專題4.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc32165" 【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】  PAGEREF _Toc32165 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc24648" 【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc24648 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc9641" 【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】  PAGEREF _Toc9641 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc11092" 【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】  PAGEREF _Toc11092 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc32733" 【題型6 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】  PAGEREF _Toc32733 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc23768" 【題型7 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】  PAGEREF _Toc23768 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc21655" 【題型8 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】  PAGEREF _Toc21655 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc9716" 【題型9 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】  PAGEREF _Toc9716 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc6650" 【題型10 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】  PAGEREF _Toc6650 \h 12  【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】 【例1】（2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題： 角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC=BDCD． 下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程． 證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．… 任務(wù)： (1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分； (2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長(zhǎng)． 【變式1-1】（2023春·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿著AD翻折得到△ADC′，連接BC′交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是EC′的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)為 ． ?? 【變式1-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，PF∥AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若S△PAD=1,S△PCD=2,S△PBC=4，則四邊形PEBF的面積為 ． ?? 【變式1-3】（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形． (1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°． ①若CD=3，AC⊥CD于點(diǎn)C，求AD的長(zhǎng)； ②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的長(zhǎng)； (2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BP=2PD，過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，要使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長(zhǎng)． 【題型2 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中求值】 【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)E到AB的距離為 ． 【變式2-1】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在方格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC+∠ACB的度數(shù)為（????） A．30° B．45° C．60° D．75° 【變式2-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、F在網(wǎng)格中的格點(diǎn)處，AF與BC相交于點(diǎn)E，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則陰影部分△DEF的面積等于 ． ?? 【變式2-3】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC?∠DAE= ． ?? 【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】 【例3】（2023·黑龍江綏化·?？既＃┰?ABCD中，AH⊥BD，垂足為H，∠ABD為銳角，且∠ABH=∠DAH，若AH=6，BD=5，則BC邊長(zhǎng)為 ． 【變式3-1】（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，如果BN=6.5，那么AM的長(zhǎng)為 ． ?? 【變式3-2】（2023·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A0,6，B?10,0，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，連接AB′．當(dāng)點(diǎn)B′在第二象限內(nèi)，AB′⊥y軸時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ． ?? 【變式3-3】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角ΔABC與等腰直角ΔCDE的直角頂點(diǎn)C重合．DE與AC相交于F，CD的延長(zhǎng)線交AB于G，連接BD． ?? (1)如圖1，求證：AC?CF=CE?CG； (2)如圖2，B，D，E在同一條直線上，取AB的中點(diǎn)M，分別連接MC，ME，求證：MC=ME； (3)如圖3，過(guò)A作BD的平行線，過(guò)B作AC的平行線，兩線相交于H，且點(diǎn)H在CG的延長(zhǎng)線上，若BC=2BH，求AHDE的值． 【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】 【例4】（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校鰽BC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（????） ?? A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8 【變式4-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過(guò)點(diǎn)A5,0，C2,a，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)D，E分別為線段OB，OA上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且CD⊥DE． ?? (1)求k和a的值； (2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個(gè)角相等時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)； (3)如圖2，連接BE交CD于點(diǎn)H，將點(diǎn)B繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)B′，若點(diǎn)B′到x軸的距離恰好等于OD的長(zhǎng)，求△BDH的面積． 【變式4-2】（2023春·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求證：四邊形ABCD是等腰梯形； （2）若點(diǎn)M是直線AB上的一點(diǎn)，直線DM交直線BC于點(diǎn)N． ①當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），設(shè)BM=x，DM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域； ②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面積． ?? 【變式4-3】（2023春·四川德陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DF∥BC，EF∥AB，若四邊形BDFE的面積為2，BD=13BA，BE=14BC，則△ABC的面積是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】 【例5】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，F(xiàn)，G是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=FG，BE⊥FG，連接EF，BG，當(dāng)EF+FG+BG的值最小時(shí)，CG的長(zhǎng)為 ． ?? 【變式5-1】（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)校考期末）如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC=90°，BD=3，且mn=12，則m+n的最大值為 ． 【變式5-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)D繞點(diǎn)C引順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)E，所得的△CDE邊DE與BC交于點(diǎn)F，則CFDE的最小值為 ． ???? 【變式5-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿線段CD方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)． ?? (1)用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)； (2)當(dāng)PQ與矩形的對(duì)角線平行時(shí)，求t的值； (3)若點(diǎn)M為DQ的中點(diǎn)，求以M、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)t的值； (4)直接寫(xiě)出點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′落在△ACD內(nèi)部時(shí)t的取值范圍． 【題型6 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】 【例6】（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的頂點(diǎn)A，A1，A2，A3…，在射線OM上，頂點(diǎn)B，B1，B2，B3，B4，…，在射線ON上，連接AB2交A1B1于點(diǎn)D，連接A1B3交A2B2于點(diǎn)D1，連接A2B4交A3B3于點(diǎn)D2，連接B1D1交AB2于點(diǎn)E，連接B2D2交A1B3于點(diǎn)E1，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，…若AB＝2則Sn等于（用含有正整數(shù)n的式子表示）（????） A．22n+49 B．22n+43 C．22n+29 D．22n9 【變式6-1】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以AB為底邊在正方形ABCD內(nèi)作等腰ΔABE，點(diǎn)E在CD邊上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1，···，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則第2019個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（????） A．122018 B．122019 C．2(52)2018 D．2(52)2019 【變式6-2】（2023秋·黑龍江綏化·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，正方形A2021B2021C2021C2020的面積為（ ） A．5322021 B．5942020 C．5944040 D．5324042 【變式6-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，正方形A0B0C0A1的邊長(zhǎng)為1，正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為2，正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為4，正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBnCnAn+1，且點(diǎn)A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一條直線上，連接A0C1交，A1B1于點(diǎn)D1，連接A1C2，交A2B2于點(diǎn)D2，連接A2C3，交A3B3于點(diǎn)D3，…記四邊形A0B0C0D1的面積為S1，四邊形A1B1C1D2的面積為S2，四邊形A2B2C2D3的面積為S3，…，四邊形An?1Bn?1Cn?1Dn的面積為Sn，則S2022= ． 【題型7 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】 【例7】（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AP的長(zhǎng)為 ． ?? 【變式7-1】（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=12CE時(shí)，EP+BP= ．?? ?? 【變式7-2】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為1,1，點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF，連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF，若以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OEF相似，則B的坐標(biāo)是 ． ?? 【變式7-3】（2023春·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中點(diǎn)，P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到△ABC的一邊的距離為2，則CP的長(zhǎng)為 ． 【題型8 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】 【例8】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于點(diǎn)P，對(duì)角線BD交AF于點(diǎn)H，連接HM,CM,DM,BM，下列結(jié)論正確的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF=22；⑤EP?DH=2AG?BH．（????） ?? A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【變式8-1】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是AC中點(diǎn)，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC=36，則下面結(jié)論：①∠CAH=∠ABC；②S△ABO=9；③AI=IH；④BO=MO；正確的是（????） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【變式8-2】（2023春·山東東營(yíng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①圖中共有三個(gè)平行四邊形；②當(dāng)BD=2BC時(shí)，四邊形DEBF是菱形；③BD⊥ME；④AD2=BD?CM．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（????） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【變式8-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD=60°，將?ABCD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至?AEFG，此時(shí)點(diǎn)D在AE上，連接AC、AF、CF、EB，線段EB分別交CD、AC于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①∠CAF=60°；②△DEH是等邊三角形；③2AD=3HK；④當(dāng)AB=2AD時(shí)，4S△ACF=7S?ABCD；正確的是（????） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【題型9 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】 【例9】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對(duì)角線把該四邊形分割成兩個(gè)等腰三角形，且這條對(duì)角線是這兩個(gè)等腰三角形的腰，那么我們稱這個(gè)四邊形為雙等腰四邊形． ?? (1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連結(jié)BD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，CE． ①試判斷四邊形ABCE是否是雙等腰四邊形，并說(shuō)明理由； ②若∠AEC=90°，求∠ABC的度數(shù)； (2)如圖2，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，四邊形AEFD是雙等腰四邊形，且AD=DE．延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG．若AD=5，∠EFG=90°，CGFC=34，求AB的長(zhǎng)． 【變式9-1】（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測(cè)）定義：△ABC中，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為α，另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為β，若滿足α+2β=90°，則稱這個(gè)三角形為“智匯三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，若△ABD是“智匯三角形”，則CD的長(zhǎng)是 ． 【變式9-2】（2023·江蘇蘇州·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校?？级＃┒x：如果三角形的兩個(gè)α與β滿足α?β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙互余三角形”． ?? (1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)_____； (2)如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，若AD=94，判斷△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的長(zhǎng)． 【變式9-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃┒x：如果三角形中有兩個(gè)角的差為90°，則稱這個(gè)三角形為互融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，點(diǎn)D 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若 △ABD 是“互融三角形”，則 CD 的長(zhǎng)為 ． 【題型10 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】 【例10】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡． ?? (1)在圖①中，作△ABC的中線BD． (2)在圖②中，在AC邊上找一點(diǎn)M，BC邊上找一點(diǎn)N，連結(jié)MN，使得MN∥AB，且MN=12AB． (3)在圖③，在AB邊上找一點(diǎn)E，連結(jié)CE，使△BCE的面積為52． 【變式10-1】（2023·浙江衢州·三模）如圖，在4×4的方格紙中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫(huà)出格點(diǎn)線段（線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上），并寫(xiě)出結(jié)論． ?? (1)在圖1中畫(huà)一條線段垂直AB． (2)在圖2中畫(huà)一條線段交AB于點(diǎn)P，使AP:BP=3:2． 【變式10-2】（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是由小正方形組成的6×5網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A，B，C三點(diǎn)是格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫(huà)圖． ?? (1)在圖（1）中，先在BC上畫(huà)點(diǎn)D，使AD平分∠BAC；再在AC上畫(huà)點(diǎn)E，使DE=13AB； (2)在圖（2）中，點(diǎn)P在AB上，先將線段BA繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，畫(huà)出對(duì)應(yīng)線段BF，再在AC上畫(huà)點(diǎn)Q，使AQ=BP． 【變式10-3】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形． ?? (1)如圖1，△ABC的頂點(diǎn)以及點(diǎn)O 均在格點(diǎn)上，畫(huà)出△DEF，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°； (2)如圖2，畫(huà)出一個(gè)以DF為邊，面積為6的矩形DFMN； (3)如圖3，在網(wǎng)格中有一定角XOY和一定點(diǎn)P，請(qǐng)作一條線段AB，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，且點(diǎn)A、B分別在OX、OY上． 專題4.10 圖形的相似章末十大題型總結(jié)（拔尖篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc32165" 【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】  PAGEREF _Toc32165 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc24648" 【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc24648 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc9641" 【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】  PAGEREF _Toc9641 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc11092" 【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】  PAGEREF _Toc11092 \h 28  HYPERLINK \l "_Toc32733" 【題型6 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決規(guī)律探究問(wèn)題】  PAGEREF _Toc32733 \h 37  HYPERLINK \l "_Toc23768" 【題型7 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題】  PAGEREF _Toc23768 \h 42  HYPERLINK \l "_Toc21655" 【題型8 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決多結(jié)論問(wèn)題】  PAGEREF _Toc21655 \h 51  HYPERLINK \l "_Toc9716" 【題型9 利用相似三角形的判定與結(jié)論解決新定義問(wèn)題】  PAGEREF _Toc9716 \h 60  HYPERLINK \l "_Toc6650" 【題型10 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中作圖】  PAGEREF _Toc6650 \h 69  【題型1 利用平行線分線段成比例進(jìn)行求值或證明】 【例1】（2023秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題： 角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC=BDCD． 下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程． 證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．… 任務(wù)： (1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分； (2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長(zhǎng)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)9+352 【分析】（1）過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，利用平行線分線段成比例定理得到BDCD=BAEA，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有ABAC=BDCD； （2）先利用勾股定理計(jì)算出AC=5，再利用（1）中的結(jié)論得到ACAB=CDBD，即53=CDBD，則可計(jì)算出BD=32，然后利用勾股定理計(jì)算出AD=325，從而可得到△ABD的周長(zhǎng)． 【詳解】（1）證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E， ∵CE∥AD， ∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴ABAC=BDCD． （2）解：如圖3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC=BC2+AB2=42+32=5， ∵AD平分∠BAC， ∴ACAB=CDBD，即53=CDBD， ∴BD=38BC=38×4=32， ∴AD=BD2+AB2=322+32=325， ∴△ABD的周長(zhǎng)=32+3+325=9+352． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，掌握平行線分線段成比例定理，理解角平分線分線段成比例定理是關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023春·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿著AD翻折得到△ADC′，連接BC′交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)M是EC′的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)為 ． ?? 【答案】352 【分析】如圖所示，連接EN，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)K，可證△BCC′,△EDC′,△ETM都是等腰直角三角形，點(diǎn)E是BC′,AD的中點(diǎn)，可得MT是△EDC′的中位線，NE是△ACD的中位線，再證△MTK≌△NEK(AAS)，可得MN=2MK，在Rt△MTK中根據(jù)勾股定理即可求解． 【詳解】解：如圖所示，連接EN，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥AD于點(diǎn)T，MN與AD交于點(diǎn)K， ???? ∵四邊形ABCD是矩形，2AB=BC=6， ∴∠ADC=90°，AB=CD=12BC=12×6=3，BC=AD=6， ∵△ADC沿著AD翻折得到△ADC′， ∴∠ADC=∠ADC′=90°，CD=DC′=3+3=6，則CC′=BC=6， ∴△BCC′是等腰直角三角形，∠CBC′=∠CC′B=45°， ∵DE∥BC， ∴∠DEC′=∠CBC′=45°，且∠BC′C=45°， ∴△EDC′是等腰直角三角形，則C′D=DE=3， 在Rt△EDC′中，點(diǎn)M是EC′的中點(diǎn)，MT⊥DE，C′D⊥DE， ∴MT∥C′D， ∴EMEC=ETED，即12=ET3， ∴ET=32，即點(diǎn)T是ED的中點(diǎn)， ∴MT是△EDC′的中位線，則MT=12C′D=12×3=32， ∵BC=6，DE=C′D=3， ∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)， ∵點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)， ∴NE是△ADC的中位線， ∴NE∥CD，NE=12CD=12×3=32， ∴MT=NE=32， ∵M(jìn)T⊥BD， ∴∠MTK=90°， ∵NE∥CD，∠CDE=90° ∴∠NEK+∠CDE=180°， ∴∠NEK=90°，即EN⊥BC， ∴∠MTK=∠NEK=90°， 在△MTK,△NEK中， ∠MTK=∠NEK∠MKT=∠NKEMT=NE， ∴△MTK≌△NEK(AAS)， ∴MK=NK，TK=EK， ∴點(diǎn)K是ET的中點(diǎn)， ∴TK=EK=12ET=12MT=12×32=34， ∴在Rt△MTK中，MK=MT2+TK2=322+342=354， ∴MN=2MK=2×354=352， 故答案為：352． 【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC，PF∥AB，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若S△PAD=1,S△PCD=2,S△PBC=4，則四邊形PEBF的面積為 ． ?? 【答案】245 【分析】過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交CB于點(diǎn)N，根據(jù)已知先求出S?ABCD=AD?MN=10，然后求出S△PAB=3，再根據(jù)面積比求出PMPN=14，PRPQ=23，結(jié)合平行線分線段成比例可得AEBE=PMPN=14，進(jìn)而得到PQ=35QR，BE=45AB，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可． 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)R，作PM⊥AD于M，交CB于點(diǎn)N， ?? ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=CB， ∴PR⊥CD，PN⊥CB， ∵S△PAD=1，S△PCD=2，S△PBC=4， ∴S△PAD+S△PBC=12AD?PM+12CB?PN=12AD?MN=1+4=5， ∴S?ABCD=AD?MN=10， ∴12AB?PQ+12CD?PR=12AB?PQ+2=12AB?QR=12S?ABCD=5， ∴S△PAB=12AB?PQ=3， ∴S△PADS△PBC=12AD?PM12CB?PN=PMPN=14，S△PCDS△PAB=12CD?PR12AB?PQ=PRPQ=23， ∵PE∥BC，PF∥AB， ∴四邊形PEBF是平行四邊形， ∵AM∥PE∥BC， ∴AEBE=PMPN=14， ∴PQ=35QR，BE=45AB， ∴S四邊形PEBF=BE·PQ=45AB×35QR=1225AB?QR=1225S?ABCD=1225×10=245， 故答案為：245． 【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，此題的計(jì)算和推理過(guò)程較為復(fù)雜，求出PQ=35QR，BE=45AB是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形． (1)如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC=4，∠ABC=90°． ①若CD=3，AC⊥CD于點(diǎn)C，求AD的長(zhǎng)； ②若AD=DC，∠ADC=45°，求BD的長(zhǎng)； (2)如圖②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BP=2PD，過(guò)點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，要使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長(zhǎng)． 【答案】(1)①41；②42+4 (2)滿足條件的AE的長(zhǎng)為12 【分析】（1）①根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AD的值； ②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)E，證明BD垂直平分AC，得出AF=CF，證明∠ECD=∠CDE，得出CE=DE，證明∠BEC=∠CBE，得出CE=BC=4，根據(jù)勾股定理求出BE=BC2+CE2=42，即可得出答案； （2）若EF⊥BC，則AE≠EF，BF≠EF，推出四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件．若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時(shí)，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，當(dāng)BF=AB時(shí)，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形，分別求解即可． 【詳解】（1）解：①連接AC，如圖所示： ∵AB=BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=AB2+BC2=42， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD=90°， ∴AD=AC2+CD2=422+32=41； ②連接AC、BD，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥BC，交BD于點(diǎn)E，如圖所示： 則∠BCE=90°， ∵AB=BC=4，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠ACB=12×90°=45°， ∴∠ECF=90°?45°=45°， ∵AB=BC，AD=CD， ∴B、D在線段AC的垂直平分線上， ∴BD垂直平分AC， ∴AF=CF，∠CFD=∠CFB=90°， ∵AD=CD， ∴∠CDF=12∠ADC=12×45°=22.5°， ∴∠DCF=90°?22.5°=67.5°， ∴∠ECD=∠DCF?∠ECF=67.5°?45°=22.5°， ∴∠ECD=∠CDE， ∴CE=DE， ∵AB=BC，AF=CF， ∴∠CBF=12∠ABC=45°， ∵∠BCE=90°， ∴∠BEC=90°?45°=45°， ∴∠BEC=∠CBE， ∴CE=BC=4， ∴DE=CE=4，BE=BC2+CE2=42， ∴BD=BE+DE=42+4． （2）解：∵四邊形ABCD為矩形， ∴AB=CD=6，AD=BC=15，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AD∥BC； 若EF⊥BC時(shí)，如圖所示： 則四邊形AEFB和DEFC為矩形， ∴EF=AB=6，DE=CF，AE=BF， ∵AD∥BC， ∴△DEP∽△BFP， ∴DEBF=DPBP=12， ∵DE+BF=DE+AE=15， ∴DE=5，BF=10， ∴AE=BF=10， ∴AE≠EF，BF≠EF； ∴四邊形ABFE不可能是等腰直角四邊形； 若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時(shí)，如圖所示： ∵AE=AB=6， ∴DE=AD?AE=15?6=9， ∵AD∥BC， ∴△DEP∽△BFP， ∴DEBF=DPBP=12， ∴BF=2DE=2×9=18， ∵18>15， ∴此時(shí)點(diǎn)F不在邊BC上，不符合題意； 若EF與BC不垂直，當(dāng)BF=AB時(shí)，如圖所示： 此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形， ∴BF=AB=6， ∵DE∥BF， ∴△DEP∽△BFP， ∴DEBF=DPBP=12， ∴DE=12BF=3， ∴AE=AD?DE=15?3=12， 綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為12． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論． 【題型2 利用相似三角形的判定與結(jié)論在格點(diǎn)中求值】 【例2】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，連接AC、BD相交于點(diǎn)E，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)E到AB的距離為 ． 【答案】65 【分析】證明△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，MN⊥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴EMEN=ABCD=23， ∵M(jìn)N=3， ∴EM=23+2×3=65，即點(diǎn)E到AB的距離為65． 故答案為65． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)． 【變式2-1】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在方格紙中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC+∠ACB的度數(shù)為（????） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用勾股定理求得△ABC、△EDF各邊長(zhǎng)，進(jìn)而證明△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠DEF=135°，即可求解． 【詳解】解：∵AB=12+22=5,BC=12+32=10,AC=5， DE=12+12=2,EF=2,DF=12+32=10， ∵52=102=510， ∴ABDE=BCEF=ACDF， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠ABC=∠DEF=135°， ∴∠BAC+∠ACB=180°?135°=45°， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、F在網(wǎng)格中的格點(diǎn)處，AF與BC相交于點(diǎn)E，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則陰影部分△DEF的面積等于 ． ?? 【答案】92 【分析】先證明△ABE∽△ECF，設(shè)△CEF的高為h，AM=3，得出?=95，即可求出答案． 【詳解】解： ?? ∵AB∥CD，AB=CD=2，CF=3， ∴∠ABE=∠ECF， ∵∠AEB=∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， 設(shè)△CEF的高為h，AM=3， ∴ABCF=3???， ∴?=95， ∴陰影部分△DEF的面積12×95×5=92， 故答案為：92． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023秋·福建福州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則∠BAC?∠DAE= ． ?? 【答案】45° 【分析】在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，作出Rt△EFD和Rt△EGD，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則有EG=12+12=2，F(xiàn)G=1，AG=2，可知EGAG=FGEG，可證△EGF∽△AGE，可得∠EFG=∠AEG，則可證出∠EFG=45°?∠EAG，根據(jù)作圖可知△CBA≌△FDE，得∠BAC=∠DEF，可以求出∠BAC?∠DAE=45°． 【詳解】解：如圖，在正方形網(wǎng)格中，連接正方形的頂點(diǎn)，得到Rt△EFD和Rt△EGD， ?? 設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則有EG=12+12=2，F(xiàn)G=1，AG=2， ∴EGAG=22，F(xiàn)GEG=12=22， ∴EGAG=FGEG ∵∠EGF=∠AGE， ∴△EGF∽△AGE， ∴∠EFG=∠AEG， ∴∠EFG+∠EAG=∠AEG+∠EAG=∠EGD=45°， ∴∠EFG=45°?∠EAG， 又∵AB=DE=1，∠B=∠D=90°，BC=FD=2， ∴△CBA≌△FDE， ∴∠BAC=∠DEF， ∴∠BAC=∠DEF=90°?∠EFD=90°?45°?∠EAG， 即有：∠BAC?∠DAE=45°， 故答案為：45°． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，求得△EGF∽△AGE是解題的關(guān)鍵． 【題型3 利用相似三角形的判定與結(jié)論求長(zhǎng)度】 【例3】（2023·黑龍江綏化·?？既＃┰?ABCD中，AH⊥BD，垂足為H，∠ABD為銳角，且∠ABH=∠DAH，若AH=6，BD=5，則BC邊長(zhǎng)為 ． 【答案】10或15或7 【分析】如圖，設(shè)DH=x．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題； 【詳解】解：當(dāng)AH在△ABD內(nèi)部時(shí)，如圖，設(shè)DH=x． ∵AH⊥BD， ∴∠AHB=∠AHD=90°， ∵∠ABH=∠DAH， ∴△DAH∽△ABH， ∴ DHAH=AHBH， ∴ x6=65?x， 整理得：x2?5x+6=0， 解得x=2或3， ∴DH=2或3， ∴BC=AD=AH2+DH2=10或15， 當(dāng)AH在△ABD外部時(shí)，設(shè)DH=x． ∵△HAB∽△HDA， ∴AH2=BH?DH， ∴6=x(x+5)， ∴x2+5x?6=0， ∴x=1，x=?6（舍去）， ∴DH=1， ∴BC=AD=AH2+DH2=7， 故答案為10或15或7． 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 【變式3-1】（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N，如果BN=6.5，那么AM的長(zhǎng)為 ． ?? 【答案】94 【分析】連接NE，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到CN的長(zhǎng)以及BC的長(zhǎng)，再根據(jù)△BMN∽△CBE，得到比例式求出BM，進(jìn)而得出AM的長(zhǎng)． 【詳解】解：如圖，連接NE， ∵四邊形ABCD為矩形， ∴CD=AB=12，∠ABC=∠C=90°， ∵E為CD的中點(diǎn)， ∴CE=12CD=6， ∵將矩形沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線l分別與邊AB、BC交于點(diǎn)M、N， ∴MN⊥BE，BN=EN=6.5， 在Rt△CNE中，CN=EN2?CE2=6.52?62=2.5， ∴AD=6.5+2.5=9， ∵∠MBE+∠BMN=90°，∠MBE+∠CBE=90°， ∴∠BMN=∠CBE， 又∵∠NBM=∠C， ∴△BMN∽△CBE， ∴ BMBC=BNCE，即BM9=6.56， ∴BM=394， ∴AM=AB?BM=12?394=94； 故答案為：94． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解． 【變式3-2】（2023·河南鄭州·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A0,6，B?10,0，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，連接AB′．當(dāng)點(diǎn)B′在第二象限內(nèi)，AB′⊥y軸時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ． ?? 【答案】185,245 【分析】過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A′作A′C⊥OC于點(diǎn)C，易得AB'=OD，B'D=OA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OB′=OB=10，即有AB′=102?62=8．再證明 △B′OD∽△OA′C，即有B′OOA′=ODA′C=B′DOC，解得OC=185，A′C=245，問(wèn)題得解． 【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥OB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A′作A′C⊥OC于點(diǎn)C， ?? ∵AB′⊥y軸，A′C⊥OC，B′D⊥OB， ∴四邊形AB′DO是矩形， ∴AB'=OD,DB'=OA， 由題意可知，OA=6，OB=10， ∵AB′⊥y軸， ∴∠B′AO=90°， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OB′=OB=10，∠AOB=∠A′OB′=90°， 在Rt△B′AO中，由勾股定理得AB′=102?62=8． ∵ ∠A′OB′=90°， ∴∠BOB′+∠A′OC=90°， 又∵∠A′OC+∠OA′C=90°， ∴∠BOB′=∠OA′C， ∴△B′OD∽△OA′C， ∴B′OOA′=ODA′C=B′DOC，即106=8A′C=6OC， 解得OC=185，A′C=245， ∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為185,245， 故答案為：185,245． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)等知識(shí) 【變式3-3】（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角ΔABC與等腰直角ΔCDE的直角頂點(diǎn)C重合．DE與AC相交于F，CD的延長(zhǎng)線交AB于G，連接BD． ?? (1)如圖1，求證：AC?CF=CE?CG； (2)如圖2，B，D，E在同一條直線上，取AB的中點(diǎn)M，分別連接MC，ME，求證：MC=ME； (3)如圖3，過(guò)A作BD的平行線，過(guò)B作AC的平行線，兩線相交于H，且點(diǎn)H在CG的延長(zhǎng)線上，若BC=2BH，求AHDE的值． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)AHDE=2 【分析】（1）通過(guò)證明ΔECF∽ΔBCG，得到CECF=BCCG，再利用AC=BC等量代換即可； （2）連接AE，由SAS證明ΔACE≌ΔBCD，得到∠EAC=∠DBC，從而證明∠AEF=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論； （3）延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)P，得到四邊形APBH為平行四邊形，從而得到BH=AP，AH=BP，通過(guò)等量代換可得四邊形PCBH為矩形，得到BP=CH，再設(shè)CD=x，可得CH=BP=AH=2x，DE=2x，即可得到AHDE的值． 【詳解】（1）證明：∵ΔABC、ΔCDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90° ， ∴∠E=∠ABC=45°，AC=BC， EC=DC ∵∠ECA+∠ACG=∠ACG+∠BCG=90°， ∴∠ECA=∠BCG， 在ΔECF和ΔBCG中， ∠E=∠CBG∠ECA=∠BCG ∴ΔECF∽ΔBCG ∴CECF=BCCG 又∵AC=BC ∴CECF=ACCG，即AC?CF=CE?CG （2）連接AE， ?? 在ΔACE和ΔBCD中， AC=BC∠ECA=∠BCGEC=DC ∴ΔACE≌ΔBCD（SAS） ∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC+∠BFC=90° ，∠BFC=∠AFE ， ∴∠EAC+∠AFE=90°，即∠AEF=90° ， 在RtΔAEB中， ∵點(diǎn)M為AB中點(diǎn)， ∴EM=12AB， 又∵CM=12AB， ∴MC=ME； （3）延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)P，連接PH， ?? ∵AH∥BD，BH∥AC， ∴四邊形APBH為平行四邊形， ∴BH=AP，AH=BP ； 又∵BC=2BH，AC=BC， ∴AC=2AP，即點(diǎn)P為AC中點(diǎn)， ∵PC=BH，PC∥BH， ∴四邊形PCBH為平行四邊形， 又∵∠ACB=90°， ∴?PCBH為矩形， ∴BP=CH，點(diǎn)D為對(duì)角線交點(diǎn)， 設(shè)CD=x，則CH=BP=AH=2x，DE=2x， ∴AHDE=2x2x=2． 【點(diǎn)睛】本題是三角形與四邊形的綜合題目，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形及矩形的判定性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定，構(gòu)造合理的輔助線是解決本題的關(guān)鍵． 【題型4 利用相似三角形的判定與結(jié)論求面積】 【例4】（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)?？计谥校鰽BC的邊上有D、E、F三點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE=∠C，則根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度，求四邊形ADEF與△ABC的面積比為何？（????） ?? A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8 【答案】D 【分析】先證明△CAF∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AC=45，得出S△ACFS△ACB=516，再證明△BDE∽△BCA，求出S△BDES△ACB=516，即可求出答案． 【詳解】解：∵BE=7，EF=4，F(xiàn)C=5， ∴ BC=7+4+5=16， ∵∠B=∠FAC，∠C=∠C， ∴ △CAF∽△CBA， ∴ CACB=CFCA， ∴ CA2=CF?CB=5×16=80， ∵CA>0， ∴ AC=45， ∴ ACBC=4516=54， ∴ S△ACFS△ACB=ACBC2=542=516， 同理可證△BDE∽△BCA， ∵BD=AC， ∴ BDBC=ACBC=54， ∴ S△BDES△ACB=BDBC2=542=516， ∴四邊形ADEF與△ABC的面積比=16?5?5:16=3:8， 故選D． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 【變式4-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+203過(guò)點(diǎn)A5,0，C2,a，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)D，E分別為線段OB，OA上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且CD⊥DE． ?? (1)求k和a的值； (2)當(dāng)∠AEC與△CDE中的一個(gè)角相等時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)； (3)如圖2，連接BE交CD于點(diǎn)H，將點(diǎn)B繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)B′，若點(diǎn)B′到x軸的距離恰好等于OD的長(zhǎng)，求△BDH的面積． 【答案】(1)k=?43，a=4 (2)OD=2或OD=4?23 (3)S=9839 【分析】（1）將A5,0代入y=kx+203求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將x=2代入y=?43x+203求出a的值即可； （2）分三種情況：當(dāng)∠AEC=∠DCE時(shí)，當(dāng)∠AEC=∠CDE時(shí)，當(dāng)∠AEC=∠DEC時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可； （3）連接B′H，B′D，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥B′D于點(diǎn)N，HM⊥BD于點(diǎn)M，證明△BMH≌△B′NHAAS，得出MH=HN，證明四邊形MDNH為正方形，得出∠HDM=∠HDN=45°，證明△DOE為等腰直角三角形，得出OD=OE=2，求出OB=203，得出BD=OB?OD=203?2=143，設(shè)MH=MD=m，則BM=143?m，證明MH∥OE，得出BMBO=MHOE，即143?m203=m2，求出m=1413，根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可． 【詳解】（1）解：將A5,0代入y=kx+203， 解得k=?43． 將x=2代入y=?43x+203，得a=4． （2）解：①當(dāng)∠AEC=∠DCE時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，舍去 ②當(dāng)∠AEC=∠CDE時(shí)，此時(shí)CE⊥OA，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F， ?? ∵C2,4， ∴OE=CF=2，OF=4， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE=90°， ∴∠CFD=∠CDE=∠DOE=90°， ∴∠FDC+∠ODE=∠ODE+∠OED=90°， ∴∠FDC=∠OED， ∴△CDF∽△DEO， ∴CFDF=ODOE， 設(shè)OD=x，則FD=4?x， 即24?x=x2， 解得：x1=x2=2， 經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解， ∴OD=2； ③當(dāng)∠AEC=∠DEC時(shí)，作CG⊥OA于點(diǎn)G ?? ∵EC平分∠DEG，CD⊥ED，CG⊥EA， ∴CD=CG=4， ∵DF=CD2?CF2=23， ∴OD=OF?DF=4?23； 綜上分析可知，OD=2或OD=4?23； （3）解：連接B′H，B′D，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥B′D于點(diǎn)N，HM⊥BD于點(diǎn)M，如圖所示： ?????? 由題意可得，B′D⊥BO， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，B′H⊥BH且B′H=BH， ∴∠BHB′=∠B′NH=∠BMH=90°， ∴∠BHM+∠MHB'=∠BHM+∠MBH=90°， ∴∠MBH=∠MHB′， ∵HM⊥BD，B′D⊥BO， ∴MH∥B′N， ∴∠MHB′=∠NB′H， ∴∠MBH=∠NB′H， ∴△BMH≌△B′NHAAS， ∴MH=HN， ∵∠HMD=∠MDN=∠DNH=90°， ∴四邊形MDNH為矩形， ∵M(jìn)H=HN， ∴四邊形MDNH為正方形， ∴∠HDM=∠HDN=45°， ∵∠CDE=90°， ∴∠NDE=90°?45°=45°， ∴∠ODE=90°?45°=45°， ∴△DOE為等腰直角三角形， ∴OD=OE=2， 把x=0代入y=kx+203得：y=203， ∴OB=203， ∴BD=OB?OD=203?2=143， 設(shè)MH=MD=m，則BM=143?m， ∵∠BMH=∠BOE=90°， ∴MH∥OE， ∴BMBO=MHOE， 即143?m203=m2， 解得m=1413， ∴S=143×1413×12=9839． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形相似的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的函數(shù)值，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，作出輔助線，注意進(jìn)行分類討論． 【變式4-2】（2023春·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°．求證：四邊形ABCD是等腰梯形； （2）若點(diǎn)M是直線AB上的一點(diǎn)，直線DM交直線BC于點(diǎn)N． ①當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），設(shè)BM=x，DM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域； ②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面積． ?? 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①y=x2+10x+37，定義域x≥0；②34 【分析】（1）過(guò)D作DE∥AB交BC于E，證明△DEC是等邊三角形即可； （2）①過(guò)D作DF⊥AB交AB于F，即可利用∠B=∠FAD=60°得到AF=12AD=2，DF=23，最后在Rt△FDM中利用勾股定理計(jì)算即可； ②先根據(jù)△AMD是等腰三角形求出BM=x，DM=y的值，再利用△BMN～△AMD求△BMN的面積即可． 【詳解】（1）過(guò)D作DE∥AB交BC于E，則∠B=∠DEC=60°， ?? ∵AD∥BC， ∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴AB=DE=3,AD=BE=4， ∵BC=7， ∴EC=BC?BE=3， ∴AB=DE=3=EC， ∴△DEC是等邊三角形， ∴AB=DE=3=EC=DC， ∴四邊形ABCD是等腰梯形； （2）①過(guò)D作DF⊥AB交AB于F， ?? ∵∠B=60°，AD∥BC， ∴∠B=∠FAD=60°， ∴AF=12AD=2，DF=AD2?AF2=23， ∵BM=x，DM=y ∴FM=FA+AB+BM=5+x 在Rt△FDM中DF2+FM2=DM2， ∴232+5+x2=y2，整理得y2=x2+10x+37 ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=x2+10x+37，定義域x≥0； ②∵AD∥BC， ∴△BMN～△AMD， ∴S△BMNS△AMD=BMMA2=xx+32， ∴S△BMN=xx+32S△AMD=xx+32×12DF?AM=xx+32×12×23×x+3=3x2x+3， ∵△AMD是等腰三角形， ∴當(dāng)AD=AM時(shí)，4=x+3，解得x=1，此時(shí)S△BMN=3x2x+3=34； 當(dāng)AD=DM時(shí)，y2=x2+10x+37=42，解得x1=?3,x2=?7，不符合題意； 當(dāng)DM=AM時(shí)，y2=x2+10x+37=x+32，解得x=?7，不符合題意； 綜上所述，S△BMN=34． 【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的判定，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)構(gòu)造30°直角三角形是是關(guān)鍵，尋找相似三角形是難點(diǎn)． 【變式4-3】（2023春·四川德陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DF∥BC，EF∥AB，若四邊形BDFE的面積為2，BD=13BA，BE=14BC，則△ABC的面積是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】延長(zhǎng)EF、DF分別交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM 、MN 、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解． 【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)EF、DF分別交AC于點(diǎn)M、N， ∵BD=13BA，BE=14BC， ∴CE=3BE，AD=2BD． ∵DF∥BC，EF∥AB， ∴CMAM=CEBE=3，ANCN=ADBD=2， ∴令A(yù)M=x，則CM=3x， ∴AC=4x， ∴AN=23AC=83x，CN=13AC=43x， ∴MN=AC?AM?CN=53x， ∴MNAN=58，MNCM=59． ∵M(jìn)F∥AD，NF∥CE, ∴△NMF∽△NAD,△NMF∥△CME, ∴S△NMFS△NAD=MNAN2=2564，S△NMFS△MEC=MNCM2=2581． ∴設(shè)S△NMF=25a，則S△NAD=64a，S△MEC=81a， ∴S四邊形FECN=56a， ∴S△ABC=S四邊形BDEF+S△NAD+S△MEC?S△NMF=2+120a． ∵DN∥BC, ∴△ADN∽△ABC, ∴S△ADNS△ABC=64a2+120a=ADAB2=49， 解得a=112， ∴S△ABC=2+120a=12． 故選D． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，平行線分線段成比例．一定的難度，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 【題型5 利用相似三角形的判定與結(jié)論求最值】 【例5】（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，F(xiàn)，G是AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=FG，BE⊥FG，連接EF，BG，當(dāng)EF+FG+BG的值最小時(shí)，CG的長(zhǎng)為 ． ?? 【答案】3 【分析】由勾股定理得BE=AB2+AE2=210，F(xiàn)G=210，可知當(dāng)EF+BG最小時(shí)，EF+FG+BG的值最小，如圖，以BE，BG為鄰邊作平行四邊形BGME，則BG=EM，BG∥EM，EF+BG=EF+EM，則當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，EF+BG=EF+EM=FM最短，證明△AEF∽△CBG，則EFBG=AFCG=AEBC=26=13，證明△EFN∽△BGN，則ENBN=EFBG=13，解得BN=3EN，由BN+EN=BE，可得BN=34BE=3102，設(shè)CG=x，則AF=13x，BF=6?13x，證明△BNF∽△BAE，則BFBE=BNAB，即6?13x210=31026，計(jì)算求解即可． 【詳解】解：∵正方形ABCD，AB=6，AE=2， ∴BE=AB2+AE2=210，∠BCG=∠A=90°， ∵BE=FG， ∴FG=210， 當(dāng)EF+BG最小時(shí)，EF+FG+BG的值最小， 如圖，以BE，BG為鄰邊作平行四邊形BGME，則BG=EM，BG∥EM， ?? ∴EF+BG=EF+EM， ∴當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，EF+BG=EF+EM=FM最短， ∴EF∥BG， ∴∠AFE=∠ABG， ∵∠AFE+∠AEF=90°=∠ABG+∠CBG， ∴∠AEF=∠CBG， 又∵∠EAF=∠BCG=90°， ∴△AEF∽△CBG， ∴EFBG=AFCG=AEBC=26=13， ∵EF∥BG， ∴∠EFN=∠BGN，∠FEN=∠GBN， ∴△EFN∽△BGN， ∴ENBN=EFBG=13，解得BN=3EN， ∵BN+EN=BE， ∴BN=34BE=3102， 設(shè)CG=x，則AF=13x，BF=6?13x， ∵∠FBN=∠EBA，∠BNF=∠BAE=90°， ∴△BNF∽△BAE， ∴BFBE=BNAB，即6?13x210=31026，解得x=3， 故答案為：3． 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用． 【變式5-1】（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC=90°，BD=3，且mn=12，則m+n的最大值為 ． 【答案】274 【分析】如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l1于E，延長(zhǎng)EB交l3于F，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥l2于N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥l2于M，設(shè)AE=x，CF=y，則BN=x,BM=y，可求出△ABE∽△BCF，得xy=mn，求△CMD∽△AND得，y=9?2x，且mn=12，可求出mn=xy=x(9?2x)=?2x2+9x=2m2，由此即可求解． 【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l1于E，延長(zhǎng)EB交l3于F，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥l2于N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥l2于M， 設(shè)AE=x，CF=y，則BN=x,BM=y， ∵BD=3， ∴DM=y?3，DN=3?x， ∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°， ∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠EAB=∠CBF， ∴△ABE∽△BCF， ∴AEBF=BECF，即xn=my， ∴xy=mn， ∵∠ADN=∠CDM， ∴△CMD∽△AND， ∴ANCM=DNDM，即mn=3?xy?3， ∵mn=12， ∴3?xy?3=12，n=2m， ∴y=9?2x， ∴(m+n)=3m， ∵mn=xy=x(9?2x)=?2x2+9x=2m2， ∴2m2=?2x?942+818， ∴當(dāng)x=94時(shí)，m最大=94， ∴m+n的最大值為3m=3×94=274， 故答案為：274． 【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，做輔助線，圖形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)D繞點(diǎn)C引順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)E，所得的△CDE邊DE與BC交于點(diǎn)F，則CFDE的最小值為 ． ???? 【答案】32 【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△CDE為等邊三角形，由△CEF∽△CAD得到CFCD=CEAC，即CFDE=CDAC，從而得到當(dāng)CD最小時(shí)，比值最小，再由“垂線段最短”得到當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD值最小，作出對(duì)應(yīng)圖形，利用“△ACD是含30°角的直角三角形”求出CDAC，從而得解． 【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE為等邊三角形， ∴DE=CD=CE，∠A=∠DEC=60° ∵∠ACD+∠DCB=60° ∠DCB+∠ECF=60° ∴∠ACD=∠ECF ∵∠A=∠DEC=60°，∠ACD=∠ECF ∴△CEF∽△CAD ∴CFCD=CEAC，即CFDE=CDAC ∵AC為定值， ∴當(dāng)CD最小時(shí)，比值最?。?根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD值最小， 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，并補(bǔ)全圖形如下： ?? ∵△ABC是等邊三角形，CD⊥AB，∠ACB=60° ∴∠ACD=12∠ACB=30° 設(shè)AC=2a，則AD=12AC=a ∴CD=AC2?AD2=3a， ∴此時(shí)CFDE=CDAC=3a2a=32， 即CFDE的最小值為32． 故答案為：32． 【點(diǎn)睛】此題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變化與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，理解“垂線段最短”和利用相似三角形的性質(zhì)將CFDE轉(zhuǎn)化為CDAC是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿線段CD方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)． ?? (1)用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)； (2)當(dāng)PQ與矩形的對(duì)角線平行時(shí)，求t的值； (3)若點(diǎn)M為DQ的中點(diǎn)，求以M、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)t的值； (4)直接寫(xiě)出點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′落在△ACD內(nèi)部時(shí)t的取值范圍． 【答案】(1)當(dāng)0

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本

單元綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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