知識點01 雙曲線的幾何性質
【即學即練1】（2024高二·江蘇·專題練習）等軸雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±5x
【答案】C
【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據方程即可求出其漸近線方程.
【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
則a=b，則其漸近線方程為y=±bax=±x；
若等軸雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
則a=b，則其漸近線方程為y=±abx=±x，
綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.
故選：C
【即學即練2】（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2b2=1b>0的左、右頂點分別為A、B，點P在雙曲線C上，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，求雙曲線C的焦距.
【答案】42
【分析】設點Px0,y0，利用直線PA與直線PB的斜率之積為1，可以列關于x0，y0的等式，再利用點P在雙曲線上又可以得到于x0，y0的關系式，兩式結合可以得到b，從而可以求出焦距.
【詳解】解：設點Px0,y0，因為kPA?kPB=1，所以y0x0+2?y0x0-2=y02x02-4=1.
因為點P在雙曲線C上，所以x024-y02b2=1，y02x02-4=b24，所以b24=1，即b＝2.
所以雙曲線C的焦距為24+b2=42.
知識點02等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq \r(2).
注意：對雙曲線的簡單幾何性質的幾點認識
1.雙曲線的焦點決定雙曲線的位置；
2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然．
3.巧設雙曲線方程：與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【即學即練3】（2022高二·全國·專題練習）等軸雙曲線的一個焦點為-6,0，則它的標準方程是（ ）
A．x2-y2=-18B．x2-y2=18
C．x2-y2=-8D．x2-y2=8
【答案】B
【分析】由題意設等軸雙曲線為x2a2-y2a2=1(a>0)，再由c=6可求出a2，從而可求出雙曲線的方程.
【詳解】由題意設等軸雙曲線為x2a2-y2a2=1(a>0)，
因為等軸雙曲線的一個焦點為-6,0，
所以a2+a2=c2=36，得a2=18，
所以等軸雙曲線為x218-y218=1，即x2-y2=18，
故選：
【即學即練4】（23-24高二上·安徽·階段練習）已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標軸，且經過點A42,2，則雙曲線C的標準方程為（ ）
A．x236-y236=1B．y236-x236=1C．x228-y228=1D．y228-x228=1
【答案】C
【分析】設出等軸雙曲線的標準方程，將A42,2代入即可求解.
【詳解】設等軸雙曲線C的方程為x2m-y2m=1，
將點A42,2代入得32m-4m=1，解得m=28.
所以雙曲線C的標準方程為x228-y228=1.
故選:C.
知識點03 雙曲線與漸近線的關系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
【即學即練5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【答案】C
【分析】根據等軸雙曲線的定義，可設a=b=1，以雙曲線的中心為原點，焦點所在的射線為x軸建立直角坐標系，寫出雙曲線的方程，由此得到漸近線方程，從而求得兩漸近線的夾角.
【詳解】由等軸雙曲線的定義可知雙曲線的實軸與虛軸長度相等，∴實半軸與虛半軸的長度相等，設不妨設a=b=1，以雙曲線的中心為原點，焦點所在的射線為x軸建立直角坐標系，可知雙曲線的方程為x2-y2=1，兩條漸近線方程為y=±x，這兩條漸近線的夾角為π2．
故選：C．
【即學即練6】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線16x2-9y2=144，求該雙曲線的頂點坐標、焦點坐標、離心率與漸近線方程
【答案】頂點坐標為±3,0，焦點坐標為±5,0，離心率為53，漸近線為y=±43x
【分析】將方程化為標準式，即可求出a、b、c，再解答即可.
【詳解】雙曲線16x2-9y2=144，即x29-y216=1，所以a=3,b=4，所以c=a2+b2=5，
故雙曲線的頂點坐標為±3,0，焦點坐標為±5,0，離心率e=ca=53，漸近線為y=±43x；
難點：數形結合的運用
示例1：（多選）（24-25高二上·陜西渭南·階段練習）設F為雙曲線C:x22-y22=1的焦點，O為坐標原點，若圓心為0,m，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點，則（ ）.
A．C的離心率為2B．OA2+OB2=6
C．OA+OB≤4D．FA2+FB2≥16-83
【答案】ACD
【分析】根據雙曲線的標準方程及離心率公式可判斷A；設Ax1,y1，Bx2,y2，聯立雙曲線與圓的方程結合韋達定理計算可判斷B；由基本不等式鏈a+b2≤a2+b22，結合OA2+OB2=8可判斷C；由題意得|FA|2+|FB|2=16-4x1+x2，結合基本不等式可判斷D.
【詳解】對于A，因為a=b=2，則c=2，
所以C的離心率為e=ca=2，故A正確；
對于B，設Ax1,y1，Bx2,y2，
聯立x2-y2=2x2+y-m2=4，消去x可得2y2-2my+m2-2=0，
則Δ=-2m2-8m2-2>0，解得-20的焦距為43，則C的漸近線方程是（ ）
A．y=±77xB．y=±33x
C．y=±xD．y=±3x
【答案】C
【分析】根據焦距可求a，從而可求漸近線的方程.
【詳解】因為焦距為43，故a2+6=4322=12，故a2=6，故ba=1
故漸近線方程為y=±x，
故選：C.
變式2．（2024·廣西柳州·模擬預測）雙曲線x24-y216=1的一個頂點到漸近線的距離為（ ）．
A．5B．4C．455D．23
【答案】C
【分析】求出頂點坐標和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解．
【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點A1-2,0，A22,0，
漸近線方程為y=±bax=±2x，
由對稱性，不妨求A1到直線y=2x的距離，d=422+-12=455．
故選：C．
變式3．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）共軛雙曲線x24-y23=1與y23-x24=1，有（ ）
A．相同的離心率B．公共焦點
C．公共頂點D．公共漸近線
【答案】D
【分析】根據雙曲線的離心率、交點、頂點、漸近線等知識確定正確答案.
【詳解】雙曲線x24-y23=1的焦點在x軸上，雙曲線y23-x24=1的焦點在y軸上，
所以BC選項錯誤.
雙曲線x24-y23=1對應a1=2,b1=3,c1=3+7=7，
對應離心率為72，漸近線方程為y=±32x.
雙曲線y23-x24=1對應a2=3,b2=2,c2=7，
對應離心率為73=213，漸近線方程為y=±32x，
所以A選項錯誤，D選項正確.
故選：D
變式4．（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知直線y=2x+m與雙曲線Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)的一條漸近線平行，則Γ的實軸長為（ ）
A．22B．32C．62D．6
【答案】D
【分析】根據雙曲線的漸近線和直線斜率可得2m+3m=2，求得m=32，進而可得實軸長.
【詳解】由雙曲線Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)可知：a=m,b=2m+3，且焦點在x軸上，
則雙曲線Γ的漸近線為y=±2m+3mx，
且直線y=2x+m的斜率k=2，
若直線y=2x+m與雙曲線Γ的一條漸近線平行，
則2m+3m=2，解得m=32，即a=m=62，
所以Γ的實軸長為2a=6.
故選：D.
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知a,b>0,a≠b，則關于雙曲線C1:x2a2-y2b2=1與雙曲線C2:y2a2-x2b2=1，下列說法中正確的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦點
C．有相同的離心率D．有相同的漸近線
【答案】AC
【分析】根據題意，結合雙曲線的幾何性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】由雙曲線C1:x2a2-y2b2=1，可得c=a2+b2，則焦距為2c=2a2+b2，
焦點坐標為F1(-a2+b2,0),F2(a2+b2,0)，漸近線方程為y=±bax，離心率為e1=ca；
又由雙曲線C2:y2a2-x2b2=1，可得c=a2+b2，則焦距為2c=2a2+b2，
焦點坐標為F1(0,-a2+b2),F2(0,a2+b2)，漸近線方程為y=±abx，離心率為e2=ca，
所以雙曲線C1和C2有相同的焦距，離心率相同，焦點坐標和漸近線方程不同.
故選：AC.
變式6．（多選）（23-24高二上·河南漯河·階段練習）已知橢圓C1:x216+y29=1與雙曲線C2：x216-k-y2k-9=1（90)的漸近線方程為y=±m(xù)x，
故m3=m，解得m=3，
故C:x213-y2=1，焦距為213+1=433.
故答案為：433
變式8．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）若方程x2+my2-m=0表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為 .
【答案】2-m
【分析】化為y2-x2-m=1，根據雙曲線方程的特征得到雙曲線的虛軸長.
【詳解】若方程x2+my2-m=0表示雙曲線，顯然m≠0，
則由x2+my2-m=0可得y2-x2-m=1，所以-m>0，
該雙曲線的虛軸長為2-m，
故答案為：2-m.
【方法技巧與總結】
由雙曲線的方程研究幾何性質的解題步驟：
1.把雙曲線方程化為標準形式是解決本題的關鍵；
2.由標準方程確定焦點位置，確定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質。
注意：求性質時一定要注意焦點的位置
【題型2：利用幾何性質求標準方程】
例2．（2020·安徽合肥·模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為y=±22x，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為（ ）.
A．x24-y22=1B．x24-y28=1或y24-x28=1
C．x24-y28=1D．x24-y22=1或y24-x28=1
【答案】D
【分析】根據雙曲線的焦點的位置進行分類討論，結合雙曲線漸近線方程和實軸長的定義進行求解即可.
【詳解】當雙曲線的焦點在橫軸時，設雙曲線的標準方程為：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
因為實軸長為4，所以得2a=4?a=2，因為雙曲線的漸近線方程為：y=±22x，所以有ba=22，
因此b=2，所以雙曲線的方程為：x24-y22=1；
當雙曲線的焦點在縱軸時，設雙曲線的標準方程為：y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
因為實軸長為4，所以得2a=4?a=2，因為雙曲線的漸近線方程為：y=±22x，所以有ab=22，
因此b=22，所以雙曲線的方程為：y24-x28=1.
綜上所述，雙曲線的方程為x24-y22=1或y24-x28=1.
故選：D
變式1．（23-24高二下·浙江·階段練習）過點4,-3且與雙曲線x24-y23=1有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）
A．y212-x29=1B．x212-y29=1C．y29-x212=1D．x29-y212=1
【答案】B
【分析】根據漸近線相同可設所求為x24-y23=tt≠0，將點4,-3代入求得t即可得解.
【詳解】因為所求雙曲線與雙曲線x24-y23=1有相同的漸近線，所以設其方程為x24-y23=tt≠0，
又點4,-3在雙曲線上，所以424-(-3)23=t，解得t=3，
則雙曲線方程為x212-y29=1.
故選：B．
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習）若雙曲線的焦點在x軸上，漸近線方程為y=±2x，虛軸長為4，則雙曲線的標準方程為 ．
【答案】x2-y24=1
【分析】由若雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線標準方程可設為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由虛軸長為4，可知b=2，再由漸近線方程為y=±2x，可知ba=2,a=1，代入即可求解.
【詳解】由若雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線標準方程可設為：x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
由虛軸長為4，可知b=2，再由漸近線方程為y=±2x，可知ba=2,a=1，
所以雙曲線標準方程為：x2-y24=1.
故答案為：x2-y24=1.
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C的對稱軸為坐標軸，其中一條漸近線方程為3x+y=0，直線l:y=x-2截該雙曲線的弦長為6，則該雙曲線的方程為 .
【答案】x2-y23=1
【分析】由漸近線方程設出雙曲線方程，再直曲聯立得到韋達定理，最后由弦長公式求出AB，解出即可；
【詳解】由于C的一條漸近線為3x+y=0，可設雙曲線C的方程為3x2-y2=tt≠0，
將y=x-2代入雙曲線C得2x2+4x-4-t=0，
若直線與雙曲線交點為Ax1,y1,Bx2,y2，
則x1+x2=-2,x1x2=-4-t2，
則AB=1+12x1+x22-4x1x2=2×-22-4×-4-t2=6，解得t=3，
經檢驗，t=3滿足題意；
故該雙曲線的方程為3x2-y2=3，即x2-y23=1.
故答案為：x2-y23=1.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的焦點與橢圓x216+y29=1的上、下頂點重合，且其中一條漸近線的方程為y=22x，則該雙曲線的標準方程為 ．
【答案】y23-x26=1
【分析】根據橢圓的頂點坐標得雙曲線的交點坐標，結合漸近線方程求出參數即可.
【詳解】橢圓的上、下頂點坐標為0,3,0,-3，
設雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1a>0,b>0，其半焦距為cc>0，
由題得雙曲線焦點為0,3,0,-3，即c=3.
因為其中一條漸近線方程為y=22x，
所以ab=22，即b=2a，結合c2=a2+b2，解得a2=3,b2=6，
所以雙曲線的標準方程為y23-x26=1．
故答案為:y23-x26=1.
變式5．（23-24高二上·廣東江門·期末）寫出一個與雙曲線x2-y22=1有相同漸近線，且焦點在y軸上的雙曲線方程為 .
【答案】y22-x2=1（答案不唯一）
【分析】設所求雙曲線的方程為x2-y22=λλ≠0，再根據焦點在y軸上，可得λ0的左、右焦點分別為F1,F2，過F1作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點，設P為線段AB的中點，若OP=PF2=24F1F2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．423C．233D．253
【答案】C
【分析】因為P為線段AB的中點，所以這是一個中點弦問題，采用點差法運算即可.
【詳解】如圖: F1(-c,0),F2(c,0)，
由|OP|=PF2=24F1F2=22c,OF2=c,
可得點 P 的坐標為 c2,c2，
則直線 OP 斜率為 kOP=1， 直線 AB 斜率為 kAB=kPF1=c2c2+c=13，
另一方面， 設 Ax1,y1,Bx2,y2, 則x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1
兩式相減得 x12-x22a2=y12-y22b2， 整理得 b2a2=y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2,
即 kAB·kOP=b2a2， 故b2a2=13?e=ca=1+b2a2=233.

故選：C
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,F2，焦距為2c(c>0).若雙曲線C右支上存在點P，使得PF2=4a，且S△PF1F2=12a2，則雙曲線C的離心率e=（ ）.
A．5B．53C．6+1D．13
【答案】D
【分析】根據雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到△PF1F2為直角三角形，進而由勾股定理可以求解.
【詳解】由雙曲線的定義可知得 |PF1|-|PF2|=2a
因為|PF2|=4a，∴|PF1|=6a，
設∠F1PF2=θ，則S△PF1F2=12×|PF1|×|PF2|×sinθ=12×6a×4a×sinθ=12a2sinθ=12a2，
∴sinθ=1,θ∈(0,π)，
∴θ=π2，
∴△PF1F2為直角三角形
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴36a2+16a2=4c2，即52a2=4c2，
∴e2=c2a2=524=13，
∴e=13
故選：D
變式5．（24-25高三上·山東濟南·開學考試）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一條漸近線的方程為x+2y=0，則C的離心率的值為 .
【答案】52
【分析】由已知可得ba=12，進而可求雙曲線的離心率.
【詳解】因為雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一條漸近線的方程為x+2y=0，
所以ba=12，所以雙曲線的離心率為e=1+(ba)2=52.
故答案為：52.
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2且在x軸上，且雙曲線上存在一點P使得|PO|2=PF1?PF2，若PF2⊥x軸，則該雙曲線的離心率為 ．
【答案】2
【分析】根據給定條件，求出|PF2|，再利用雙曲線定義，結合已知求解即得.
【詳解】設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F2(c,0)，由PF2⊥x軸，得直線PF2:x=c，
于是c2a2-y2b2=1，解得|PF2|=|y|=b2a，|PF1|=b2a+2a，|PO|2=(b2a)2+c2，
而|PO|2=PF1?PF2，因此(b2a)2+c2=(b2a+2a)?b2a，整理得c2=2b2，
而c2=a2+b2，則a2=b2，
所以該雙曲線離心率e=ca=1+b2a2=2.
故答案為：2

變式7．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0右焦點F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點.若MF=3FN,OM=3OP,OP?PF=0，則雙曲線的離心率為 .

【答案】62
【分析】先設坐標再應用坐標的線性運算，最后結合數量積公式計算得出齊次式求出離心率.
【詳解】設Mx1,bax1，Nx2,-bax2，
因為Fc,0，所以MF=c-x1,-bax1，FN=x2-c,-bax2.
又MF=3FN，所以c-x1=3x2-3c-bax1=-3bax2，則x1=2c，x2=2c3.
因為OP?PF=0，所以OP=a.
又OM=3OP，所以OM=3a，所以4c2+4b2c2a2=9a2，
則c4a4=94，則e=62.
故答案為:62.
變式8．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】2或233
【分析】本題根據漸近線的夾角求出漸近線的斜率，再根據漸近線的斜率與雙曲線方程中參數以及離心率的關系即可求得結果.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關于x、y軸對稱，
若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
則ba=33，或ba=3，
此時e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+332=233，
或e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+32=2，
若雙曲線的焦點在y軸上，同理可得離心率為2或233.
綜上，離心率為2或233.
故答案為：2或233.
【方法技巧與總結】
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合c2=a2+b2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的漸近線與圓x-22+y2=3沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．233,+∞B．2,+∞C．1,2D．1,233
【答案】B
【分析】先根據雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關系，進而利用c2=a2+b2求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可求．
【詳解】∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，且與圓x-22+y2=3沒有公共點，
圓心到漸近線的距離大于半徑，即2ba2+b2>3，∴b2>3a2，∴b2=c2-a2>3a2，∴e=ca>2．
故選：B．
變式1．（23-24高二上·浙江·期中）設橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a2-y2b2=1的離心率分別為e1，e2，且雙曲線C2的漸近線的斜率小于155，則e2e1的取值范圍是（ ）
A．1,4B．4,+∞C．1,2D．2,+∞
【答案】C
【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于155，即可得出00的左右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線右支上，且滿足F1F2=2OP，tan∠PF2F1≥4，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．1,179B．179,+∞
C．173,+∞D．1,173
【答案】D
【分析】由F1F2=2OP，得F1P⊥F2P，然后利用雙曲線的定義和勾股定理可求得PF1,PF2（用a,c表示），再由tan∠PF2F1≥4得出a,c的不等關系．
【詳解】∵F1F2=2OP，∴F1P⊥F2P，
記PF1=x，PF2=y，則x2+y2=(2c)2=4c2，
又x-y=2a①，
∴2xy=4c2-4a2，∴(x+y)2=4c2+4c2-4a2=8c2-4a2，x+y=22c2-a2②，
由①②得x=2c2-a2+ay=2c2-a2-a，又tan∠PF2F1=xy≥4，
∴2c2-a2+a≥4(2c2-a2-a)，解得c2a2≤179，
即10,b>0的兩個焦點，P為雙曲線上一點，且PF1?PF2=-12c2.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．1,2B．1,2C．2,+∞D．2,+∞
【答案】C
【分析】由題意，可得夾角的取值范圍，整理相關等式，進而可得離心率的函數表達式，利用不等式定義，可得答案.
【詳解】設PF1=m，PF2=n，∠F1PF2=θ，由PF1?PF2=-12c2，則mncsθ=-12c20,b>0的漸近線為ax±by=0，
∵圓與雙曲線的漸近線有公共點，
∴圓心C(2,0)到漸近線的距離d=2aa2+b2≤1，
∴3a2≤b2，∴c2=a2+b2≥4a2，即c2a2≥4，
∴e=ca≥2．
故答案為：2,+∞．
變式6．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦點分別為F1、F2，焦距為2c．若以線段F1F2為直徑的圓與直線ax-by+2ac=0有交點，則雙曲線C的離心率取值范圍為
【答案】2,+∞
【分析】首先求圓的方程，利用圓心到直線的距離d≤r，推得a與c的關系，再結合離心率公式，即可求解
【詳解】以線段F1F2為直徑的圓的方程是x2+y2=c2，與直線ax-by+2ac=0有交點，
則圓心到直線的距離d=2aca2+-b2=2a≤c，
所以雙曲線的離心率e=ca≥2．
故答案為：2,+∞．
變式7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，若PF22PF1最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是 .
【答案】1,3
【分析】由雙曲線定義PF22PF1=PF1+2a2PF1，變形后由基本不等式得最小值，從而得PF1=2a，再利用雙曲線中的范圍有PF1≥c-a，由此結合可得離心率的范圍．
【詳解】F1,F2是左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，
所以PF2-PF1=2a，代入PF22PF1，
得PF22PF1=PF1+2a2PF1=PF1+4a+4a2PF1≥2PF1×4a2PF1+4a=8a，
當且僅當PF1=2a時取等號，即PF1=2a，
又點P是雙曲線左支上任意一點，所以PF1≥c-a，
即：2a≥c-a?e≤3,10，b>0)的左右焦點，過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，記△AF1F2的內切圓的半徑為r1，△BF1F2的內切圓的半徑為r2，r1r2≤16a2，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【答案】(1,5]
【分析】設圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點M、N、G，推導出△O1GF2∽△O1F2O2，可得出r1r2=c-a2，可得出關于c、a的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍.
【詳解】設△AF1F2、△BF1F2的內切圓圓心分別為O1、O2，
設圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點M、N、G，

過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，
由切線長定理可得AM=AN，F1M=F1G，F2G=F2N，
所以，AF2+F1F2-AF1=AN+F2N+F1G+F2G-AM+F1M
=F2N+F2G=2F2G=2c-2a，
則F2G=c-a，所以點G的橫坐標為c-c-a=a.
故點O1的橫坐標也為a，同理可知點O2的橫坐標為a，故O1O2⊥x軸，
故圓O1和圓O2均與x軸相切于Ga,0，圓O1和圓O2兩圓外切.
在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12∠AF2F1+∠BF2F1=90°，
即O1O2⊥F2G，
∴∠GO1F2=∠F2O1O2，∠O1GF2=∠O1F2O2=90°，所以，△O1GF2∽△O1F2O2，
所以，O1GO1F2=O1F2O1O2，則O1F22=O1G?O1O2，
所以F2G2=O1F22-O1G2=O1G?O1O2-O1G2=O1G?O2G，
即c-a2=r1?r2，
由題意可得：c-a2≤16a2，可得c-a≤4a，即a0-2k1-k2>0-21-k2>0，解得10)的離心率為5，右焦點為F，點E的坐標為(ba,cb)，則直線OE（O為坐標原點）與雙曲線的交點個數為（ ）
A．0個B．1個C．2個D．不確定
【答案】C
【分析】根據給定條件，求出b,c，進而求出直線OE的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.
【詳解】由雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率為5，得a2+b2a=5，則ba=2，cb=52，
因此點E的坐標為(2,52)，雙曲線C的漸近線斜率為±2，而直線OE的斜率kOE=54∈(-2,2)，
所以直線OE與雙曲線的交點個數為2個．
故選：C
變式2．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線C:x29-y216=1，過點P3,3作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足條件的直線l共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【分析】結合雙曲線的性質與點P位置，畫出對應圖形即可得.
【詳解】易知雙曲線的焦點F1-5,0,F25,0，頂點A3,0，漸近線為y=±43x，
由P3,3可得該點在雙曲線右頂點上方，
易得過P點與雙曲線有且只有一個公共點的直線中，
有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線（圖1），
有兩條雙曲線右支的切線（圖2），共4條.
故選：D.
變式3．（23-24高二上·上?！て谀┰O雙曲線C經過點2,2，且與y24-x2=1具有相同的漸近線，則經過點3,0且與雙曲線C有且只有一個公共點的直線有（ ）條.
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先求出雙曲線C的方程，再分兩類討論直線即可.
【詳解】由題可設雙曲線C的方程為y24-x2=λ（λ≠0），
將點(2,2)代入上式得：λ=-3，
故雙曲線C的方程為x23-y212=1，顯然其右頂點的坐標為3,0，漸近線方程為y=±2x，
當直線斜率不存在時，此時直線方程為x=3，符合題意，
當直線與雙曲線的漸近線平行時，即直線方程為y=±2x-3時，此時也符合題意，
綜上，這樣的直線共有3條.
故選：D.
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點4,33作直線，使它與雙曲線x24-y29=1只有一個公共點，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【分析】根據點在雙曲線上，與漸近線平行以及該點處的切線均只與雙曲線有一個公共點即可求解.
【詳解】當x=4時，164-y29=1，所以y=±33，故點4,33在雙曲線上，
因此過點4,33且與雙曲線的兩條漸近線平行的直線，只與雙曲線有一個交點，
設y=kx-4+33（k≠±32,且k≠0）
將其代入雙曲線方程可得x24-kx-4+3329=1，化簡得14-k29x2+8k2-63k9x-16k2-243k+369=0，
令Δ=8k2-63k92+414-k2916k2-243k+369=0，化簡得k-32=0，
解得k=3，
故過點4,33處的切線也只與雙曲線有唯一的交點，
或者由x24-y29=1得y=±32x2-4，
當y>0時，y=32x2-4，故y'=32×122x1x2-4，故4,33處的切線斜率為y'x=4=32×12×2×4×123=3，
故過點經過點4,33的直線方程為y=3x-4+33，即y=3x-1，
聯立x24-y29=1與y=3x-1可得x24-3x-129=1，解得x=4，
因此在點4,33處的切線也只與雙曲線有唯一的交點，
綜上可知：過點4,33的直線有3條與雙曲線有一個交點，
故選：C
變式5．（24-25高二上·山東濱州·階段練習）已知雙曲線x2-y23=1，與直線y=kx-k+2只有一個公共點，符合題意的直線個數為 ．
【答案】3
【分析】聯立方程解之可判斷只有一個公共點時的直線條數.
【詳解】解：聯立x2-y23=1y=kx-k+2，
消去y得(3-k2)x2+(2k2-4k)x-k2+4k-7=0，
當3-k2=0，即k=±3時，
直線y=3x-3+2和直線y=-3x+3+2分別與雙曲線的漸近線平行，
故只有一個交點；
當3-k2≠0時，由Δ=(2k2-4k)2-4(3-k2)(-k2+4k-7)=0，
可得k=74，此時直線y=74x+14與雙曲線相切，故只有一個公共點.
故答案為：3
變式6．（2024高三·全國·專題練習）過點P7,5且與雙曲線x27-y225=1有且只有一個公共點的直線有 條，它們的方程分別是 ．
【答案】 2 x=7和y=-577x+10
【分析】若直線的斜率不存在，可得直線方程為x=7滿足條件；若直線的斜率存在，設直線的方程為y-5=kx-7，代入到雙曲線方程，分二次項系數為0和判別式等于0討論，即可得到答案．
【詳解】解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=7，此時僅有一個交點7,0，滿足條件；
若直線的斜率存在，設直線的方程為y-5=kx-7，
聯立方程組y=kx+5-7kx27-y225=1，
整理得到25-7k2x2-7×2kx5-7k-75-7k2-7×25=0，
當k=577時，方程無解，不滿足條件；
當k=-577時，方程2×57x×10=875有一解，滿足條件；
當k≠±577時，令Δ=14k5-7k2-425-7k2?-75-7k2-175=0，
解得k=577，此時恰好為漸近線的斜率，不滿足條件，
所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為x=7和y=-577x+10．
故答案為：2；x=7和y=-577x+10.
變式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，點P1,32在E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l與C相交于A,B兩點，AB中點W在曲線x2+4y232=x2-4y23上，探究直線AB與雙曲線C1:x2-4y23=1的位置關系．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)相切
【分析】（1）根據題意列式可求a,b，進而可得橢圓方程；
（2）設l:y=kx+m，Wx0,y0與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，結合題意可得4m2=4k2-3，再聯立直線l與雙曲線方程分析判斷位置關系，注意討論直線l的斜率是否存在.
【詳解】（1）由于橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，故ca=32，
又a2=b2+c2，得3a2=4b2，設所求橢圓方程為3x24b2+y2b2=1，
把點P1,32代入，得b2=3,a2=4，
橢圓方程為x24+y23=1．
（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，若直線l斜率存在，設l:y=kx+m，
因為y=kx+m,x24+y23=1,得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0，
所以x1+x2=-8km3+4k2，
所以x1+x22=-4km3+4k2，y1+y22=kx1+x2+2m2=3m3+4k2，
設Wx0,y0，所以x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，所以x02=16k2m23+4k22，y02=9m23+4k22，
所以x02+4y023=m212+16k23+4k22=4m23+4k2，
同理x02-4y023=m216k2-123+4k22=4m24k2-33+4k22，
因為W在曲線x2+4y232=x2-4y23上，
所以4m23+4k22=4m24k2-33+4k22，解得4m2=4k2-3，
又因為y=kx+m,x2-4y23=1,得3-4k2x2-8kmx-4m2-3=0，
所以Δ=123+4m2-4k2=0，直線AB與C1相切，
若直線l斜率不存在，由對稱性知W在x軸上，W在曲線x2+4y232=x2-4y23，
所以W±1,0，此時也有直線AB與C1相切，
綜上知直線AB與C1相切．
變式8.（2024高三·全國·專題練習）（1）求雙曲線x2-y22=1在點2,2處的切線方程；
（2）已知P1,1是雙曲線外一點，過P引雙曲線x2-y22=1的兩條切線PA,PB，A，B為切點，求直線AB的方程．
【答案】（1）2x-y-2=0；（2）2x-y-2=0.
【分析】
（1）由雙曲線上一點的切線方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，分別表示出直線PA,PB的方程，再將點P的坐標代入計算，即可得到結果.
【詳解】
（1）由雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一點Px0,y0處的切線方程為xx0a2-yy0b2=1，
所以雙曲線x2-y22=1在點2,2處的切線方程為2x-22y=1，
化簡可得2x-y-2=0.
（2）設切點Ax1,y1,Bx2,y2，則PA:xx1-yy12=1，PB:xx2-yy22=1，
又點P1,1在直線上，代入可得x1-y12=1，x2-y22=1，
所以點Ax1,y1,Bx2,y2均在直線x-y2=1上，
所以直線AB的方程為x-y2=1，即2x-y-2=0.
【方法技巧與總結】
將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,a>0,b>0聯立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點
【題型6：雙曲線弦長問題】
例6．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知雙曲線C：2x2-y2=2，過點P1,2的直線l與雙曲線C交于M、N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長MN= .
【答案】42
【分析】設直線MN為y-2=k(x-1)，聯立雙曲線方程，應用韋達定理及中點坐標公式求k值，利用弦長公式求解即可.
【詳解】由題設，直線l的斜率必存在，設過P(1,2)的直線MN為y-2=k(x-1)，
聯立y-2=k(x-1)2x2-y2=2，得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k4-4k+6)=0，
設M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1+x2=-2k(k-2)2-k2=2xP，
所以-2k(k-2)2-k2=2，解得k=1，經檢驗符合題意；
則x1+x2=2，x1x2=-3.
弦長MN=1+k2?(x1+x2)2-4x1x2=2?4+12=42.
故答案為：42.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知離心率為5的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為右支上的一點，若PF2=2a，則S△PF1F2=（ ）
A．8a2B．4a2C．42a2D．43a2
【答案】B
【分析】由離心率得F1F2=2c=25a，利用雙曲線定義可得PF1=4a，由勾股定理逆定理可知△PF1F2為直角三角形進而得面積.
【詳解】由題意可知e=ca=5，所以F1F2=2c=25a，
由雙曲線定義可得PF1-PF2=2a，則PF1=4a，
則PF12+PF22=F1F22，
所以△PF1F2為直角三角形，
所以S△PF1F2=12PF1?PF2=4a2．
故選：B.
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線x24-y25=1的右焦點為F，過F作PF垂直于一條漸近線，垂足為P，若點P,Q關于原點對稱，則S△PQF= ．
【答案】25
【分析】由雙曲線方程得出F3,0,a=2,b=5,c=3，漸近線方程，由點到直線的距離公式求得PF，再計算S△PQF即可．
【詳解】由題可得F3,0,a=2,b=5,c=3，漸近線方程為y=±52x，
不妨取y=52x，即5x-2y=0，
所以PF=355+4=5=b,PQ=2PO=2a=4，
所以S△PQF=12×4×5=25，
故答案為：25．
變式3.（23-24高二上·湖北孝感·階段練習）已知雙曲線M與雙曲線N：x26-y23=1有共同的漸近線．
(1)若M經過拋物線y=-x2+8x-14的頂點，求雙曲線M的方程；
(2)若雙曲線M的兩個焦點分別為F1，F2，點P為M上的一點，且PF1=PF2+10，求雙曲線M的方程．
【答案】(1)x28-y24=1
(2)x225-y2252=1或y225-x250=1
【分析】（1）首先利用共漸近線方程，設出曲線M，再代入頂點坐標，即可求解；
（2）根據雙曲線的定義求2a，再分焦點的位置，根據雙曲線的性質，即可求解.
【詳解】（1）依題意可設M的方程為x26-y23=λλ≠0．
拋物線y=-x2+8x-14=-x-42+2，頂點為4,2，
將4,2代入M的方程，得λ=43，則M的方程為x28-y24=1．
（2）由題意易知PF1-PF2=10=2a，a=5．
當焦點在x軸上時，λ>0，可設雙曲線M的方程為x26λ-y23λ=1，則6λ=25，3λ=252，
則雙曲線M的方程為x225-y2252=1．
當焦點在y軸上時，λ0，即直線y=x-3與雙曲線C相交，滿足條件.
所以直線AB的方程為y=x-3.
（2）由（1）知，直線AB的方程為y=x-3，
聯立方程組y=x-3x24-y2=1，整理得3x2-24x+40=0，
則Δ>0，且x1+x2=8,x1x2=403，
所以A,B兩點間的距離為：AB=1+12x2-x1=2x1+x22-4x1x2=2?64-4×403=833.
變式6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點，其漸近線方程為y=±22x.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點，且AB=42，求實數m的值.
【答案】(1)x22-y2=1
(2)m=±3.
【分析】（1）由雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點，其漸近線方程為y=±22x，得c=3，ba=22，由此能求出雙曲線方程；
（2）聯立方程組x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，利用韋達定理、弦長公式、根的判別式能求出結果.
【詳解】（1）雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點，其漸近線方程為y=±22x，
設雙曲線的方程x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知得c=3，ba=22，所以a=2，b=1.
所以雙曲線方程為x22-y2=1.
（2）直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點，且AB=42，
聯立方程組x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，
當Δ>0時，設Ax1,y1,Bx2,y2，
x1+x1=-4m，x1?x1=2m2+2.
所以AB=2x1-x2=2x1+x22-4x1x2=2×(-4m)2-42m2+2
令2×(-4m)2-42m2+2=42，解得m=±3.
經檢驗Δ>0符合題意，所以m=±3.
變式7．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x，O為坐標原點，點P(3,2)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l與雙曲線C交于M,N兩點，且OM?ON=0，求|MN|的最小值．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)22
【分析】（1）依題意可得ba=23a2-4b2=1，解得a2、b2，即可得解；
（2）解法一：設Mx1,y1, Nx2,y2，直線l的方程為x=ty+mt≠±22，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，由OM?ON=0整理得到m2=2t2+1，即可表示出MN2，從而求出其最小值；
解法二：設OM:y=kx，ON:y=-1kx，聯立直線與雙曲線方程，即可求出xM2、yM2，即可得到OM2，同理得到ON2，從而得到1|OM|2+1|ON|2=12，再由基本不等式計算可得.
【詳解】（1）由雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x，且雙曲線過P(3,2)，
所以ba=23a2-4b2=1，解得a2=1b2=2，
故雙曲線C的方程為x2-y22=1.
（2）解法一：設Mx1,y1, Nx2,y2，直線l的方程為x=ty+mt≠±22，
聯立x=ty+mx2-y22=1，得2t2-1y2+4tmy+2m2-1=0，
則y1+y2=-4tm2t2-1y1y2=2m2-12t2-1，且Δ=m2+2t2-1>0，
由OM?ON=0，即x1x2+y1y2=0，即ty1+mty2+m+y1y2=0，
即t2+1y1y2+tmy1+y2+m2=0，
即t2+12m2-12t2-1-4t2m22t2-1+m2=0，整理得m2=2t2+1，
所以MN2=x1-x22+y1-y22
=ty1-ty22+y1-y22
=t2+1y1-y22
=t2+1y1+y22-4y1y2
=t2+1-4tm2t2-12-8m2-12t2-1
=81+t2m2+2t2-12t2-12
=81+9t22t2-12≥8，當且僅當t=0時，等號成立，
故MN的最小值為22.
方法二：由題意知直線OM,ON的斜率存在且不等于0，
設OM:y=kx，ON:y=-1kx，
由-20,b>0)的左焦點F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A,B兩點，滿足F1B=3F1A，設M為AB的中點，則直線OM（O為坐標原點）斜率的最小值是（ ）
A．26B．3C．43D．5
【答案】C
【分析】根據條件畫出圖形結合圓錐曲線的定義及條件可得tanθ=e2-42，然后利用點差法可得kABkOM=b2a2，進而可得kOM=2e2-1e2-4，然后利用基本不等式即得.
【詳解】首先證明：雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的任意點Px0,y0到左焦點F1-c,0與左準線x=-a2c的距離之比為常數e（離心率）.
依題意x02a2-y02b2=1，則點Px0,y0到直線x=-a2c的距離d=a2c+x0，
所以PF1=x0+c2+y02，則PF1d=x0+c2+y02a2c+x0 =x02+2cx0+c2+b2x02a2-1a2c+x0=a+cax0aca+cax0=ca=e.
由題可知A在左支上B在右支上，如圖，設∠AF1O=θ，A,B在左準線上的射影為A1,B1，因為F1B=3F1A，
則csθ=BB1+AA1AB=BF1+AF1eBF1-AF1=2e且e>2，所以tanθ=e2-42，
設Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，y1-y2x1-x2?y1+y2x1+x2=y1-y2x1-x2?y0x0=b2a2，即kABkOM=b2a2，
所以kABkOM=kOMtanθ=kOM?e2-42=b2a2=e2-1，
所以kOM=2e2-1e2-4=2e2-4+3e2-4≥43，當且僅當e2-4=3e2-4即e=7時，等號成立，
故選：C.
變式1．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知直線l:y=x+2與雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于A、B兩點，點M1,3是弦AB的中點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．2C．3D．3
【答案】A
【分析】利用點差法可求a,b的關系，從而可求雙曲線的離心率.
【詳解】設Ax1,y1,Bx2,y2，則x12a2-y12b2=1，且x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，整理得到：x1-x2x1+x2a2=y1-y2y1+y2b2，
因為M1,3是弦AB的中點，
所以x1+x2=2,y1+y2=6,y1-y2x1-x2=1，所以2a2=6b2即b2a2=3
所以e=1+b2a2=2，
故選：A.
變式2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知直線l過雙曲線C：x2-y24=1的左焦點F，且與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，設O為坐標原點，P為AB的中點，若△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線l的斜率為（ ）
A．±102B．±132C．±133D．±63
【答案】D
【分析】利用點差法求得直線AB,OP斜率的關系式，然后利用二倍角公式列方程來求得正確答案.
【詳解】設Ax1,y1,Bx2,y2，x12-y124=1x22-y224=1，
兩式相減并化簡得y1+y2x1+x2?y1-y2x1-x2=4，即kOP?kAB=4,kOP=4kAB，
當kAB>0時，設直線AB的傾斜角為α，
△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，所以∠POx=2α，
所以kOP=tan2α=2tanα1-tan2α，
則4kAB=2kAB1-kAB2,kAB2=23,kAB=63.
根據對稱性可知，當kAB0,b>0上的三點，直線AB,AC,BC的斜率分別是k1,k2,k3，點D,E,F分別是線段AB,AC,BC的中點，O為坐標原點，直線OD,OE,OF的斜率分別是k1',k2',k3'，若1k1'+1k2'+1k3'=5，則k1+k2+k3= ．
【答案】15
【分析】由點差法得到k1k1'=b2a2=3，同理得到k2k2'=3,k3k3'=3，從而得到k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15.
【詳解】因為雙曲線Γ的離心率為2，所以ba=3，
不妨設Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0，
因為點A,B在Γ上，所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，兩式相減，
得x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2，
因為點D是AB的中點，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0，
所以y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2，即y0y1-y2x0x1-x2=b2a2，
所以k1k1'=y1-y2x1-x2?y0-0x0-0=b2a2=3，同理k2k2'=3,k3k3'=3，
因為1k1'+1k2'+1k3'=5，所以k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15．
故答案為：15
變式6.（2024高三下·全國·專題練習）已知雙曲線Γ：x24-y2=1的左右頂點分別為A1、A2．
(1)求以A1、A2為焦點，離心率為12的橢圓的標準方程；
(2)直線l過點C1,1與雙曲線Γ交于A,B兩點，若點C恰為弦AB的中點，求出直線l的方程；
【答案】(1)x216+y212=1.
(2)x-4y+3=0.
【分析】（1）根據題意可求得橢圓焦點A1-2,0，A22,0，再結合離心率為12，求出a2,b2得解；
（2）利用點差法求出直線l的斜率進而求出直線方程；
【詳解】（1）由題意可得，A1-2,0，A22,0，則c=2，
又e=ca=12，∴a=4,b2=a2-c2=12，
所以橢圓的標準方程為x216+y212=1.
（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，點C恰為弦AB的中點，則x1+x2=2，y1+y2=2，
又因為A,B兩點在雙曲線上，
可得x124-y12=1x224-y22=1，兩式相減得x12-x224-(y12-y22)=0，
化簡整理得x1+x24(y1+y2)=y1-y2x1-x2=14，即kAB=14，
所以直線l的方程為y-1=14(x-1)，即x-4y+3=0，
經檢驗，滿足題意.
變式7.（23-24高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±2x，實軸長為2.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點，線段AB的中點為M3,2，求直線l的斜率.
【答案】(1)x2-y24=1
(2)6
【分析】（1）利用漸近線方程、實軸長求出a,b可得答案；
（2）設直線l的方程為y-2=kx-3，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理可得答案.
【詳解】（1）因為雙曲線C的漸近線方程是y=±2x，實軸長為2，
所以a=1,ba=2，b=2，
所以雙曲線C的方程為x2-y24=1；
（2）雙曲線的漸近線方程為y=±2x，由雙曲線關于坐標軸的對稱性可知，
若線段AB的中點為M3,2，則直線l的斜率存在，
設為k，且k≠±2，k≠0，
可得直線l的方程為y-2=kx-3，
與雙曲線方程聯立y-2=kx-3x2-y24=1，
可得4-k2x2+6k2-4kx-9k2+12k-8=0，
設Ax1,y1,Bx2,y2，
則x1+x2=-6k2-4k4-k2=6，
解得k=6，經檢驗符合題意.
變式8.（2024高二·全國·專題練習）過點P4,1的直線l與雙曲線x24-y2=1相交于A，B兩點，且P為線段AB的中點，求直線l的方程．
【答案】x-y-3=0
【分析】由“點差法”求出直線的斜率，再由點斜式方程求解即可.
【詳解】解：設Ax1,y1，Bx2,y2，則x124-y12=1，x224-y22=1，
兩式相減得14x1+x2x1-x2-y1+y2?y1-y2=0．
∵P為線段AB的中點，∴x1+x2=8，y1+y2=2．
∴y1-y2x1-x2=1，即所求直線l的斜率為1，
∴直線l的方程為y-1=x-4，即x-y-3=0．經檢驗符合題意．
【方法技巧與總結】
雙曲線中點弦的斜率公式：
設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
【題型8：解答題】
例8．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）已知雙曲線一條漸近線方程為5x-2y=0，且點-22,5在雙曲線上.
(1)求雙曲線標準方程，
(2)若雙曲線的左頂點為A1，右焦點為F2,P為雙曲線右支上任意一點，求PA1?PF2的最小值.
【答案】(1)x24-y25=1;
(2)-4.
【分析】（1）利用漸近線方程巧設雙曲線方程，再由待定系數法即可求解；
（2）利用向量數量積的坐標運算，再結合二次函數性質，即可得出結果.
【詳解】（1）由雙曲線一條漸近線方程為5x-2y=0，可以該雙曲線方程為5x2-4y2=λ,λ≠0，
由點-22,5在雙曲線上，可得5×8-4×5=λ，即λ=20，
所以雙曲線標準方程為x24-y25=1.
（2）由雙曲線標準方程為x24-y25=1可知：左頂點A1的坐標為-2,0，右焦點為F2的坐標3,0，
可設雙曲線右支上任意一點Pm,n，且m≥2，則PA1=-2-m,-n,PF2=3-m,-n，
所以PA1?PF2=-2-m,-n?3-m,-n=m2-m-6+n2，
又因為Pm,n滿足雙曲線方程，則m24-n25=1，
所以PA1?PF2=m2-m-6+n2=m2-m-6+5m24-5=9m24-m-11，
由于二次函數y=9m24-m-11的對稱軸是m=29，
所以當m≥2，y=9m24-m-11單調遞增，
即當m=2時，二次函數y=9m24-m-11有最小值-4，
所以PA1?PF2的最小值是-4.
變式1．（22-23高二上·全國·期中）已知雙曲線C1過點(-4,32)且與雙曲線C2:x22-y23=1有共同的漸近線，F1，F2分別是C1的左、右焦點．
(1)求C1的標準方程；
(2)設點P是C1上第一象限內的點，求PF1?PF2的取值范圍．
【答案】(1)x24-y26=1
(2)(-6,+∞)
【分析】（1）由共漸近線方程設法將點代入直接求解；
（2）向量坐標化，由點在雙曲線上化簡整理為二次函數求得范圍.
【詳解】（1）由題意可設C1的方程為x22-y23=λ(λ≠0)，
將(-4,32)代入可得，162-183=λ，解得λ=2，
∴ C1的標準方程為x24-y26=1．
（2）設P(x,y)，則y2=6x24-1，
∵點P在第一象限，∴x>2，且F1(-10,0)，F2(10,0)，
∴ PF1?PF2=(-10-x,-y)?(10-x,-y)=x2-10+y2=52x2-16∈(-6,+∞)，
∴ PF1?PF2的取值范圍是(-6,+∞)．
變式2．（23-24高二上·四川雅安·階段練習）已知曲線C的方程為x-102+y2-x+102+y2=2．
(1)說明C為何種圓雉曲線，并求C的標準方程；
(2)已知直線y=x-4與C交于A，B兩點，與C的一條漸近線交于D點，且D在第四象限，O為坐標原點，求OA?OD+OB?OD．
【答案】(1)C是以10,0，-10,0為焦點，實軸長為2的雙曲線，x2-y29=1
(2)26
【分析】（1）結合雙曲線的定義即可求解；（2）應用韋達定理結合數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】（1）因為x-102+y2-x+102+y2=20，b>0），則c=10，a=1，b=3，
所以C的方程為x2-y29=1．
（2）由（1）可得C的漸近線方程為y=±3x，
由y=-3x,y=x-4,得x=1,y=-3,即D1,-3．
設Ax1,y1，Bx2,y2，由y=x-4,x2-y29=1得8x2+8x-25=0，
由韋達定理得x1+x2=-1,x1x2=-258,
則OA?OD+OB?OD=x1+x2-3y1+y2=x1+x2-3x1-4+x2-4=26
變式3．（22-23高二下·四川內江·階段練習）已知命題p：方程x22m+y29-m=1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線y25-x2m=1的離心率e∈52,2．
(1)若命題q為真，求實數m的取值范圍；
(2)若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)0,3；
(2)0,54∪3,5.
【分析】（1）根據橢圓方程的結構特征列不等式組求解可得；
（2）分別記p，q為真時m的取值范圍為集合A,B，然后由p和q一真一假，利用集合運算求解即可.
【詳解】（1）若方程x22m+y29-m=1表示焦點在y軸上的橢圓，則2m09-m>0，
解得00）經過點2,2，且其離心率為5．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設雙曲線C的左，右焦點分別為F1，F2，C的一條漸近線上有一點P，滿足PF2恰好垂直于這條漸近線，求△PF1F2的面積．
【答案】(1)x2-y24=1
(2)2
【分析】（1）根據所給條件得到關于a、b、c的方程組，解得a2、b2，即可求出雙曲線方程；
（2）首先求出焦點坐標與漸近線方程，利用距離公式求出PF2，由勾股定理求出OP，即可求出S△OPF2，從而得解.
【詳解】（1）依題意可得2a2-4b2=1e=ca=5c2=a2+b2，解得a2=1b2=4c2=5，
所以雙曲線方程為x2-y24=1.
（2）由（1）可知左，右焦點分別為F1-5,0，F25,0，
雙曲線的漸近線為y=±2x，
不妨取其中一條漸近線為y=2x，
則F2到直線y=2x的距離d=PF2=2522+-12=2，
所以OP=OF22-PF22=52-22=1，
所以S△OPF2=12×1×2=1，
又S△OPF2=S△OPF1，所以S△PF1F2=2S△OPF2=2.
變式6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1過點M3,4，左、右頂點分別為A，B，直線MA與直線MB的斜率之和為3．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線右焦點F2的直線l交雙曲線右支于P，Q（P在第一象限）兩點，PF2=3F2Q，E是雙曲線上一點，△PQE的重心在x軸上，求點E的坐標．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)E-3459,-4339或E3459,-4339
【分析】（1）首先表示出左右頂點，由斜率公式求出a2，將點的坐標代入方程求出b2，即可得解；
（2）設Px1,y1，Qx2,y2，直線l的方程為x=ty+3，聯立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，由PF2=3F2Q得到y(tǒng)1=-3y2，即可求出y2，即可求出yE=2y2，從而求出xE，即可得解.
【詳解】（1）依題意左、右頂點分別為A-a,0，Ba,0，
所以kMA+kMB=43+a+43-a=249-a2=3，解得a2=1，
將M3,4代入x2-y2b2=1得9-16b2=1，解得b2=2，
故雙曲線方程為x2-y22=1；
（2）設Px1,y1，Qx2,y2，直線l的方程為x=ty+3，
將x=ty+3代入2x2-y2=2整理得(2t2-1)y2+43ty+4=0，Δ=16t2+1>0，
∴y1+y2=-43t2t2-1，y1y2=42t2-1，又由PF2=3F2Q?y1=-3y2，
代入上式得-2y2=-43t2t2-1-3y22=42t2-1，解得t2=111，-3y22=42t2-1=-449?y2=-4427，
因為△PQE的重心在x軸上，所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=-4339，代入雙曲線得xE=±3459，
故E-3459,-4339或E3459,-4339．
變式7．（23-24高二下·上?！るA段練習）如圖:雙曲線Γ:x23-y2=1的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作直線l交y軸于點Q.
(1)當直線l平行于Γ的斜率大于0的漸近線l1時，求直線l與l1的距離；
(2)當直線l的斜率為1時，在Γ的右支上是否存在點P，滿足F1P?F1Q=0?若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由;
【答案】(1)1
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）首先得到雙曲線的漸近線方程及直線l的方程，再由兩平行線間解距離公式計算可得；
（2）先根據斜率求出直線l的方程，從而得點Q，再設出點P的坐標，根據F1P?F1Q=0得出點P的橫、縱坐標之間的關系式，與雙曲線聯立消去y，由韋達定理即可解答.
【詳解】（1）雙曲線Γ:x23-y2=1，焦點在x軸上，a=3,b=1,c=3+1=2，
則雙曲線左、右焦點分別為F1-2,0，F22,0，漸近線方程為y=±33x，
當直線l平行于Γ的斜率大于0的漸近線l1時，則直線l的方程為y=33x-2，即x-3y-2=0，
又漸近線l1為x-3y=0，
所以直線l與l1的距離d=-2-012+-32=1.
（2）不存在，理由如下：
當直線l的斜率為1時，直線方程為y=x-2，因此Q0,-2，
又F1-2,0，所以F1Q=2,-2，
設Γ的右支上的點P(x,y)(x>3)，則F1P=(x+2,y)，
由F1P?F1Q=0得2(x+2)-2y=0，
又x23-y2=1，聯立消去y得2x2+12x+15=0，
因為Δ=122-4×2×15>0，但是x1+x2=-6，x1x2=152，所以此方程無正根，
因此，在Γ的右支上不存在點P，滿足F1P?F1Q=0.
變式8．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知圓M：x+52+y2=9的圓心為M，圓N：x-52+y2=1的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．
(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；
(2)已知點P2,0，不經過點P的直線l與曲線C交于A，B兩點，且PA?PB=0．直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)直線l恒過定點，(103，0)
【分析】（1）根據題意利用圓與圓的位置關系結合雙曲線的定義，即可證明結論；
（2）設直線l的方程為x=my+t，聯立雙曲線方程，可得根與系數的關系式，根據數量積的坐標運算求出PA?PB的表達式，化簡PA?PB=0，即可求得t的值，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：由題意知圓M：x+52+y2=9的圓心為M(-5,0)，圓N：x-52+y2=1的圓心為N(5,0)
如圖，設圓E的圓心為E(x,y)，半徑為r，
由題可得圓M半徑為3，圓N半徑為1，則|EM|=r+3，|EN|=r-1，
所以|EM|-|EN|=40,
設A(x1, y1)，B(x2, y2)，其中x1≥2，x2≥2，
由韋達定理得：y1+y2=-2mtm2-4，y1y2=t2-4m2-4，
又點P(2,0)，所以PA?=(x1-2, y1)，PB?=(x2-2, y2)，
因為PA?PB=0，所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
則(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2
=(m2+1)(t2-4)-2mt(mt-2m)+(t-2)2(m2-4)m2-4=0，
即3t2-16t+20=0，解得t=103（t=2舍去），
當t=103，直線l的方程為x=my+103，m≠±12，
故直線l恒過點(103，0)．
一、單選題
1．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）方程x2-23x+1=0的兩個根可分別作為（ ）
A．橢圓和雙曲線的離心率B．兩雙曲線的離心率
C．兩橢圓的離心率D．以上皆錯
【答案】A
【分析】求出方程的根，根據橢圓和雙曲線的離心率取值范圍得到.
【詳解】由方程x2-23x+1=0解得，
x=23±222=3±2，因為橢圓的離心率為(0,1)，雙曲線的離心率為(1,+∞)，
故可以作為雙曲線和橢圓的離心率.
故選：A
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知雙曲線mx2-y2=1的實軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±2xD．y=±22x
【答案】A
【分析】由實軸長可列方程求得參數m的值，進一步即可求得漸近線方程.
【詳解】由題可知雙曲線的實軸長為21m，則21m=1，解得m=4，所以該雙曲線的漸近線方程為y=±2x．
故選：A.
3．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）南非雙曲線大教堂是數學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-x2b2=1a>0,b>0下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
A．y212-x24=1B．3y24-x24=1C．x24-y24=1D．y216-x24=1
【答案】B
【分析】由題意根據點到直線的距離公式、離心率公式和平方關系即可求出a2,b2，由此即可得解.
【詳解】設雙曲線的下焦點為(0,-c)，一條漸近線方程為y=abx，即ax-by=0，
則焦點到漸近線的距離-bca2+b2=2，因為e=ca=2,a2+b2=c2，
聯立解得a2=43,b2=4，
∴雙曲線方程為：3y24-x24=1.
故選：B.
4．（23-24高二下·廣西桂林·期末）雙曲線x2-y23=1的離心率為（ ）
A．12B．2C．2D．22
【答案】B
【分析】根據雙曲線方程求出a,c即可得解.
【詳解】由雙曲線x2-y23=1知，a2=1,b2=3，
所以c2=a2+b2=4，
所以e=ca=21=2.
故選：B
5．（23-24高二下·四川達州·期末）已知雙曲線C:x23-y24=1的左頂點為A1，右焦點為F2，虛軸長為m，離心率為e，則（ ）
A．A1-3,0B．F21,0C．m=2D．e=213
【答案】D
【分析】由雙曲線的方程可求得a=3,b=2,c=7，計算可判斷每個選項的正確性.
【詳解】由雙曲線C:x23-y24=1，可得a2=3,b2=4，所以a=3,b=2,c=3+4=7，
所以雙曲線的左頂點A1(-3,0)，右焦點F2(7,0)，故AB錯誤；
虛軸長m=2b=4，故C錯誤；
離心率e=73=213，故D正確.
故選：D.
6．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線x2m2+1-y2=1的實軸長為4，則正數m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
【答案】A
【分析】依題意可得2m2+1=4，解得即可.
【詳解】由雙曲線實軸長為4，有2m2+1=4，又m>0，
∴m=3.
故選：A.
7．（23-24高二下·全國·隨堂練習）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為54，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±43xD．y=±34x
【答案】D
【分析】運用離心率公式結合漸近線方程可解.
【詳解】由題知，e=ca=1+ba2=54，解得ba=34，
又雙曲線x2a2-y2b2=1的焦點在x軸上，所以漸近線方程為y=±34x.
故選：D
8．（24-25高二上·全國·隨堂練習）中心在原點，焦點在x軸上，且一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是（ ）
A．x2-y2=8B．x2-y2=4
C．y2-x2=8D．y2-x2=4
【答案】A
【分析】由題意可求出直線3x-4y+12=0與x軸的交點，得到雙曲線的焦點，再根據條件雙曲線為等軸雙曲線即可得出結論．
【詳解】解：令y=0 ，得x=-4，
又∵雙曲線焦點在x軸上，
∴等軸雙曲線的一個焦點為-4,0，
即c=4，
∴a2=b2=12c2=8，
故等軸雙曲線的方程為x2-y2=8.
故選：A.
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線C：x2m-y2m+3=1，則“m=3”是“雙曲線C的離心率為3”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據雙曲線離心率為3，可得m=-6或m=3，即可由充分不必要條件求解.
【詳解】C：x2m-y2m+3=1的離心率為3時，當焦點在x軸時，3=2m+3m，解得m=3，
當焦點在y軸時，3=-2m-3-m-3，解得m=-6，
故“m=3”是“雙曲線C的離心率為3”的充分不必要條件，
故選：B
二、多選題
10．（22-23高三上·海南儋州·開學考試）已知橢圓的方程為x225+y29=1，雙曲線的方程為y28-x28=1，則（ ）
A．雙曲線的一條漸近線方程為y=x
B．橢圓和雙曲線共焦點
C．橢圓的離心率e=45
D．橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點
【答案】ACD
【分析】根據橢圓方程求得a1=5,b1=3,c1=4，雙曲線方程求得a2=b2=22,c2=4，且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，結合橢圓和雙曲線的性質逐項分析判斷.
【詳解】對于橢圓的方程為x225+y29=1，可得a1=5,b1=3,c1=a12-b12=4，
對于雙曲線的方程為y28-x28=1，可得a2=22,b2=22,c2=a22+b22=4，
且橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，
對于選項A：因為雙曲線的漸近線方程為y=±a2b2x=±x，
所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x，故A正確；
對于選項B：因為橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，
所以橢圓和雙曲線不共焦點，故B錯誤；
對于選項C：橢圓的離心率e=c1a1=45，故C正確；
對于選項D：因為a20，則C是圓，其半徑為nn
B．若m>0，n=0，則C是兩條直線
C．若n>m>0時，則C是橢圓，其焦點在y軸上
D．若mn0， x2+y2=1n，則C是圓，半徑為nn，故A正確；
對于B，若m>0，n=0時，x=±1m，則C是兩條直線，故B正確；
對于C，若n>m>0時，x21m+y21n=1，則1m>1n>0，則C為焦點在x軸的橢圓，故C錯誤；
對于D，若mn0）的右焦點為F(2,0)，則 W的離心率為 ．
【答案】2
【分析】根據雙曲線焦點在x軸上，得出b2=3,c=2，計算得出a=1,最后得出離心率.
【詳解】由題意可得雙曲線焦點在x軸上，且b2=3,c=2，
則a2=c2-b2=4-3=1，由a>0得a=1，
故W的離心率e=ca=21=2.
故答案為：2.
14．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線W:x23-y2=1的蒙日圓上一點P作W的兩條切線，與該蒙日圓分別交于A,B兩點，若∠PAB=30°，則△PAB的周長為 .
【答案】32+6/6+32
【分析】結合雙曲線方程求出a與b，由蒙日圓定義可得圓的方程，再由切線互相垂直可得AB為直徑，解直角三角形可得.
【詳解】由雙曲線W:x23-y2=1可知，a=3,b=1.
則W的蒙日圓圓心為(0,0)，半徑為2，其蒙日圓方程為x2+y2=2，
由已知可得PA⊥PB，
所以AB為圓的直徑，所以AB=22.
又∠PAB=30°，所以PB=12AB=2,PA=(22)2-(2)2=6.
所以△PAB的周長為32+6.
故答案為：32+6.
15．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2m=1m>0的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數m的取值范圍是 ．
【答案】4,+∞
【分析】根據題意可知雙曲線C的離心率大于等軸雙曲線的離心率，進而列出不等式求解即可.
【詳解】∵等軸雙曲線的離心率為2，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，
∴雙曲線C：x24-y2m=1的離心率e>2，則e2>2，即4+m4>2，
∴m>4．
故答案為：(4,+∞).
四、解答題
16．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線x2-y2=4，直線l:y=k(x-1)，試確定實數k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
【答案】(1)-233

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2.6.2 雙曲線的幾何性質

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