1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運算.3.掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的 稱為樣本點，常用ω表示.全體樣本點的集合稱為試驗E的 ，常用Ω表示.②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.
(2)隨機事件 ①定義：將樣本空間Ω的 稱為隨機事件，簡稱事件.②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.③隨機事件的極端情形： 、 .
2.兩個事件的關(guān)系和運算
事件A與事件B至少有一個發(fā)生
A∩B＝?，且A∪B＝Ω
3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點只有 ；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性 .4.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝ ＝ .其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).
5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ；
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝__________ .
6.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸 事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
1.當(dāng)隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.2.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　)(2)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.(　　)(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(　　)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.(　　)
2.(必修第二冊P235T1改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是A.至少有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶
射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.
3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為A.0.2　　　B.0.3　　　C.0.7　　　D.0.8
由題意知該同學(xué)的身高小于160 cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過175 cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.
4.(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_____.
命題點1　隨機事件間關(guān)系的判斷例1　(1)(多選)(2023·大連模擬)有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”，下列命題正確的是A.E與G是互斥事件B.F與I互為對立事件C.F與G不是互斥事件D.G與I是互斥事件
題型一　隨機事件的關(guān)系
對于A，E與G有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，所以F與I互為對立事件，故B正確；對于C，F(xiàn)與G可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對于D，G與I可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤.
(2)(多選)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是A.A?BB.A∩B＝?C.A∪B＝“至少一次中靶”D.A與B互為對立事件
事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是對立事件，所以A，D錯誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確.
命題點2　利用互斥、對立事件求概率例2　某商場的有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎券的中獎概率；
設(shè)“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，
(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.
設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與事件“1張獎券中特等獎或中一等獎”互為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]
命題點3　用頻率估計概率例3　(多選)某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計了食用大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種)，結(jié)果如表所示：
假設(shè)隨機抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計事件發(fā)生的概率，則下列結(jié)論正確的是A.P(M)＝0.55 B.P(N)＝0.26C.P(H)＝0.19 D.P(N∪H)＝0.65
P(N∪H)表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D錯誤.
事件關(guān)系的運算策略進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.當(dāng)事件是由互斥事件組成時，運用互斥事件的概率加法公式.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)從裝有10個紅球和10個白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對立的兩個事件的是A.至少有一個紅球；至少有一個白球B.恰有一個紅球；都是白球C.至少有一個紅球；都是白球D.至多有一個紅球；都是紅球
對于A，“至少有一個紅球”可能為一個紅球、一個白球，“至少有一個白球”也可能為一個白球、一個紅球，故兩事件可能同時發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個紅球”，則另一個必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于D，“至多有一個紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件.
(2)某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20,0.25,0.3,0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是________.
由題意可知，恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率為P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.
例4　(1)(2023·湖北省十一校聯(lián)考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是
這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28個樣本點，這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的樣本點有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4個，
(2)(2023·秦皇島模擬)某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團，學(xué)生們都能自主選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為
利用公式法求解古典概型問題的步驟
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2023·濟南模擬)從正六邊形的6個頂點中任取3個構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為
其中直角三角形，每邊對應(yīng)2個，如圖，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(個)，
(2)(2024·茂名模擬)從1,2,3,4,5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為
要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，
題型三　概率的綜合問題
例5　某省高考目前實行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門，已知某大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門.(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；
用a，b分別表示事件“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示事件“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12個樣本點，設(shè)M＝“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5個樣本點，
(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.
設(shè)“甲、乙、丙三人每人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”的事件分別是N1，N2，N3，由題意知事件N1，N2，N3相互獨立.
記N＝“甲、乙、丙三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，
求解概率的綜合問題時，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計算.
跟蹤訓(xùn)練3　為了備戰(zhàn)2024年法國巴黎奧運會(第33屆夏季奧林匹克運動會)，中國射擊隊的甲、乙兩名運動員展開隊內(nèi)對抗賽.甲、乙兩名運動員對同一目標(biāo)各射擊一次，且兩人命中目標(biāo)與否互不影響.已知甲命中目標(biāo)的概率為 ，乙命中目標(biāo)的概率為 .(1)求甲沒有命中目標(biāo)的概率；
(2)在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標(biāo)的概率.
由題意知事件A，B相互獨立，
一、單項選擇題1.從編號為1,2,3,4的4個球中，任取2個球，則這2個球的編號之和為偶數(shù)的概率是
從編號為1,2,3,4的4個球中，任取2個球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種情況，其中這2個球的編號之和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(2,4)，共2種情況，
2.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的民俗風(fēng)情，在世界上獨樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為
3.在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗中，事件 發(fā)生的概率為
擲一枚骰子的試驗有6種等可能的結(jié)果，
4.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，則下列關(guān)系不正確的是A.A?D B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2種情況，故A?D，A∪C＝D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D＝?，故B正確，A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D錯誤.
5.(2024·杭州模擬)四位爸爸A，B，C，D相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則A的小孩與D交談的概率是
方法二　設(shè)A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，則交談組合有9種情況，分別為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
6.(2023·南通調(diào)研)將一個骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為
根據(jù)題意，將一個骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有6種情況，則共有63＝216(種)情況，它落地時向上的點數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時向上的點數(shù)不同，則為1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6種可能，
②若落地時向上的點數(shù)全相同，有6種情況，
二、多項選擇題7.某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”.甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則A.事件A和事件B是對立事件B.事件A和事件C是對立事件C.P(B∪C)＝P(C)D.P(BC)＝P(C)
因為A∪B表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯誤；事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；又因為B?C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正確；P(BC)＝P(B)，故D錯誤.
8.小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間(單位：分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：則下列說法正確的是A.任選一條線路，“所需時間 小于50分鐘”與“所需時間 為60分鐘”是對立事件B.線路一所需的平均時間比線路二少C.如果要求用不超過40分鐘的時間從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04
“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，所以A錯誤；線路一所需的平均時間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分鐘)，線路二所需的平均時間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分鐘)，所以線路一所需的平均時間比線路二少，所以B正確；
線路一所需時間不超過40分鐘的概率為0.7，線路二所需時間不超過40分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以C錯誤；所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時間可以為(50,60)，(60,50)和(60,60)三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正確.
三、填空題9.(2023·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)由于夏季炎熱，某小區(qū)用電量過大，據(jù)統(tǒng)計，一天停電的概率為0.3，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0,1,2表示當(dāng)天停電；用3,4,5,6,7,8,9表示當(dāng)天不停電，現(xiàn)以兩個隨機數(shù)為一組，表示連續(xù)兩天停電情況，經(jīng)隨機模擬得到以下30組數(shù)據(jù).28　21　79　14　56　74　06　89　53　9014　57　62　30　93　78　63　44　71　2867　03　53　82　47　23　10　94　02　43根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為_______.
由題意可知連續(xù)兩天中恰有一天停電的情況有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12種，
10.(2023·益陽質(zhì)檢)甲、乙兩人要在一排六個空座上就坐，求甲、乙中間有空位的概率為_____.
11.通過手機驗證碼注冊某APP時，收到的驗證碼由四位數(shù)字隨機組成，如果某人收到的驗證碼a1a2a3a4滿足a1

相關(guān)課件

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2 直線的方程復(fù)習(xí)ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2 直線的方程復(fù)習(xí)ppt課件，共60頁。PPT課件主要包含了落實主干知識，x軸正向，°≤α180°，正切值，tanα，y＝kx＋b，1－1，探究核心題型，故方程為x＋y＝5，即x＋2y－4＝0等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 雙曲線復(fù)習(xí)ppt課件：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.2 雙曲線復(fù)習(xí)ppt課件，共60頁。PPT課件主要包含了落實主干知識，絕對值，F(xiàn)1F2＝2c，x≤－a，x≥a，坐標(biāo)軸，A1A2，1＋∞，a2＋b2，探究核心題型等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊10.2 事件的相互獨立性復(fù)習(xí)ppt課件：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊10.2 事件的相互獨立性復(fù)習(xí)ppt課件，共60頁。PPT課件主要包含了落實主干知識，PAPB，PAPBA，－PBA，探究核心題型，求條件概率的常用方法，課時精練，單項選擇題，因為事件B?A等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊第七章 隨機變量及其分布7.2 離散型隨機變量及其分布列復(fù)習(xí)ppt課件

數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊第七章 隨機變量及其分布7.2 離散型隨機變量及其分布列復(fù)習(xí)ppt課件
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.3 二項式定理復(fù)習(xí)ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.3 二項式定理復(fù)習(xí)ppt課件
人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊第七章 隨機變量及其分布7.5 正態(tài)分布復(fù)習(xí)ppt課件

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊第七章 隨機變量及其分布7.5 正態(tài)分布復(fù)習(xí)ppt課件
第十章　§10.3　隨機事件與概率-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）

第十章　§10.3　隨機事件與概率-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

10.1 隨機事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部