高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01 橢圓的幾何性質(zhì)
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4:1，焦距為215的橢圓方程為（）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y28=1的焦距是2，則該橢圓的長軸長為 .
知識(shí)點(diǎn)02橢圓的離心率
1.定義：e＝eq \f(c,a).
2.離心率的范圍為：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.
【即學(xué)即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2，焦距為23，則該橢圓的離心率為（）
A．12B．23C．32D．63
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)滿足a=2b，則該橢圓的離心率e=（）
A．12B．32C．33D．54
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F1的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，則橢圓C的離心率為（）
A．35B．22C．13D．32
【題型1：橢圓的幾何性質(zhì)】
例1．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．x29+y216=1B．x225+y216=1
C．x225+y216=1或x216+y225=1D．x216+y225=1
變式1．（21-22高二上·廣東湛江·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1-3,0,F23,0，上的頂點(diǎn)為P，且∠F1PF2=60°，則此橢圓長軸為（）
A．43B．23C．6D．12
變式2．（2024·江西·模擬預(yù)測）橢圓C:x280+y235=1的長軸長與焦距之差等于（）
A．5B．25C．26D．36
變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2a2-6=1的離心率為32，則橢圓C的長軸長為（）
A．23B．42C．43D．62
變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓C:x2m+y2m+6=1的離心率為22，則橢圓C的長軸長為（）
A．23B．42C．43D．62
變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓x2t+12+y2t=1的離心率為63，則橢圓的長軸長為（）
A．122B．62C．32D．6
變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知橢圓C:x28+y228=1，則（）
A．橢圓C的長軸長為47B．橢圓C的焦距為12
C．橢圓C的短半軸長為42D．橢圓C的離心率為357
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，若AF1⊥AF2，則C的短軸長為 .
變式8.（24-25高二上·上?！ふn堂例題）若方程x225-m+y216+m=1表示長軸長為10的橢圓，則實(shí)數(shù)m的值為．
【題型2：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系】
例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)Pm,n與橢圓x27+y25=1的位置關(guān)系是（）
A．在橢圓內(nèi)B．在橢圓外
C．在橢圓上D．不確定
變式1．（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）點(diǎn)1,1與橢圓x225+y29=1的位置關(guān)系為（）
A．點(diǎn)在橢圓上B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)
C．點(diǎn)在橢圓外D．不確定
變式2．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)Pa,1在橢圓x22+y23=1的外部，則a的取值范圍為（）
A．-233,233 B．233,+∞∪-∞,-233
C．43,+∞ D．-∞,-43
變式3．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)A(a,1)在橢圓x24+y22=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）
A．-∞,-2∪2,+∞B．-2,2C．-2,2D．-2,2
變式4．(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知直線l:mx+ny=4與圓O:x2+y2=4相切，橢圓C:x29+y25=1，則（）
A．點(diǎn)P(m,n)在圓O內(nèi)B．點(diǎn)P(m,n)在圓O上
C．點(diǎn)P(m,n)在橢圓C內(nèi)D．點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上
變式5．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)Aa,1在橢圓x24+y22=1的內(nèi)部，則a的值可以是（）
A．-2B．-1C．1D．2
變式6．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，在橢圓C上滿足∠F1PF2=90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．
變式7．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)A(m,1)在橢圓x24+y22=1的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
變式8．（20-21高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)(3，2)在橢圓x2m+y2n=1(m>0, n>0)上，則點(diǎn)(-3，3)與橢圓的位置關(guān)系是 .
【方法技巧與總結(jié)】
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；
點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
【題型3：離心率取值問題】
例3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F，A，B分別是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若FM=33a2-b22，則橢圓的離心率等于（）
A．15B．13C．265D．223
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,P,Q為C在第一象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PF1=λQF2,∠PF1F2=π6，若PF1=3QF2，則C的離心率為（）
A．33B．12C．52D．104
變式2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，PF1⊥PF2，且PF1=2PF2，則橢圓E的離心率為（）
A．102B．104C．53D．56
變式3．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，已知點(diǎn)P在橢圓E上，若∠F1PF2=90°，∠PAF2=45°，則橢圓的離心率為（）
A．57B．63C．2-1D．3-1
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)M,N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若MF1?MF2=0,15MF2=NF2，則C的離心率為（）
A．154B．157C．215-27D．15-24
變式5.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在以O(shè)F為直徑的圓上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，則E的離心率為（）
A．22B．32C．12D．14
變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(00）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2B=-32F2A，則橢圓C的離心率為．
【方法技巧與總結(jié)】
1．橢圓的離心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且F1F2=2c，點(diǎn)P為直線x=a2c上一點(diǎn)，若點(diǎn)F2在線段PF1的垂直平分線上，則C的離心率的取值范圍是（）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈π6,π4，則該橢圓離心率e的取值范圍為（）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不含左右端點(diǎn)），左右端點(diǎn)為A?B,kAP?kBP≤-23，則離心率e的范圍為（）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
變式3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知點(diǎn)A是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為12的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限）．以原點(diǎn)O為圓心，OP為半徑的圓在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)Q．若PA≥PQ，則橢圓C離心率的取值范圍是（）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
變式4．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知F1,F2分別是橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓M上，且PF1-PF2=4b，則M的離心率的取值范圍為（）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設(shè)橢圓C1:x2m+y22=1與橢圓C2:x28+y2m=1的離心率分別為e1, e2，若m∈(2,8)，則（）
A．e1e2的最小值為14B．e1e2的最小值為12
C．e1e2的最大值為14D．e1e2的最大值為12
變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長大于43，當(dāng)m變化時(shí)直線x-my+2-2m=0與C都恒過同一個(gè)點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
變式7．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為Fc,0，上頂點(diǎn)為A0,b，直線上l:x=a2c上存在一點(diǎn)P滿足FP+FA?AP=0，則橢圓的離心率的取值范圍為．
變式8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，直線l的方程為x=a2+b2a，且PQ⊥l于Q．若四邊形PQF2F1為平行四邊形，求C的離心率的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=a2-c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
【題型5：直線與橢圓的位置關(guān)系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直線l：3x+y-3=0與橢圓C：x216+y24=1的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．2,3B．213,11313C．-2,33D．-213,15313
變式1．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線l:y=x+m與橢圓C:x24+y23=1有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）
A．-7,7B．-6,7
C．-6,6D．-22,22
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線y=3x-1與橢圓x24+y28=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1
C．2D．無數(shù)個(gè)
變式3．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）直線x=1與橢圓x2+y22=1的位置關(guān)系是（）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
變式4．（21-22高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）直線y=x+1與橢圓x2+y22=1的位置關(guān)系是（）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
變式5．（23-24高二上·上海寶山·期中）若直線y=kx-1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
變式6．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓M：y2a2+x2b2=1a>b>0的焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)1,3.
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x-y-32=0平行，求直線l1的斜截式方程.
變式7．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知直線l:y=mx-2與橢圓C:x24+y23=1相交于不同兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【方法技巧與總結(jié)】
直線y＝kx＋m與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；
當(dāng)Δb>0的右焦點(diǎn)為F1,0，且經(jīng)過點(diǎn)Q2,62
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長．
變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為5,0，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓(x-1)2+y2=25的圓心為M,P為此圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓C的離心率；
(2)記線段MP與橢圓C的交點(diǎn)為Q，求PQ的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
1.定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．
②根與系數(shù)的關(guān)系法：
如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1?x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1?y2.·
【題型7：中點(diǎn)弦問題】
例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
變式1．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為1的直線與橢圓x24+y23=1相交于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為Mm,1，則m= ．
變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F2(1,0)的直線交該橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(12,13)，則橢圓E的離心率為．
變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線3x+4y-7=0與橢圓x24+y2m=1和交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)1,1平分弦AB，則m的值為．
變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為32，過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為1,1，則直線l的斜率為．
變式6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距為23，長軸長是短軸長的2倍，斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A、B．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)OP的斜率為k'，求證：k?k'為定值．
變式7．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32，橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.若直線l過點(diǎn)-1,0，且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)14，求直線l的方程.
【方法技巧與總結(jié)】
解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：
（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和
【題型8：解答題匯總】
例8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點(diǎn)M1,32，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2=23，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P在第一象限，且PF1?PF2≤14，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
變式1．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知A-2,0，B1,32在橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動(dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形PF1QF2的面積的取值范圍．
變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑是a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2,0，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為3．
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點(diǎn)A，B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP?BP的取值范圍．
變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為63，焦距為22，斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若直線l過橢圓上頂點(diǎn)，且k=1，求AB的值.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為32，長軸長與短軸長之和為6.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P為C上一點(diǎn)，M1,0.若存在實(shí)數(shù)λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范圍.
變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，點(diǎn)C為直線x=4上一點(diǎn)，以C為圓心的圓同時(shí)與x軸和直線l相切，且OC//AP，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被點(diǎn)b2,0分成5:3的兩段，則此橢圓的離心率為（）
A．1617B．41717C．45D．255
2．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）橢圓x29+y27=1的焦距為（）
A．22B．4C．8D．16
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2m+y2m+1=1(m>0)的離心率為33，則m=（）
A．3B．13C．2D．12
4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為x24+y23=1，則該橢圓的（）
A．長軸長為2B．短軸長為3C．焦距為1D．離心率為12
5．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知點(diǎn)B-3,0 ，C3,0，設(shè)點(diǎn)C到直線AB的最大距離為d1，點(diǎn)A到直線BC的最大距離為d2，則 d1d2=（）
A．34B．433C．32D．233
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為6π，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形AF1BF2的周長為12，則橢圓C的短半軸長為（）
A．4B．3C．2D．6
7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知P是橢圓x25+y24=1在第一象限上的點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓x2m+y24=1的焦距是2，則m的值是（）
A．3B．5C．3或5D．不存在
二、多選題
9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）關(guān)于方程mx2+ny2=1，下列說法正確的是（）
A．若m>n>0，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則該方程表示圓，其半徑為n
C．若n>m>0，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上
D．若m=0,n>0，則該方程表示兩條直線
10．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為62π，且兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為（）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
11．（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）已知橢圓x29+y2b2=1(00的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若直線y=kx與C交于P,Q兩點(diǎn)，且PF1+QF1=PF1?QF1=8,PF1⊥QF1，則C的方程為．
13．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)P在橢圓C:x225+y29=1上，點(diǎn)Q在直線l:4x-5y+30=0上，則PQ的最小值為 .
14．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為左焦點(diǎn)、長軸長為40萬公里、短軸長為4萬公里的橢圓軌道T1繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)P第二次變軌進(jìn)入仍以F為左焦點(diǎn)、長軸長為20萬公里的橢圓軌道T2繞月飛行，則橢圓軌道T2的短軸長為萬公里．（近似到0.1）
四、解答題
15．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）分別求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)已知橢圓的離心率為e=23，短軸長為85；
(2)橢圓C與x22+y2=1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M1,32，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
16．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點(diǎn)-2,2，過點(diǎn)T-6,0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．
17．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓C:(x-1)2+y2=r2r>0在橢圓E:x24+y2=1里.過橢圓E上頂點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B，切線PA與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，切線PB與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為M.
(1)求r的取值范圍；
(2)是否存在圓C，使得直線MN與之相切，若存在求出圓C的方程，若不存在，說明理由.
18．（24-25高三上·山東泰安·開學(xué)考試）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P1,22在C上，且PF2⊥x軸．
(1)求C的方程．
(2)過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長和面積．
19．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，A,B都是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的頂點(diǎn)，從C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)F，且AB//OP．

(1)求C的離心率；
(2)若△PAB的面積比△POA的面積大12，求C的方程．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)
2.了解橢圓的離心率對(duì)橢圓的扁平程度的影響.
3.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用
1.重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)
2.難點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用.
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范圍
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長
長軸長＝eq \a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq \a\vs4\al(2b)
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
對(duì)稱性
對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)
離心率
e＝eq \f(c,a)(0

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