性質(zhì) 【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握雙曲線的幾何性質(zhì)2．能通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定雙曲線的頂點(diǎn)、實(shí)虛半軸、焦點(diǎn)、離心率、漸近線方程。【教學(xué)重難點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)【教學(xué)過(guò)程】一、復(fù)習(xí)回顧：師：上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這一節(jié)，我們要根據(jù)它來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì)。同學(xué)們可以按照研究橢圓幾何性質(zhì)的方法和步驟，自己推出雙曲線的幾何性質(zhì)，然后與課文對(duì)照，所以，我們來(lái)回顧一下研究橢圓的幾何性質(zhì)的方法與步驟。二、講授新課：1．范圍：雙曲線在不等式x≥a與x≤－a所表示的區(qū)域內(nèi)。 2．對(duì)稱(chēng)性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心，雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心叫雙曲線中心。3．頂點(diǎn)：雙曲線和它的對(duì)稱(chēng)軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(－a，0)、A2(a，0)，它們叫做雙曲線的頂點(diǎn)。線段A1A2叫雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于2a，a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)；線段B1B2叫雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于2b，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。4．漸近線①我們把兩條直線y=±叫做雙曲線的漸近線；②從圖可以看出，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與直線y=±逐漸接近。 ③“漸近”的證明：先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明。這一部分的方程可寫(xiě)為y=>a)。設(shè)M(x，y)是它上面的點(diǎn)，N(x，y)是直線y=上與M有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則y=。∵y=∴設(shè)是點(diǎn)M到直線y=的距離，則<，當(dāng)x逐漸增大時(shí)，逐漸減小，x無(wú)限增大，接近于O，也接近于O。就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON。在其他象限內(nèi)，也可證明類(lèi)似的情況。（上述內(nèi)容用幻燈片給出）。④等軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。⑤利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙曲線的草圖。具體做法是：畫(huà)出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后過(guò)這兩點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫(huà)出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出完整的雙曲線。5．離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=，叫雙曲線的離心率。說(shuō)明：①由c>a>0可得e>1；②雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口越闊。師：為使大家進(jìn)一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)，我們來(lái)看下面的例題。例1  求雙曲線9y2－16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。。由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4，虛半軸長(zhǎng)b=3．。焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，－5），（0，5）。離心率。漸近線方程為，即。說(shuō)明：此題要求學(xué)生認(rèn)識(shí)到第二種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的雙曲線性質(zhì)與課本性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。可讓學(xué)生比較得出（作為練習(xí)）。三、課堂練習(xí)：寫(xiě)出第二種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程所對(duì)應(yīng)的雙曲線性質(zhì)。四、課堂小結(jié)師：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)。  

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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