雙曲線的幾何性質(zhì) 【教學(xué)目標(biāo)】1．了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等。2．能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題。【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。難點(diǎn)：雙曲線的漸近線。【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)提問引入新課1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)。二、類比聯(lián)想得出性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn))引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格。三、漸近線雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x，y的變化趨勢看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？根據(jù)對(duì)稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關(guān)系。雙曲線在第一象限的部分可寫成：當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON。在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況。現(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對(duì)調(diào)所得，所以，雙曲線的漸近線方程是，即。定義：直線叫做雙曲線 的漸近線；直線叫做雙曲線 的漸近線。 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確地畫出雙曲線。例如：畫雙曲線，先作漸近線，再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線。四、離心率由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響：變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。這時(shí)，指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變。五、例題講解例1．求雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出。引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是。例2．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例3．求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率。分析：已知雙曲線的漸近線求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：方法一按焦點(diǎn)位置分別設(shè)方程求解；方法二：可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為。例4．求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。 例5．如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程。    分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)的軌跡方程。例6．雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為。試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）。    六、課堂練習(xí)1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程。（1）16x2－9y2=144；（2）16x2－9y2=－144。2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）實(shí)軸的長是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在x軸上；（2）焦距是10，虛軸長是8，焦點(diǎn)在y軸上；曲線的方程。點(diǎn)到兩準(zhǔn)線及右焦點(diǎn)的距離。 

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2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

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