專題2.2 一元二次方程的解法【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc25272" 【題型1 用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc25272 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc28978" 【題型2 配方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc28978 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc14325" 【題型3 公式法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc14325 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc21768" 【題型4 因式分解法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc21768 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc4587" 【題型5 用指定方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc4587 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc9824" 【題型6 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠? PAGEREF _Toc9824 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc12627" 【題型7 用換元法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc12627 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc31343" 【題型8 配方法的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc31343 \h 23  【知識(shí)點(diǎn)1 直接開(kāi)平方法解一元二次方程】 根據(jù)平方根的意義直接開(kāi)平方來(lái)解一元二次方程的方法，叫做直接開(kāi)平方法. 直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式； ②直接開(kāi)平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解. 【題型1 用直接開(kāi)平方法解一元二次方程】 【例1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將方程(2x－1)2=9的兩邊同時(shí)開(kāi)平方， 得2x－1=________， 即2x－1＝________或2x－1＝________， 所以x1＝________，x2＝ ________． 【答案】 ±3 3 －3 2 －1 【分析】依照直接開(kāi)平方法解一元二次方程的方法及步驟,一步步解出方程即可. 【詳解】∵(2x－1)2=9 ∴2x－1=±3 ∴2x－1＝3，2x－1＝-3 ∴x1＝2，x2＝-1 【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程直接開(kāi)平方法，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵. 【變式1-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接開(kāi)方法） 【答案】x1＝4，x2＝﹣2． 【分析】直接利用開(kāi)方法進(jìn)行求解即可得到答案； 【詳解】解：∵4x?12?36=0 ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2 【變式1-2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如果方程(x?5)2=m?7可以用直接開(kāi)平方求解，那么m的取值范圍是（????）. A．m>0 B．m?7 C．m>7 D．任意實(shí)數(shù) 【答案】B 【分析】根據(jù)m?7≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解，可求出m的取值范圍． 【詳解】由題意可知m?7≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解，解不等式得m?7，故選B． 【點(diǎn)睛】形如x+m2=a的一元二次方程當(dāng)a≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解． 【變式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用直接開(kāi)平方解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為(??) A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0 【答案】A 【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根即可求出答案． 【詳解】解：（A）移項(xiàng)可得x2=?9，故選項(xiàng)A無(wú)解； （B）?2x2=0，即x2=0，故選項(xiàng)B有解； （C）移項(xiàng)可得x2=3，故選項(xiàng)C有解； （D）x?22=0，故選項(xiàng)D有解； 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法． 【知識(shí)點(diǎn)2 配方法解一元二次方程】 將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二 次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④ 把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法 來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解． 【題型2 配方法解一元二次方程】 【例2】（2023春·九年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過(guò)程． 3x2?52=12x． 解：兩邊同除以3，得______________________________． 移項(xiàng)，得x2?16x=56． 配方，得_________________________________， 即(x?112)2=121144． 兩邊開(kāi)平方，得__________________， 即x?112=1112，或x?112=?1112． 所以x1=1，x2=?56． 【答案】x2?56=16x??x2?16x+(112)2=56+(112)2??x?112=±1112 【分析】方程兩邊除以3把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開(kāi)方即可求出解． 【詳解】3x2?52=12x． 解：兩邊同除以3，得x2?56=16x． 移項(xiàng)，得x2?16x=56． 配方，得x2?16x+(112)2=56+(112)2， 即(x?112)2=121144． 兩邊開(kāi)平方，得x?112=±1112， 即x?112=1112，或x?112=?1112． 所以x1=1，x2=?56． 【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解一元二次方程： (1)x2?3x?1=0（配方法）； (2)2x2?7x+3=0（配方法）． 【答案】(1)x1=3+132，x2=3?132 (2)x1=12，x2=3 【分析】（1）將常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)到右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解； （2）方程兩邊都除以2并將常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)到右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解． （1） 解： x2?3x?1=0 ，?? 方程變形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ 94 =1+ 94 ，即（x－ 32 ）2= 134 ， 開(kāi)方得：x－ 32 =± 132 ， 解得：x1= 3+132 ，x2= 3?132 ； （2） 解：移項(xiàng)得：2x2?7x=?3 系數(shù)化1得：x2?72x=?32 兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：x2?72x+742=?32+742 配方得：x?742=2516 開(kāi)方得：x?74=±54 解得：x1=12，x2=3． 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法：配方法．熟練掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·山西太原·九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程2x2?5x+2=0．請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答． 解：方程變形為2x2?5x+(52)2?(52)2+2=0，.......................第一步 配方，得(2x?52)2?174=0．.......................................第二步 移項(xiàng)，得(2x?52)2=174．..........................................第三步 兩邊開(kāi)平方，得2x?52=±172．...................................第四步 即2x?52=172或2x?52=?172．................................第五步 所以x1=5+174，x2=5?174．..................................第六步 （1）上述解法錯(cuò)在第 步； （2）請(qǐng)你用配方法求出該方程的解． 【答案】（1）一；（2）x1=2，x2=12． 【詳解】試題分析：將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)右邊，兩邊都加上(54)2，左邊化為完全平方式，右邊合并，開(kāi)方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 試題解析：變形得：x2?52x+1=0，變形得：x2?52x=?1，配方得：x2?52x+(54)2=?1+(54)2，即(x?54)2=916，開(kāi)方得：x?54=±34，則x1=2，x2=12． 考點(diǎn)：解一元二次方程-配方法． 【變式2-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）請(qǐng)用配方法解方程2x2?6x+3=0； （2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0． 【答案】（1）x1=3+3，2x2=3?32；（2）x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a 【分析】（1）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方； （2）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫(xiě)成完全平方式，最后再直接開(kāi)平方； 【詳解】解：（1）2x2?6x+3=0 兩邊同時(shí)除以2得：x2?3x+32=0， 移項(xiàng)得：x2?3x=?32， 兩邊同時(shí)加上(32)2得：x2?3x+(32)2=?32+(32)2， 配方得：(x?32)2=34， 解得：x1=3+3，2x2=3?32； （2）ax2+bx+c=0a≠0 兩邊同時(shí)除以a得：x2+bax+ca=0， 移項(xiàng)得：x2+bax=?ca， 兩邊同時(shí)加上(b2a)2得：x2+b2ax+(b2a)2=?ca+(b2a)2， 配方得：(x+b2a)2=?4ac+b24a2， 當(dāng)b2?4ac>0時(shí)， 解得：x1=?b+b2?4ac2a，x2=?b?b2?4ac2a， 當(dāng)b2?4ac=0時(shí)， x1=x2=?b2a， 當(dāng)b2?4acN． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）選取二次三項(xiàng)式ax2+bx+ca≠0中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方．例如 ①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：x2?4x+2=x?22?2； ②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：x2?4x+2=x?22+22?4x， 或x2?4x+2=x+22?4+22x ③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：x2?4x+2=2x?22?x2 根據(jù)上述材料，解決下面問(wèn)題： （1）寫(xiě)出x2?8x+4的兩種不同形式的配方； （2）已知x2+y2+xy?3y+3=0，求xy的值． 【答案】（1）答案解析；（2）1． 【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方進(jìn)行配方和二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)在一起進(jìn)行配方即可． （2）根據(jù)配方法的步驟把x2+y2+xy?3y+3=0變形為x+y22+34y?22=0，再根據(jù)偶次冪的非負(fù)性質(zhì)得到x+y2=0y?2=0，求出x，y的值，即可得出答案． 【詳解】解：（1）x2?8x+4=x2?8x+16?16+4=(x?4)2?12， 或x2?8x+4=x2?4x+4?8x+4x=x?22?4x． （2）∵x2+y2+xy?3y+3=0， ∴x2+xy+y24+3y24?3y+3=0，即x+y22+34y?22=0． ∴x+y2=0y?2=0，解得x=?1y=2． ∴xy=?12=1． 【變式8-3】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在測(cè)量時(shí)，為了確定被測(cè)對(duì)象的最佳值，經(jīng)常要對(duì)同一對(duì)象測(cè)量若干次，然后選取與各測(cè)量數(shù)據(jù)的差的平方和為最小的數(shù)作為最佳近似值．例如測(cè)量數(shù)據(jù)為0.8，1.2，1.3，1.5時(shí)，設(shè)最佳值為a，那么(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)2應(yīng)為最小，此時(shí)a=_________；設(shè)某次實(shí)驗(yàn)測(cè)量了m次，由這m次數(shù)據(jù)的得到的最佳值為a1；又測(cè)量了n次，這n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為a2，則利用這m+n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為_(kāi)_________． 【答案】 1.2 ma1+na2m+n 【分析】利用完全平方公式展開(kāi)后合并，再將(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)2配方得到4a?1.22+1.26，則利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)a=1.2時(shí)，代數(shù)式有最小值；m+n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為m+n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【詳解】解：(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)2 =a2?1.6a+0.82+a2?2.4a+1.22+a2?2.6a+1.32+a2?3a+1.52 =4a2?9.6a+7.02 =4a?1.22+1.26， ∵4a?1.22≥0， ∴當(dāng)a=1.2時(shí)，(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)2有最小值； ∵m次數(shù)據(jù)的得到的最佳值為a1，n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為a2， 設(shè)最佳值為a，與m個(gè)數(shù)據(jù)的差的平方和為m(a?a1)2+t，與n個(gè)數(shù)據(jù)的差的平方和為n(a?a2)2+s， m(a?a1)2+t+n(a?a2)2+s =ma2?2ma1a+ma12+t+na2?2na2a+na22+s =(m+n)a?ma1+na2m+n2?(ma1+na2)2m+n+ma12+na22+t+s 當(dāng)a=ma1+na2m+n時(shí)，m(a?a1)2+t+n(a?a2)2+s最小， ∴m+n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為ma1+na2m+n． 故答案為：1.2，ma1+na2m+n． 【點(diǎn)睛】本題考查了配方法：根據(jù)完全平方公式為a2±2ab+b2=a±b2，二次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式配成完全平方式是加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，注意等式是恒等變形是解題關(guān)鍵．

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