數(shù)學3 平行線的判定精品課后復習題-試卷下載-教習網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc152" 【題型1 定義與命題】 PAGEREF _Tc152 \h 1
\l "_Tc1780" 【題型2 判斷命題真假】 PAGEREF _Tc1780 \h 3
\l "_Tc27130" 【題型3 推理與論證】 PAGEREF _Tc27130 \h 5
\l "_Tc24776" 【題型4 確定兩直線平行的條件】 PAGEREF _Tc24776 \h 7
\l "_Tc22063" 【題型5 補充過程證明兩直線平行】 PAGEREF _Tc22063 \h 11
\l "_Tc31798" 【題型6 利用平行線的判定進行證明】 PAGEREF _Tc31798 \h 15
\l "_Tc31835" 【題型7 旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】 PAGEREF _Tc31835 \h 19
\l "_Tc22126" 【題型8 平行線判定的實際應用】 PAGEREF _Tc22126 \h 24
【知識點1 定義與命題】
1、命題的概念
敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命題。
備注：（1）命題必須是一個完整的句子。
（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。
2、命題的結(jié)構(gòu)
每個命題都有題設和結(jié)論兩部分組成。題設是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。
【題型1 定義與命題】
【例1】（2023下·河北滄州·八年級?？茧A段練習）下列語句中：①若∠1=60°，則∠1=∠2；②同位角相等嗎？③畫線段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命題的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【分析】根據(jù)命題的定義逐項判斷即可．
【詳解】②③都不是判斷一件事情的語句，不是命題；①④⑤為判斷一件事情的語句，是命題．
故選：B．
【點睛】本題主要考查命題的識別，牢記命題的定義（判斷一件事情的語句叫做命題）是解題的關鍵．
【變式1-1】（2013下·八年級課時練習）下列敘述錯誤的是( )
A．所有的命題都有條件和結(jié)論B．所有的命題都是定理
C．所有的定理都是命題D．所有的公理都是真命題
【答案】B
【詳解】A.所有的命題都有條件和結(jié)論，
C.所有的定理都是命題，
D.所有的公理都是真命題，
均正確，不符合題意；
B.只有真命題才是定理，故錯誤，本選項符合題意
故選：B
【點睛】概念問題是數(shù)學學習的基礎，很重要，但此類問題往往知識點比較獨立，故在中考中不太常見，常以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，屬于基礎題，難度一般.
【變式1-2】（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）把命題“對頂角相等”寫成“如果……那么……”的形式是：

【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等
【分析】先找到命題的題設和結(jié)論，再寫成“如果…那么…”的形式．
【詳解】解：把命題“對頂角相等”寫成“如果……那么……”的形式是“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”；
故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等
【點睛】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關鍵是找到相應的條件和結(jié)論，比較簡單．
【變式1-3】（2023下·四川涼山·八年級?？茧A段練習）下列命題①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；②相等的角是對頂角；③等角的補角相等；④垂線段最短可作為定理的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理對①進行判斷；根據(jù)對頂角的定義對②進行判斷；根據(jù)補角的定義對③進行判斷；根據(jù)直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短可對④進行判斷．
【詳解】解∶兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，所以①可作為定理；
相等的角是對頂角是假命題，所以②不能作為定理；
等角的補角相等，所以③可作為定理；
垂線段最短，所以④可作為定理．
故選∶ C．
【點睛】本題考查了命題與定理∶判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．
【知識點2 真命題與假命題】
如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題。
備注：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。
【題型2 判斷命題真假】
【例2】（2023上·安徽合肥·八年級?？计谥校┫铝忻}：①在同一平面內(nèi)，已知直線a、b，若a⊥b,b⊥c，則a⊥c；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種；③過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直；④已知直線a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命題是（）
A．①②③B．②④C．②③④D．③④
【答案】B
【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)平行線的判定，垂線的性質(zhì)，平面內(nèi)直線的位置關系，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，已知直線a、b，若a⊥b,b⊥c，則a∥c；故①錯誤；
②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種；故②正確；
③同一平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直；故③錯誤；
④已知直線a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，故④正確；
故真命題有②④；
故選B．
【變式2-1】（2023上·浙江·八年級周測）下列可以作為命題“若x>y，則x2>y2”是假命題的反例是（）
A．x=?2，y=?1B．x=2，y=?1C．x=?1，y=?2D．x=2，y=1
【答案】C
【分析】此題主要考查了利用舉反例說明一個命題錯誤，要證明一個例題不成立，可以通過舉反例：即符合命題條件，但不符合命題結(jié)論．
【詳解】解：∵當x=?1，y=?2時，?22>?12，而?2y，但是x2b，則a>b”是命題．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷真假即可．
【詳解】解：∵?5>2，但?5b，則a>b”是假命題．
故答案為：假
【變式2-3】（2023上·八年級單元測試）指出下列命題的題設和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．
（1）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；
（2）內(nèi)錯角相等；
（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．
【答案】（1）題設：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；（2）題設：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等；是假命題，反例見解析；（3）題設：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯角相等．是真命題．
【分析】（1）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設，“那么”后面寫結(jié)論可得題設和結(jié)論，根據(jù)平角的定義可得該命題是真命題；
（2）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設，“那么”后面寫結(jié)論可得題設和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是假命題；利用相交直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角不相等可舉反例；
（3）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設，“那么”后面寫結(jié)論可得題設和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是真命題；．
【詳解】（1）題設：如果兩個角的和等于平角，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；
（2）題設：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯角，∠2＞∠1；
（3）題設：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯角相等．是真命題．
【點睛】本題考查了命題與定理的相關知識．將命題寫成“如果…，那么…”的形式，就是要明確命題的題設和結(jié)論，“如果”后面寫題設，“那么”后面寫結(jié)論．關鍵是明確命題與定理的組成部分，會判斷命題的題設與結(jié)論．
【題型3 推理與論證】
【例3】（2023·浙江·八年級期末）最近網(wǎng)上一個燒腦問題的關注度很高（如圖所示），通過仔細觀察、分析圖形，你認為打開水龍頭，哪個標號的杯子會先裝滿水（）
A．3號杯子B．5號杯子C．6號杯子D．7號杯子
【答案】A
【分析】根據(jù)水先從位置低的出口可判斷先灌滿1號杯子左側(cè)幾個杯子，再觀察3號杯子的兩個出口即可得出答案．
【詳解】解：∵1號杯子左側(cè)出口比右側(cè)高，
∴水先從左側(cè)流出，進入3號杯子，
∵3杯子左側(cè)封閉，只有右側(cè)流出，而右側(cè)流入5號杯子，但5號杯子的出口端封閉
∴水最終會先灌滿3號杯子，
故選：A．
【點睛】本題考查推理與論證，解題的關鍵是掌握水先從位置低的出口流出，并仔細觀察各出口閉合狀態(tài)即可．
【變式3-1】（2023·江西上饒·八年級期中）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統(tǒng)工藝美術技藝．起源于戰(zhàn)國時期，在漆器表面，用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數(shù)以朱漆為底．描金工作分為兩道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描繪花紋．現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描繪花紋．每道工序所需的時間(單位：小時)如下：
則完成這三件原料的描金工作最少需要小時．
【答案】47
【分析】根據(jù)分析，甲按A、C、B的順序，乙中途不會出現(xiàn)停頓進行解答即可．
【詳解】甲按A、C、B的順序，完成這三件原料的描金工作最少需要10+13+16+8=47（小時），
故答案為：47．
【點睛】此題考查推理與論證，關鍵是得出工作順序．
【變式3-2】（2023上·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）A，B，C，D，E五名同學猜測自己的數(shù)學成績. A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒說錯，但只有三個人得優(yōu)，請問得優(yōu)的三個人是（填字母）.
【答案】C,D,E
【分析】本題考查邏輯推理，根據(jù)題意結(jié)合反證法的思想作相應推理得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意，若A得優(yōu)，則A，B，C，D，E均為優(yōu)，不合題意，則A非優(yōu)；若B得優(yōu)，則B，C，D，E均為優(yōu)，不合題意，故B非優(yōu)；因只有三個得優(yōu)，故C,D,E得優(yōu)．
故答案為：C,D,E
【點睛】本題考查邏輯推理,根據(jù)題意由條件，得出相應結(jié)論，運用反證法的思想是解題問題的關鍵．
【變式3-3】（2023·江蘇·南京外國語學校八年級期中）字母a，b，c，d各代表正方形、線段、正三角形、圓四個圖形中的一種，將它們兩兩組合，并用字母連接表示，如表是三種組合與連接的對應表，由此可推斷圖形的連接方式為 .
【答案】a⊕c
【分析】首先根據(jù)已知圖形中兩個圖形中共同含有的圖形，就可以判斷每個符號所代表的圖形，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：結(jié)合題表中前兩個圖可以看出：b代表正方形；
結(jié)合后兩個圖可以看出：d代表圓；
因此a代表線段，c代表三角形，
所以圖形的連接方式為：a⊕c.
故答案為a⊕c.
【點睛】本題主要考查推理與論證，觀察、分析識別圖形的能力；解決此題的關鍵是通過觀察圖形確定a，b，c，d各代表什么圖形．
【知識點3 平行線的判定】
①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.
②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行. （內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.）
【題型4 確定兩直線平行的條件】
【例4】（2023下·安徽六安·八年級?？茧A段練習）如圖，下列條件能判定AB∥CD的是（）

∠1=∠3B．∠4＝∠5
C．∠B=∠DD．∠B+∠2+∠4=180°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解判斷即可．
【詳解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合題意；
B．∠4=∠5，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意；
C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合題意；
D．∠B+∠4+∠2=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判定AB∥CD，符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記“同位角相等，兩直線平行”、“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”及“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”是解題的關鍵．
【變式4-1】（2023下·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列說法錯誤的是（）

A．若∠1=∠2，則AB∥CDB．若∠1+∠3=180°，則AB∥CD
C．若∠3=∠5，則AB∥CDD．若∠4=∠5，則AB∥CD
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，對各項進行判斷即可．
【詳解】解：A、∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可判定AB∥CD，故本選項不符合題意；
B、如圖，

∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，
∴∠3=∠6，
∴AB∥CD，故本選項不符合題意；
C、∠3，∠5不是內(nèi)錯角，故∠3=∠5不能判定AB∥CD，本選項錯誤，故本選項符合題意；
D、∠4，∠5是內(nèi)錯角，可以判定出AB∥CD，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答本題的關鍵．
【變式4-2】（2023下·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．
【詳解】因為∠1=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合題意；
因為∠3=∠4，
不能判斷DE∥BC，
故B符合題意；
因為∠5=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合題意；
因為∠B+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．
【變式4-3】（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能夠判定直線a∥b的是．（只填序號）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可判斷①；根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷③；根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，即可判斷④；根據(jù)同角的補交相等可得∠4=∠6，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷⑤；過點B作BD∥b，則∠3=∠ABD，從而得出∠2=∠CBD，進而得出BD∥a，最后根據(jù)平行于同一直線的兩直線互相平行，即可判斷⑥．
【詳解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能夠判定直線a∥b，符合題意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合題意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能夠判定直線a∥b，符合題意；
④∵∠3+∠4=180°，
∴a∥b，
故④能夠判定直線a∥b，符合題意；
⑤∵∠5+∠6=180°，∠5+∠4=180°，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能夠判定直線a∥b，符合題意；
⑥過點B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能夠判定直線a∥b，符合題意；
綜上：能夠判定直線a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案為：①③④⑤⑥．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定定理，解題的關鍵是掌握：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線互相平行．
【題型5 補充過程證明兩直線平行】
【例5】（2023下·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）請把以下說理過程補充完整：
如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
說明BE與DF平行的理由．
解：理由是：
因為AB⊥BC ，
所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．
因為∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，
所以___________=___________（___________）．
所以BE∥DF（_____________________）．
【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等兩直線平行
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定義得到∠ABC為直角，進而得到∠3與∠4互余，再由∠1與∠2互余，根據(jù)∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等兩直線平行即可得證．
【詳解】解：理由是：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°．
又∵∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE//DF．
理由是：同位角相等，兩直線平行．
故答案為：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，兩直線平行．
【點睛】本題考查了平行線的判定以及余角和補角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解題的關鍵．
【變式5-1】（2023下·北京延慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求證：AB∥CD．請將下面的證明過程補充完整．
證明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（），
∴∠1=∠B（）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝（）．
∴AB∥CD（）．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行的判定定理證明即可．
【詳解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定義），
∴∠1=∠B（同角的補角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代換）．
∴AB∥CD（同位角相等，兩條直線平行）．
【點睛】本題考查平行線的判定定理，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
【變式5-2】（2023下·四川達州·八年級校考階段練習）推理填空：
已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求證：BE∥CF．

證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余
又∵∠1=∠2（），
∴ ＝（）
∴BE∥CF（）．
【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行
【分析】注意觀察圖中角之間的位置關系，主要依據(jù)為同角或等角的余角相等，平行線的判定定理．
【詳解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等角的余角相等）
∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
【點睛】本題主要考查同角或等角的余角相等，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；熟練相關定理的運用是解題的關鍵．
【變式5-3】（2023下·浙江·八年級專題練習）完成下面的證明：已知：如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求證：AB∥CD．
證明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分線的定義）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （）．
∴AB∥CD（）．
【答案】角平分線的定義；2∠2；等式的性質(zhì)；180°；等量代換；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
【分析】首先根據(jù)角平分線的定義可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根據(jù)等量代換可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，進而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得答案．
【詳解】證明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（角平分線的定義）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分線的定義）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（等式的性質(zhì)）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代換）．
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．
【點睛】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握角平分線定義和平行線的判定方法．
【題型6 利用平行線的判定進行證明】
【例6】（2023下·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，點B，C，E在同一直線上．

(1)∠DAB+∠B等于多少度？
(2)若∠B=∠D，AB與CD平行嗎？證明你的結(jié)論．
【答案】(1)180
(2)平行，理由見解析
【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根據(jù)∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B計算即可；
（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，結(jié)合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，即可證明AB與CD平行．
【詳解】（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
又∵∠1=30°，∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，
故∠DAB+∠B等于180度．
（2）∵∠B=∠D，
由（1）得：∠DAB+∠B=180°，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴ AB與CD平行．（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
【點睛】本題考查了角度計算、平行線的判定，熟練計算、掌握平行線的判定定理“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，是解題的關鍵．
【變式6-1】（2023下·廣東東莞·八年級?？计谥校┰谒倪呅蜛BCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．證明：AD∥BC．

【答案】見解析
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得證．
【詳解】證明：∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2，
又∵ ∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ AD∥BC．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵．
【變式6-2】（2023下·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，將△ABD沿AD翻折得到△AED，設BC與AE交于點F．
(1)若△ABF的周長為12，△DEF的周長4，求AF的長；
(2)若∠ADC=∠DAC，證明：DE∥AC．
【答案】(1)AF的長為4；
(2)見解析
【分析】（1）設BD=a，DF=b，AF=x，由折疊的性質(zhì)得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根據(jù)周長公式列式計算即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)得∠ADB=∠ADE，由鄰補角的性質(zhì)結(jié)合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：設BD=a，DF=b，AF=x，
∵將△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，
∵△DEF的周長4，
∴EF=4?a+b，
∴AB=x+4?a+b，
∵△ABF的周長為12，，
∴x+4?a+b+a+b+x=12，
解得x=4，即AF的長為4；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)得∠ADB=∠ADE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∵∠ADC=∠DAC，
∴∠DAC+∠ADE=180°，
∴DE∥AC．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．
【變式6-3】（2023下·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，直線AB和CD被直線MN所截．

(1)如圖1，EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對同旁內(nèi)角），則∠1與∠2滿足______時， AB∥CD，并說明平行的理由；
(2)如圖2，EG平分∠MEB，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對同位角），則∠1與∠2滿足______時，AB∥CD，并說明平行的理由；
(3)如圖3，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對內(nèi)錯角），則∠1與∠2滿足______時，AB∥CD，并說明平行的理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，見解析
(2)∠1=∠2，見解析
(3)∠1=∠2，見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1與∠2滿足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判斷AB∥CD；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1與∠2滿足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判斷AB∥CD；
（3）同（2）的分析即得結(jié)論．
【詳解】（1）當∠1與∠2滿足∠1+∠2=90°時， AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD；
（2）當∠1與∠2滿足∠1=∠2時，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠MEB，F(xiàn)H平分∠DFE，
∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠BEM=∠DFE，
∴AB∥CD；

（3）當∠1與∠2滿足∠1=∠2時，AB∥CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠DFE，
∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEF=∠DFE，
∴AB∥CD．
【點睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，常見的判定兩直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
【題型7 旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】
【例7】（2023下·新疆烏魯木齊·八年級?？计谀┤鐖D，若將木條a繞點O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行可得當∠AOB=65°時，a∥b，進而算出答案．
【詳解】解：∵當∠AOB=65°時，a∥b
∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為150°﹣65°=85°，
故選：B
【點睛】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握同位角相等兩直線平行．
【變式7-1】（2023下·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，直線EF上有兩點A，C，分別引兩條射線AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB，CD別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設時間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t= 秒．

【答案】5或95
【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)時，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．
【詳解】∵∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°?∠DCF=180°?60°=120°，
分三種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時，∠ACD=120°?3t°，∠BAC=110°?t°，

要使AB∥CD，則∠ACD=∠BAC，
即120°?3t°=110°?t°，
解得t=5；
如圖②，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，

∠DCF=360°?3t°?60°=300°?3t°，∠BAC=110°?t°，
要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，
即300°?3t°=110°?t°，
解得t=95；
如圖③，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，

∠DCF=3t°?(180°?60°+180°)=3t°?300°，∠BAC=t°?110°，
要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，
即3t°?300°=t°?110°，
解得t=95，
此時∠BAC=t°?110°

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