知識點01 二面角的概念
1.半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角的面，記作α-l-β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A-l-B，二面角的范圍為[0，π]．
3.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．
知識點02 二面角的向量求法
定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ．則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．
【即學即練1】（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形．PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，則平面PAD與平面PBC所成的角的大小為 ．
【即學即練2】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）設(shè)a=(1,1,0)，b=(t,0,1)分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為60°，則t等于（ ）
A．1B．－1C．－1或1D．2
難點：動點問題
示例1：（23-24高二下·江蘇常州·期末）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A1B1的中點，點Q在正方形CC1D1D內(nèi)部及其邊界上運動，則下列說法正確的有（ ）
A．當PQ=5時，點Q的軌跡長度為π
B．若PQ//平面A1BD，則PQ長度的最小值為2
C．當PQ=5時，二面角Q-AB-P的余弦值的最小值是255
D．記直線PQ與平面AA1B1B所成角為θ，則sinθ的取值范圍是23,1
【題型1：定義法求面面角】
例1．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）H是二面角α-AB-β棱上的一點，在α平面上引射線HM，在β平面上引射線HN，若∠MHB=∠NHB=π4，∠MHN=π3，那么二面角α-AB-β的大小為（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
變式1．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，正八面體ABCDEF的12條棱長相等，則二面角E-AB-F的余弦值為 .
變式2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,BC=3,BB1=4,P為矩形A1B1C1D1內(nèi)一點，過點P與棱BC作平面α．
(1)直接在圖中作出平面α截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；
(2)設(shè)平面α∩平面A1B1C1D1=l．若截面圖形的周長為16，求二面角A-l-B的余弦值．
變式3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）P是二面角α-l-β內(nèi)的一點（P?α，P?β），PA⊥α，PB⊥β且∠APB=35°，求此二面角的大小.
變式5．（23-24高二下·浙江·期末）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為4的正方形，M，N分別為棱AP，BC的中點，PA=PB，CP=DP=3，∠ACP=π4.

(1)求證：MN//平面CDP；
(2)求二面角D-BC-P的平面角余弦值.
變式5．（24-25高二上·上?！卧獪y試）如圖，在幾何體S-ABC中，點E、O分別是SC、AC的中點，SO⊥底面ABC，∠ASC=∠ACB=90°．
(1)求證：OE//平面SAB；
(2)若點F在線段BC上，求異面直線OE、SF所成角的大?。?br>(3)若SA=SC=2，BC=12AC，求二面角B-AS-C的平面角的余弦值．
變式6．（2024高二下·浙江紹興·學業(yè)考試）如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐P-ABCD中，PA=PB=2，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=60°，設(shè)E是棱PB上一點，三棱錐E-ACD的體積為12.
(1)證明：PC⊥AB；
(2)求BE；
(3)求二面角E-CD-A的正弦值.
變式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐D-ABC中，平面ACD⊥平面ABC，AD⊥AC，AB⊥BC， E、F分別為棱BC、CD的中點．
(1)求證：直線EF//平面ABD；
(2)若直線CD與平面ABC所成的角為45°，直線CD與平面ABD所成角為30°，求二面角B-AD-C的大?。?br>【方法技巧與總結(jié)】
用定義求二面角的步驟
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)．
2.證明所作平面角即為所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【題型2：向量法求面面角】
例2．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=45°,BC=2PQ= 22AB=22,M為BC的中點，PQ//BC,PD⊥DC,QB⊥MD.則平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為（ ）
A．1010B．31010C．63737D．3737
變式1．（23-24高二上·河南焦作·階段練習）如圖，過二面角α-l-β內(nèi)一點P作PA⊥α于A,PB⊥β于B，若PA=5,PB=8,AB=7，則二面角α-l-β的大小為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
變式2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，M為PD的中點，則二面角M-BC-A的余弦值為（ ）
A．31010B．1010C．55D．255
變式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1上的一個動點，F(xiàn)為棱B1C1上的一個動點，則平面EFB與底面ABCD所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A．0,22B．33,22C．0,33D．0,55
變式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，AB ∥ CD,AB=6,AD=CB=3，CD=9，且PA=PB=5,Q在線段PC上，且滿足BQ ∥平面PDA.
(1)求PQQC；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.
變式5．（23-24高二下·云南紅河·期末）如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，DD1⊥平面ABCD，AB=2A1B1，DD1=1，P為AB的中點.

(1)求證：D1P//平面BCC1B1；
(2)求平面ABB1A1與平面BCC1B1夾角的大小.
變式6．（24-25高二上·上海·單元測試）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．
(1)在BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，說明理由；
(2)若BC邊上有且僅有一個點Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的正弦值；
(3)在（2）的條件下，求出平面PQD與平面PAB所成角的大小．
變式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面矩形ABCD垂直于側(cè)面PAD，且PA⊥AD,E、F分別是棱AD、PC的中點，AD=2AP=2AB．

(1)證明：PC⊥平面BEF；
(2)若AD=2，求二面角F-BE-C的正弦值．
【方法技巧與總結(jié)】
求面面角的步驟
第一步 首先根據(jù)已知條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系并標出相應(yīng)點的空間坐標；
第二步 然后根據(jù)已知條件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的數(shù)量積計算公式即可得出結(jié)論.
【題型3：動點探索性習題】
例3．（22-23高二上·全國·階段練習）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE，M,N分別是線段BC,SB的中點，Q是線段DC上的一個動點（含端點D,C），則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點Q，使得NQ⊥SB
B．存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60°
C．當點Q自D向C處運動時，二面角N-MQ-A的平面角先變大后變小
D．當點Q自D向C處運動時，二面角N-MQ-A的平面角先變小后變大
變式1．（多選）（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)（E在F的左邊）且EF=2，下列說法錯誤的是（ ）
A．當E，F(xiàn)運動時，存在點E，F(xiàn)使得AE⊥CF
B．當E，F(xiàn)運動時，存在點E，F(xiàn)使得AE//BF
C．當E運動時，二面角E-AB-C最小值為45°
D．當E，F(xiàn)運動時，二面角A-EF-B的余弦值為定值13．
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，AB是底面圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，PO垂直于圓O所在的平面且PO=OB=1，BC=2，點E在線段PB上，則下列說法正確的是（ ）

A．當E為PB中點時，PB⊥平面CEO
B．記直線CE與平面BOP所成角為θ，則tanθ∈1,2
C．存在點E，使得平面CEO與平面BEC夾角為π6
D．CE+OE的最小值為6+22
變式3．（多選）（23-24高二上·新疆烏魯木齊·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為線段BD1上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（ ）
A．存在點M，使得C1M⊥平面A1DB
B．存在點M，使得直線AM與直線B1C所成的角為60°
C．存在點M，使得三棱錐D1-C1DM的體積為19
D．不存在點M，使得α>β，其中α為二面角M-AA1-B的大小， β為直線MA1與AB所成的角
變式4．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點.
(1)求證：BD1//平面A1DE；
(2)在線段AB上是否存在點M，使二面角D1-MC-D的平面角的大小為π4？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.
變式5．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上，且A1P=λA1B1.
(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
(2)當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成角θ最大?并求該角取最大值時的正切值；
(3)是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角的正弦值為32，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由.
變式6．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，BC=4，若異面直線PA與CD所成角等于60°．
(1)求棱PB的長；
(2)在棱PA上是否存在一點E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5？若存在，指出點E的位置，若不存在，請說明理由．
變式7．（23-24高二上·湖北·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，PA=1，PB=5，E為BC的中點，且PE⊥BD．
(1)證明：PA⊥平面ABCD；
(2)線段PB上是否存在一點M，使得二面角M-DE-A的余弦值為223？若存在，試確定點M的位置；若不存在請說明理由．
1．（22-23高二下·山東濟南·期末）已知兩個平面的法向量分別為m=0,1,1,n=1,-1,0，則這兩個平面的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．60°或120°D．120°
2．（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角α-l-β的棱上有兩點A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=41，則二面角α-l-β的大小為（ ）
A．π6B．π3C．23πD．5π6
3．（23-24高二上·陜西安康·期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE=1，則平面ADE與平面BCE的夾角為（ ）

A．45°B．60°C．120°D．150°
4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知：PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=2，BC∥AD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點（包括邊界），且二面角Q-PD-A的平面角大小為π3，則△ADQ面積的取值范圍是（ ）
A．0,4155B．0,155C．0,4155D．0,4
5．（22-23高二上·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=CC1=4，點D是棱AB的中點，則平面ABB1A1與平面B1CD所成角的正弦值為（ ）
A．3010B．7010C．306D．66
6．（22-23高二上·北京·期中）若直線a的方向向量為a，平面α、β的法向量分別為n、m，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若a//n，則直線a⊥平面α
B．若a⊥n，則直線a//平面α
C．若csa,n=12，則直線a與平面α所成角的大小為π6
D．若csm,n=12，則平面α、β的夾角為π3
7．（21-22高二下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．異面直線AC與BC1所成的角為60°
B．二面角A-B1C-B的正切值為2
C．直線AB1與平面ABC1D1所成的角為45°
D．四面體D1-AB1C的外接球體積為32π
8．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=1，P為線段A1C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當A1C=2A1P時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為255
B．當A1C=3A1P時，若平面BDC1的法向量記為n，則D1P?n=1
C．當A1C=4A1P時，二面角A1-AD1-P的余弦值為105
D．若A1C?D1P=0，則A1C=4A1P
二、多選題
9．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥底面ABCD，則（ ）．
A．PA⊥BDB．PB與平面ABCD所成角為π6
C．異面直線AB與PC所成角的余弦值為55D．二面角A-PB-C的正弦值為217
10．（22-23高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐C-EFG的體積為1B．A1C⊥平面EFG
C．A1D1//平面EFGD．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為36
11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，則（ ）

A．異面直線AE與DF所成角大小為π3
B．二面角A-EB-C的平面角的余弦值為13
C．此八面體存在外接球
D．此八面體的內(nèi)切球表面積為32π3
三、填空題
12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形ABCD，AB=1,BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，若BD=2，則二面角B-AC-D的余弦值為 ．
13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿對角線AC折疊之后，使得平面BAC⊥平面ACD（如圖），則平面BCD與平面ACD夾角的正弦值為 ．

14．（24-25高二上·上?！卧獪y試）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，PO=66DO，則二面角B-PC-E的余弦值是 ．

四、解答題
15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E,F分別為棱AC,BB'的中點，AB=BB'=2．
(1)證明：BE//平面AFC'．
(2)求平面ABC與平面AFC'夾角的余弦值．
16．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點E是棱PC上一點.
(1)求證：平面PAC⊥平面BDE；
(2)當E為PC中點時，求A-BE-D所成二面角銳角的大小.
17．（23-24高二下·青海海東·階段練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AP=AB=1，F(xiàn)，E分別是PB，PC的中點．
(1)證明：PB⊥ED；
(2)求平面ADEF與平面PCD的夾角．
18．（23-24高二下·吉林長春·期末）如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=6，AD=22，E，F(xiàn)分別是線段CD的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線AF，BE折起，使得點C和點D重合，記為點P，如圖②.

(1)求證：平面PEF⊥平面ABEF；
(2)求平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值.
19．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知直棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=22，BB1=2，∠BAC=45°，D為線段A1B1上任一點，E，F(xiàn)分別為AC，BB1中點．
(1)證明：DE⊥C1F；
(2)當B1D為何值時，平面DEC與平面BCC1B1的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
課程標準
學習目標
1.理解二面角及其平面角的概念
2.會利用定義法求二面角的大小
3.會用向量法求二面角的大小
1.理解二面角的概念，并會求簡單的二面角:
2.理解二面角的平面角的概念，會找二面角的平面角:
條件
平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ
圖形
關(guān)系
θ＝φ
θ＝π－φ
計算
cs θ＝cs φ
cs θ＝－cs φ

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