人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.2.4 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01 兩點(diǎn)間距離公式
定義：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（x2?x1）2+（y2?y1）2
【即學(xué)即練1】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）若A(?3,5),B(2,0)，則|AB|為 .
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足的條件是（）
A．x2?y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2?y2=0
知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式
點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.點(diǎn)到特殊直線(xiàn)的距離公式
點(diǎn)P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線(xiàn)y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線(xiàn)x=b的距離d＝|x0-b|.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線(xiàn)3x+4y?6=0的距離為（）
A．?2B．2C．?1D．1
【即學(xué)即練4】(多選)（23-24高二下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)M1,4到直線(xiàn)l:mx+y?1=0的距離為3，則實(shí)數(shù)m等于（）
A．0B．34C．3D．2
知識(shí)點(diǎn)03 兩條平行線(xiàn)之間的距離
1.兩條平行線(xiàn)之間的距離
兩條平行線(xiàn)之間的距離，等于其中一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離.
2.兩條平行線(xiàn)之間的距離公式
兩條平行線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線(xiàn)l1:x?2y?4=0與l2:x?2y+1=0之間的距離是（）
A．5B．1C．5D．355
【即學(xué)即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）兩平行直線(xiàn)2x?y?1=0與4x?2y+3=0之間的距離為．
難點(diǎn)：將軍飲馬問(wèn)題
示例1：（24-25高二下·上?！卧獪y(cè)試）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A(?3,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)B(?1,1)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為．
難點(diǎn)：類(lèi)比距離問(wèn)題
示例2：（2024高二下·吉林·競(jìng)賽）已知函數(shù)fx=2x4?18x2+12x+68+x2?x+1，則（）
A．fx的最小值為8B．fx的最小值為9
C．fx=8有1個(gè)實(shí)根D．fx=9有1個(gè)實(shí)根
【題型1：平面兩點(diǎn)之間的距離】
例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習(xí)）點(diǎn)M1(2,?5)與M2(5,y)之間的距離是5，則y=（）
A．?9B．?1C．?9或?1D．12
變式1．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b?7=0，c+d?5=0，則(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（）
A．3B．6C．42D．62
變式2．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)?8,12，線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為?12,2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為，|AB|為 .
變式3．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,?1)，B(?1,3)，C(3,0)．則△ABC的形狀為；△ABC的面積為 .
變式4．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，則a= ．
變式5．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，寫(xiě)出直線(xiàn)AB的一個(gè)方程
變式6．（2021高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,?1,Ba,3，且AB=5，則a的值為 .
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）二元函數(shù)fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域?yàn)? ．
變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學(xué)業(yè)考試）已知A(?2,0)，B(0,4)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為直線(xiàn)l．
(1)求直線(xiàn)l的一般式方程；
(2)若點(diǎn)C在直線(xiàn)l上，且|AC|=10，求點(diǎn)C坐標(biāo)．
【題型2：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）點(diǎn)M(1,2)到直線(xiàn)3x+4y?6=0的距離為（）
A．?2B．2C．?1D．1
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l：x+my?2m?1=0，則點(diǎn)P2,?1到直線(xiàn)l距離的最大值為（）
A．5B．10C．5D．10
變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知A?3,?4，B6,3兩點(diǎn)到直線(xiàn)l:ax+y+1=0的距離相等，求a的值（）
A．13B．?97C．?13或?79D．13或?79
變式3．（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線(xiàn)x+y?1=0上與點(diǎn)P(?2,3)的距離等于2的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）
A．(?4,5)B．(?1,2)C．(?3,4)D．(1,?5)
變式4．（多選）（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線(xiàn)l:y=ax?a+1，下列說(shuō)法正確的是（）
A．直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)?1,1
B．當(dāng)a=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為x+y=0
C．直線(xiàn)l一定經(jīng)過(guò)第四象限
D．點(diǎn)P3,?1到直線(xiàn)l的最大距離為22
變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知點(diǎn)P1,3與Q?3,1到直線(xiàn)l的距離相等，則l的方程可以是（）
A．2x+y=0B．x?2y?3=0
C．2x+3y?5=0D．3x?2y+7=0
變式6．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）若點(diǎn)P?2,?1到直線(xiàn)l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距離為d，則d的取值范圍是．
變式7．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知點(diǎn)P3,4到直線(xiàn)l的距離為5，且直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有條．
變式8.（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)a,b滿(mǎn)足關(guān)系式2a+b+3=5a?3b+3=ta2+b2，求實(shí)數(shù)t的所有可能的值．
【方法技巧與總結(jié)】
應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題
直線(xiàn)方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.
點(diǎn)P在直線(xiàn)l上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0，公式仍然適用.
（3）直線(xiàn)方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直線(xiàn)是特殊直線(xiàn)（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解.
【題型3：兩條平行線(xiàn)之間的距離】
例3．（24-25高二上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)l1：x?y+1=0與直線(xiàn)l2：2x?2y+3=0的距離是（）
A．24B．22C．2D．1
變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知l1//l2,l1:2x+y+4=0,l2:6x+ay+2=0,則它們的距離為（）
A．2515B．255C．55D．253
變式2．（23-24高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線(xiàn)3x+4y?7=0與直線(xiàn)6x+8y+3=0上的任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為（）
A．1B．2C．1710D．1110
變式3．（多選）（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩條平行直線(xiàn)m,n，直線(xiàn)m:x+y?1=0，直線(xiàn)n:2x+2y+a=0，直線(xiàn)m,n之間的距離為2，則a的值可以是（）
A．-8B．-6C．2D．4
變式4．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）已知兩條平行直線(xiàn)l1:x+3y+1=0,l2:x+3y?3=0.若直線(xiàn)l被l1,l2截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為22，則直線(xiàn)l的傾斜角可能是（）
A．15°B．75°C．105°D．165°
變式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線(xiàn)l1:y=kx+1，l2:y=kx?2，則直線(xiàn)l1，l2之間距離的最大值為．
變式6．（23-24高二上·河南開(kāi)封·期末）已知點(diǎn)A,B分別是直線(xiàn)l1:2x+y?2=0與直線(xiàn)l2:4x+2y+1=0上的點(diǎn)，則AB的取值范圍是．
變式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知P,Q分別在直線(xiàn)l1:x?y+1=0與直線(xiàn)l2:x?y?1=0上，且PQ⊥l1，點(diǎn)A?4,6，B5,?1，則AP+PQ+QB的最小值為
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)兩條平行直線(xiàn)之間的距離公式的理解
1.求兩條平行線(xiàn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，也可以利用公式.
2.利用公式求平行線(xiàn)之間的距離時(shí)，兩條直線(xiàn)方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.
3.當(dāng)兩條直線(xiàn)都與x軸（或y軸）垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.
【題型4：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】
例4．（23-24高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)2,1關(guān)于直線(xiàn)x?y+1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．?2,5B．0,3C．0,?1D．?1,2
變式1．（22-23高二上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）不論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線(xiàn)2a?1x+?a+3y?5=0都過(guò)定點(diǎn)M，則直線(xiàn)2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程為（）
A．x?2y?6=0B．x?2y=0C．2x?y?9=0D．2x?y?3=0
變式2．（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線(xiàn)ax＋y＋3a－1＝0恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線(xiàn)2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
變式3．（多選）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列說(shuō)法中正確的是（）
A．任意一條直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率
B．直線(xiàn)的傾斜角越大，它的斜率就越大
C．直線(xiàn)x?y?3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2
D．點(diǎn)0,1關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為1,0
變式4．（23-24高二上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知直線(xiàn)2x?y?5=0與直線(xiàn)x+3y+1=0交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x?y+4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是 .
變式5.（22-23高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l的傾斜角為135°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,1．
(1)求直線(xiàn)l的方程；
(2)求點(diǎn)A3,4關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
變式6．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期中）已知直線(xiàn)l:x?2y+1=0，點(diǎn)A2,2.
(1)已知直線(xiàn)l與l':ax?a2?3y?1=0平行，求a的值；
(2)求點(diǎn)A2,2關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo).
變式7．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）直線(xiàn)l1：ax+3y?1=0，直線(xiàn)l1的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為?2,6，直線(xiàn)l2：4x+by?2=0與直線(xiàn)2x?y+5=0垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知點(diǎn)P?1,?3，求點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
變式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P2,?1．
(1)若直線(xiàn)l與直線(xiàn)2x+y+3=0垂直，求直線(xiàn)l的方程
(2)若已知直線(xiàn)l:x+2y?2=0，點(diǎn)Q?2,?1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【方法技巧與總結(jié)】
1.實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)段的中點(diǎn)
方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式
說(shuō)明：平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
2.實(shí)質(zhì)：軸（直線(xiàn)）是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)段的中垂線(xiàn)
1.當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，
一般地：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)關(guān)于直線(xiàn)Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(x’，y’)，則
2.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（，）
【題型5：直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直線(xiàn)l：y=2x?4關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）
A．y=2xB．y=?2x
C．y=2x?8D．y=2x+4
變式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知點(diǎn)P2,1，直線(xiàn)l：x?y?4=0，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為，直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為．
變式2．（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A4,0，B6,5，C0,3，邊BC上的高所在直線(xiàn)為l．
(1)求直線(xiàn)l的方程；
(2)求直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′的方程．
變式3．（22-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,4，直線(xiàn)l的方程為3x+y?2=0，求：
(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l′的方程．
變式4．（21-22高二上·江蘇連云港·期中）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x+3y+8=0和x?y?1=0的交點(diǎn)，且________，若直線(xiàn)m與直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)m的方程．試從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，完成解答，若選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分．①與直線(xiàn)3x+2y+8=0垂直；②在y軸上的截距為12．
變式5．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)0,0和點(diǎn)125,?65重合，點(diǎn)7,3和點(diǎn)m,n重合，則m+n=（）
A．345B．365C．283D．323
變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A0,1，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線(xiàn)處，并作答．條件①：點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1；條件②：點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,?1，直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)2,1且與直線(xiàn)AB垂直；條件③點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,3，直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)2,1且與直線(xiàn)AC平行．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
(1)求直線(xiàn)l1的方程；
(2)求直線(xiàn)l2：x?2y+2=0關(guān)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程．
【方法技巧與總結(jié)】
實(shí)質(zhì)：兩直線(xiàn)平行
法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，然后求出直線(xiàn)方程）
法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線(xiàn)系，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離相等）
【題型6：直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)】
例6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線(xiàn)l：ax+by+c=0與直線(xiàn)l′關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)，則l′的方程為（）
A．bx+ay?c=0B．bx?ay+c=0
C．bx+ay+c=0D．bx?ay?c=0
變式1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l的傾斜角為θ，則直線(xiàn)l關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′的傾斜角不可能為（）
A．θB．π2?θC．π?θD．3π2?θ
變式2．（多選）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線(xiàn)l1:x+y=0,l2:2x?3y?6=0，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．直線(xiàn)l1與l2相交于點(diǎn)65,?65
B．直線(xiàn)l1、l2和x軸圍成的三角形的面積為65
C．直線(xiàn)l2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為2x?3y+6=0
D．直線(xiàn)l2關(guān)于直線(xiàn)l1對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為3x?2y+6=0
變式3．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:ax?y+1=0,l2:x+ay+1=0，a∈R，以下結(jié)論正確的是（）
A．無(wú)論a為何值， l1與 l2都互相垂直
B．當(dāng)a變化時(shí)， l1表示過(guò)定點(diǎn)(0,1)的所有直線(xiàn)
C．無(wú)論a為何值， l1與 l2都關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)
D．若 l1與 l2交于點(diǎn)M，則MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值是2
變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）若直線(xiàn)l與直線(xiàn)ax+by+c=0ab>0的夾角平分線(xiàn)為y=x，則直線(xiàn)l的方程為 .
變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1的方程為x?2y+4=0.
（1）若直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2關(guān)于點(diǎn)0,0對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l2的方程；
（2）若直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l2的方程 .
變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l1與邊AC相交于點(diǎn)D，若△BCD的面積是△ABD面積的3倍，求直線(xiàn)l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)l2的方程．
變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線(xiàn)l:2x+3y?5=0，求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程．
(1)與直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
(2)過(guò)點(diǎn)3,1，且與l平行．

【方法技巧與總結(jié)】
1.相交時(shí)：此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)”的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
2.平行時(shí)：對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行
【題型7：反射光線(xiàn)問(wèn)題】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線(xiàn)從點(diǎn)A?2,1射出，經(jīng)直線(xiàn)2x?y+10=0反射，且反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B(?8,?3)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是（）
A．x?3y?1=0B．3x?y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習(xí)）一條光線(xiàn)從點(diǎn)P?1,5射出，經(jīng)直線(xiàn)x?3y+1=0反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,3，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為（）
A．2x?y?1=0B．x?2=0
C．3x?y?3=0D．4x?y?5=0
變式2．（23-24高三上·河南三門(mén)峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則△PQR的周長(zhǎng)等于（）
A．853B．2373
C．415D．533
變式3．（23-24高二上·浙江溫州·期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，沿與AB所成角為θ的方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)BC,CA反射后回到線(xiàn)段PB之間（包括端點(diǎn)），則tanθ的取值范圍是（）
A．1,2B．2,3C．4,5D．3,4
變式4．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P，如圖所示，若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，則AP的長(zhǎng)度為 .
變式5．（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,3，從點(diǎn)P1,0射出的光線(xiàn)經(jīng)直線(xiàn)AB反射到y(tǒng)軸上，再經(jīng)y軸反射后又回到點(diǎn)P，則光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的路程的為 .

變式6．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線(xiàn)l：k+3x?y?2k=0．
(1)求直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若P2,23，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線(xiàn)，依次由BC（反射點(diǎn)為K）、AC（反射點(diǎn)為I）反射后，光斑落在P點(diǎn)，求入射光線(xiàn)PK的直線(xiàn)方程．
變式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2,3，在直線(xiàn)l:x+y+1=0上反射，且反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N1,1，求：
(1)入射光線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)．
(2)入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．
【題型8：將軍飲馬問(wèn)題】
例8．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）設(shè)直線(xiàn)l：x+y?2=0，點(diǎn)A?1,0，B1,0，P為l上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）
A．13B．10C．7D．5
變式1．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知點(diǎn)P在由直線(xiàn)y=x+3，y=5和x=?1所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)T(4,1)，則QP+QT的最小值為（）
A．30B．42C．34D．210
變式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知點(diǎn)M(1,?2)，N(4,4)，H是直線(xiàn)l:2x?y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，則HM+NH的最小值為（）
A．13B．35
C．65D．62
變式3．（23-24高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A2,4，軍營(yíng)所在位置為B6,2，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為x+y?3=0，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）
A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是6x?y?8=0
B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為138,118
C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是x?6y+6=0
D．“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為5
變式4．（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）5x2?4x+1+5x2+4x+4的最小值為（）
A．1955B．3C．2055D．22
變式5．（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）已知x+y+1=0，則x2+y2?2x?2y+2+(x?3)2+y2的最小值是（）
A．10B．13C．29D．6
變式6．（22-23高二上·河北張家口·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x+y+1=0，則x?12+y?12+x?22+y2的最小值為（）
A．5B．22C．10D．25
變式7．（23-24高二上·江蘇·單元測(cè)試）已知點(diǎn)A?3,1，點(diǎn)M,N分別是x軸和直線(xiàn)2x+y?5=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值等于．
【方法技巧與總結(jié)】
利用三角形邊角關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對(duì)值小于等于第三邊。
一、單選題
1．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A2,?1,B?1,3，則AB的長(zhǎng)為（）
A．3B．5C．9D．25
2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線(xiàn)l1:x+3y+m=0(m>0)與直線(xiàn)l2:x+3y?3=0間的距離為10，則m=（）
A．17B．172C．14D．7
3．（2023高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若原點(diǎn)到直線(xiàn)ax+by+c=0的距離為1，則a，b，c應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式為（）
A．c2=a2+b2B．a(chǎn)2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點(diǎn)A2,1，點(diǎn)B在直線(xiàn)x?y+3=0上，則AB的最小值為（）
A．5B．26C．22D．4
5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線(xiàn)l：x?y=0，則點(diǎn)A?1,4關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．4,1B．4,?1C．?1,?4D．1,4
6．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知A?2,4，B?4,6兩點(diǎn)到直線(xiàn)l:ax?y+1=0的距離相等，則a的值為（）
A．?1或?43B．3或4C．3D．4
7．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）直線(xiàn)3x?(k+2)y+k+5=0與直線(xiàn)kx+(2k?3)y+2=0相交，則實(shí)數(shù)k的值為（）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠?9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠?9
8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地A,B兩廠(chǎng)在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為A0,0,B?2,0，一條河所在直線(xiàn)的方程為x+2y?5=0.若在河上建一座供水站P，則P到A,B兩點(diǎn)距離之和的最小值為（）
A．42B．32C．43D．48
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）若直線(xiàn)l1：y=34x+2，l2：3x?4y+8=0，l3：y=34x?1，l4：y=?34x+1，則（）
A．l1∥l2B．l1與l3之間的距離為125
C．l2∥l3D．l1與l4的傾斜角互補(bǔ)
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線(xiàn)l1：2x?y=0與l2：x+y?3=0交于點(diǎn)P，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5
B．點(diǎn)P到直線(xiàn)x?y?1=0的距離為1
C．不論實(shí)數(shù)m取何值，直線(xiàn)l3：m+2x?2y?1=0都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P
D．1,?1是直線(xiàn)l2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點(diǎn)A2，7，B?2，3到直線(xiàn)l:ax?2y+a?1=0的距離相等，則a的值可能為（）
A．－2B．2C．9D．11
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Px,y在直線(xiàn)x+2y?5=0上，當(dāng)OP最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
13．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，定義dAB=x1?x22+y1?y22為“A，B兩點(diǎn)間的距離”，定義AB=x1?x2+y1?y2為“A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離”，已知O(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，P(x,y)(x≥0,y≤0)為平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)，且OP=2，則dOP的最小值為 .
14．（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)l與直線(xiàn)2x?3y+4=0關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程為．
15．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xsinα+ycsα=3，則x2+y2的最小值為 .
16．（2023高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x?12+y2，則S的最小值是 .
四、解答題
17．（23-24高二下·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）已知直線(xiàn)l1：x+my+1=0和l2：2x+y?1=0．
(1)若l1與l2互相垂直，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若l1與l2互相平行，求l1與l2間的距離．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形ABCD中，A1,1,C5,5，邊AB,AD所在直線(xiàn)的方程分別為l1:x?3y+2=0和l2:3x?y?2=0．
(1)求BC邊所在直線(xiàn)的方程和點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離；
(2)求線(xiàn)段AC垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程；
(3)求過(guò)點(diǎn)B且在x軸和y軸截距相等的直線(xiàn)方程．
19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線(xiàn)l1:(t?1)x+2y?t=0和l2:x+ty+t?4=0.
(1)討論直線(xiàn)l1與l2的位置關(guān)系；
(2)當(dāng)直線(xiàn)l1與l2平行時(shí)，求它們之間的距離；當(dāng)直線(xiàn)l1與l2相交時(shí)，求它們之間夾角的最大值，并指出相應(yīng)t的取值.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解點(diǎn)到直線(xiàn)距離的概念;
2.掌握求直線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的方法，并能運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中:
3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高邏輯推理能力。
1.重點(diǎn)：(1)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的推導(dǎo)思路;(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用
2.難點(diǎn)：用向量的方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

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2.2.4 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

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