知識點01 曲線的方程與方程的曲線的定義
一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：
1.曲線C上的點的坐標都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上.
則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.
【即學即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，下列命題正確的是（ ）
A．曲線C上的點的坐標都滿足方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點的坐標都不滿足方程Fx,y=0
C．坐標不滿足方程Fx,y=0的點都不在曲線C上
D．曲線C是坐標滿足方程Fx,y=0的點的軌跡
【即學即練2】（24-25高二上·全國·課堂例題）分析下列曲線上的點與相應(yīng)方程的關(guān)系：
(1)與兩坐標軸的距離之積等于5的點與方程xy=5之間的關(guān)系；
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點與方程x+y=0之間的關(guān)系．
知識點02兩曲線的交點
己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點坐標，只要聯(lián)立兩個方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程組的實數(shù)解就可以得到.
【即學即練3】（20-21高二·全國·課后作業(yè)）曲線x2+y2+2x=0與曲線y+x=0的交點個數(shù)是 ．
【即學即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知A-1,0，B1,0，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足|AC|:|BC|=2，則點C的軌跡方程為 .
知識點03 點的軌跡方程
曲線一般都可以看成動點依某種條件運動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程.
【即學即練5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）等腰三角形ABC底邊兩端點分別為A(-3,0),B3,0，頂點C的軌跡是（ ）
A．一條直線B．一條直線去掉一點C．一個點D．兩個點
【即學即練6】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）判斷直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x是否相交，如果相交，求出交點的坐標．
難點：數(shù)形結(jié)合的運用
示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學考試）在平面直角坐標系xOy中，曲線E:x2+y23=8x2y2的圖象是四葉草曲線，設(shè)Px0,y0為E上任意一點，且滿足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，則任取一點P，該點為格點（橫、縱坐標均為整數(shù)）的概率為 ．
【題型1：曲線方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐標滿足方程Fx,y=0的點都在曲線C上，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C上的點的坐標都適合方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點的坐標必不適合方程Fx,y=0
C．凡坐標不適合方程Fx,y=0的點都不在曲線C上
D．不在曲線C上的點的坐標有些適合方程Fx,y=0
變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲線是（ ）
A．一個圓和一條直線B．一個圓和一條射線
C．一個圓D．一條直線
變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（ ）
A．y=x與y2=xB．y=x與xy=1
C．y2-x2=0與y=xD．y=lgx2與y=2lgx
變式3．（2014高三·全國·專題練習）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲線是（ ）
A．—個圓B．兩個圓
C．一個半圓D．兩個半圓
變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習）已知曲線C:x2-y2-xy=1，則（ ）
A．曲線C關(guān)于坐標原點對稱B．曲線C關(guān)于y軸對稱
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線Γ：Fx，y=0對坐標平面上任意一點Px，y，定義FP＝Fx，y．若兩點P，Q滿足FP?FQ＜0，稱點P，Q在曲線Γ兩側(cè)．記到點0，1與到x軸距離和為5的點的軌跡為曲線C，曲線Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲線C上總存在兩點M，N在曲線Γ兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是
變式6．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）方程xx2+y2-1=0表示的曲線是 .
變式7．（24-25高二上·全國·課前預習）判斷下列命題是否正確．
(1)以坐標原點為圓心，r為半徑的圓的方程是y=r2-x2；
(2)過點A2,0平行于y軸的直線l的方程為x=2．
【方法技巧與總結(jié)】
從集合的意義上來理解曲線和方程的概念
如果把直角坐標平面內(nèi)曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A?B且B?A，即A=B.
從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.
【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】
例2．已知曲線C的方程為x2+y2+xy=2022，則曲線C關(guān)于（ ）對稱
A．x軸B．y軸C．原點D．直線y=x
變式1．已知曲線C方程為x2+y2+xy=2023，則曲線C關(guān)于（ ）
A．x軸對稱B．y軸對稱C．原點對稱D．y=x對稱
變式2．關(guān)于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于y=x對稱D．關(guān)于原點中心對稱
變式3．兩個曲線方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我們可以推斷出它們的性質(zhì)，其中錯誤的是（ ）
A．曲線C1關(guān)于y＝x對稱
B．曲線C2關(guān)于原點對稱
C．曲線C2與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積S10)，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．曲線C關(guān)于(a,b)對稱
B．x2+y2的最小值為a2b2a2+b2
C．曲線C的周長為2(a+b)
D．曲線C圍成的圖形面積為2ab
變式7．設(shè)曲線C的方程為：F(x,y)=0，一般有如下規(guī)律：
①如果以-y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對稱；
②如果以-x代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對稱；
③如果同時以-x代替x，以-y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于 對稱．
例：曲線C的方程為：|x||y|=1，則曲線C關(guān)于 對稱.
【方法技巧與總結(jié)】
求曲線方程的步驟
1.建系：建立適當?shù)淖鴺讼?用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標
2.寫集合：寫出適合條件p的點M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化簡:化方程f（x，y）=0為最簡形式
5.證明:說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上
【題型3：曲線交點問題】
例3.作為平面直角坐標系的發(fā)明者，法國數(shù)學家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3 + y3－3axy = 0.某同學對a = 1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯誤的是（ ）
A．曲線不經(jīng)過第三象限B．曲線關(guān)于直線y = x對稱
C．曲線與直線x + y =－1有公共點D．曲線與直線x + y =－1沒有公共點
變式1．曲線y=1-x2和y=-x+2公共點的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
變式2．(多選)作為平面直角坐標系的發(fā)明者，法國數(shù)學家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3+y3-3axy=0.某同學對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進行了探究，得到了下列結(jié)論，其中正確的是( )
A．曲線不經(jīng)過第三象限
B．曲線關(guān)于直線y=x對稱
C．曲線與直線x+y=-1有公共點
D．曲線與直線x+y=-1沒有公共點
變式3．（多選）給定下列四條曲線中，與直線x+y-5=0僅有一個公共點的曲線是（ ）
A．y2=-45xB．x22-y22=1C．x2+y2=52D．x29+y24=1
變式4．曲線x24+ay2=1上存在四個點A, B, C, D滿足四邊形ABCD是正方形，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
變式5．關(guān)于曲線C：1x2+1y2=1，有如下結(jié)論：
①曲線C關(guān)于原點對稱； ②曲線C關(guān)于直線x±y=0對稱；
③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；
④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2=2無公共點；
其中所有正確結(jié)論的序號為 .
變式6．直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x交點的坐標為 ．
變式7．已知曲線C1的方程是x2-y=0，曲線C2的方程是y=x，判斷C1與C2是否有交點，如果有，求出交點坐標；如果沒有，說明理由．
【題型4：軌跡方程問題】
例4．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知M?N兩點坐標分別-2,0,2,0.直線MK?NK相交于點K，且它們的斜率之和是3，則點K的軌跡方程為（ ）
A．3x2-2xy-12=0x≠±2B．3y2-2yx-12=0x≠±2
C．x24+y23=1x≠±2D．x23-y24=1x≠±2
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1:5x-2y+3m3m+1=0和直線l2：2x+6y-3m9m+20=0，則兩直線l1,l2交點的軌跡方程是 ．
變式2．（23-24高二下·全國·隨堂練習）當點P在圓x2+y2=1上運動時，連接點P與定點Q4,0，求線段PQ的中點M的軌跡方程．
變式3．（24-25高二上·全國·課堂例題）動點M在曲線x2+y2=1上移動，點M和定點B3,0連線的中點為P，求點P的軌跡方程.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0．
(1)求直線l與圓相交時，它的斜率k的取值范圍；
(2)當l與圓相交于不同的兩點A,B時，求線段AB的中點M的軌跡方程．
變式5．（24-25高二上·全國·課堂例題）在等腰△ABC中，若一腰的兩個端點分別為A4,2，B-2,0，A為頂點，求另一腰的一個端點C的軌跡方程．
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓方程為x2+y24=1，過點M0,1的直線l交橢圓于點A,B,O為坐標原點，點P為線段AB的中點，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程．
變式7．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）①過點C2,0，②圓G恒被直線mx-y-m=0m∈R平分，③與y軸相切；在以上三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知圓G經(jīng)過點A0,0，B1,1，且_____.
(1)求圓G的一般方程：
(2)設(shè)D6,5，P是圓G上的動點，求線段DP的中點M的軌跡方程，并說明表示何曲線?注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
【方法技巧與總結(jié)】
1.直接法
當動點直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時，在設(shè)出曲線上動點的坐標為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語言運用基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點坐標（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學語言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).
2.定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標準方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.
3.代入法
若所求軌跡上的動點P（x，y）與另一個已知曲線C：F（x，y）=0上的動點Q （x1， y1）存在著某種聯(lián)系，可把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點法）.
4.參數(shù)法
如果所求軌跡的動點P（x，y）的坐標之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)信息可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).
注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍. ②化簡方程前后要注意等價性.
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·隨堂練習）方程x2+xy=x的曲線是（ ）
A．一個點B．一個點和一條直線
C．一條直線D．兩條直線
2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于2的點的軌跡方程為（ ）
A．y=2xx≠0B．y=±2xx≠0C．x=2yx≠0D．x=±2yx≠0
3．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程是Fx,y=0，則曲線C關(guān)于x軸對稱的曲線方程是（ ）
A．F-x,y=0B．Fx,-y=0
C．F-x,-y=0D．Fy,x=0
4．（21-22高二下·河南鄭州·期中）將曲線Fx,y=0上的點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標伸長為原來的3倍，得到的曲線方程為（ ）
A．Fx2,3y=0B．F2x,y3=0
C．Fx2,y3=0D．F2x,3y=0
5．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）若曲線C的方程為x2-xy+y-5=0，則下列各點中，在曲線C上的點是（ ）
A．(-1,2)；B．(1,-2)；C．(2,-3)；D．(3,6)．
6．（2022高三·全國·專題練習）已知點A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若RA=AP，則點P的軌跡方程為( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
7．（21-22高二上·貴州·階段練習）已知點A-4,0，B-1,0，動點M(x,y)滿足|MA|=2|MB|，則動點M軌跡方程為（ ）
A．x2+y2=4B．x24+y2=1C．x2-y23=1D．y2=4x
8．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）平面直角坐標平面內(nèi)到兩坐標軸距離之差等于1的點的軌跡方程是（ ）
A．x-y=1B．x-y=1
C．x-y=1D．x±y=1
二、多選題
9．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習）若曲線E是由方程x-1=1-y2和y-1=1-x2共同構(gòu)成，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．曲線E圍成的圖形面積為π+4
B．若點x0,y0在曲線E上，則x0的取值區(qū)間是-2,2
C．若E與直線y=x+m有公共點，則-4≤m≤4
D．若圓x2+y2=r2(r>0)能覆蓋曲線E，則r的最小值為2
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知定點A0，1，B3，1，動點P滿足PA=2PB，記動點P的軌跡為曲線C，直線l:kx-y+2-3k=0(k∈R)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．曲線C的方程為(x-4)2+(y-1)2=4B．直線l與曲線C的位置關(guān)系無法確定
C．若直線l與曲線C相交，其弦長為4，則k=-2D．BP的最大值為3
11．（22-23高二上·湖南長沙·期末）法國數(shù)學家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標系中，方程x3+y3=3axy所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當a=1時，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（ ）
A．經(jīng)過第三象限B．關(guān)于直線y=x對稱
C．與直線x+y+1=0有公共點D．與直線x+y+1=0沒有公共點
三、填空題
12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）方程1-x=1-y表示的曲線的形狀是 ．
13．（24-25高二·上?！るS堂練習）過點-3,0，且與圓x-32+y2=4外切的動圓圓心P的軌跡方程為 ．
14．（2024·湖南益陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點F1-1,0,F21,0，若P為平面上的一個動點且PF1=2PF2，則點P運動所形成的曲線的方程為 ．
四、解答題
15．（2023高二上·全國·專題練習）已知點P是曲線y=x2+1上任意一點，A2,0，連接PA并延長至Q，使得AQ=2PA，求動點Q的軌跡方程．
16．（23-24高二下·浙江·開學考試）如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中點，且B0,0,D3,0.
(1)求點A的軌跡T的方程；
(2)設(shè)AC所在直線與軌跡T的另一個交點為E，當△ABD面積最大且A在第一象限時，求AE.
17．（23-24高二上·浙江金華·階段練習）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A1,1，動點P滿足PA=2PO.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)直線l：y=kx+1與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點，若△OEF的面積為354，求直線l的方程.
18．（23-24高二下·河北保定·開學考試）已知圓M:x2+(y-2)2=r2(r>0)被x軸分成兩段弧，弧長之比為3:1．
(1)求r；
(2)若動點P到坐標原點O的距離等于5,Q為圓M上一動點，求PQ的取值范圍．
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C經(jīng)過點A1,3和B5,1，且圓心C在直線x-y+1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)設(shè)動直線l與⊙C相切于點M，點N8,0.若點P在直線l上，且PM=PN，求動點P的軌跡方程.
課程標準
學習目標
了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會“曲線的方程與方程的曲線”的概念.
熟悉求曲線方程的步驟以及利用方程研究曲線的性質(zhì).
3.掌握求動點軌跡方程的方法
1.重點:曲線與方程的概念;求動點的軌跡方程
2.難點:分析、判斷曲線與方程的關(guān)系;求動點的軌跡方程

相關(guān)試卷

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.2 直線的方程當堂檢測題：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.2 直線的方程當堂檢測題，共19頁。試卷主要包含了經(jīng)過點P稱為直線的點斜式方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離同步達標檢測題：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離同步達標檢測題，共15頁。

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.4 曲線與方程精練：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.4 曲線與方程精練，共34頁。試卷主要包含了列方程，化簡，證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)課時訓練

高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)課時訓練
高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)練習

高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)練習
高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角習題

高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊1.2.3 直線與平面的夾角習題
高中人教B版 (2019)1.2.4 二面角課后練習題

高中人教B版 (2019)1.2.4 二面角課后練習題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.4 曲線與方程

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部