專題7.3 三角形的內(nèi)角【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc14209" 【題型1 三角形內(nèi)角和定理的證明】  PAGEREF _Toc14209 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc15738" 【題型2 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】  PAGEREF _Toc15738 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc22182" 【題型3 三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc22182 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1031" 【題型4 三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc1031 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc25253" 【題型5 三角形折疊中的角度問題】  PAGEREF _Toc25253 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc24126" 【題型6 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】  PAGEREF _Toc24126 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc524" 【題型7 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】  PAGEREF _Toc524 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc31752" 【題型8 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】  PAGEREF _Toc31752 \h 32  HYPERLINK \l "_Toc8784" 【題型9 直角三角形的判定】  PAGEREF _Toc8784 \h 37  HYPERLINK \l "_Toc25968" 【題型10 應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】  PAGEREF _Toc25968 \h 40  【知識(shí)點(diǎn)1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】 （1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°． （2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°． 【題型1 三角形內(nèi)角和定理的證明】 【例1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180°． 已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個(gè)內(nèi)角． 求證：∠C+∠D+∠CED=180°． 有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（????） ?? A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出結(jié)論． 【詳解】解：證明：如圖，作點(diǎn)E作直線AB，使得AB∥CD， ∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∴∠1+∠BEC=180°， ∴∠1+∠D+∠CED=180°． ①*表示兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；故①不正確，不符合題意； ②@表示∠BEC，故②正確，符合題意； ③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意； 綜上：正確的有②④， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 【變式1-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形 ABC 的邊 AB 上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn) A 到點(diǎn) B 的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn) A、點(diǎn) C、點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B 的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了 ． 【答案】三角形內(nèi)角和等于180° 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后反方向說明旋轉(zhuǎn)度數(shù)等于180°解答． 【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點(diǎn)B到點(diǎn)A的方向， ∵鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)， ∴旋轉(zhuǎn)角度之和為∠A＋∠B＋∠C， ∵筆尖方向變?yōu)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的方向， ∴旋轉(zhuǎn)角度之和為180°， ∴這種變化說明三角形內(nèi)角和等于180°． 故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°． 【點(diǎn)睛】本題考查了平角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解旋轉(zhuǎn)度數(shù)之和與三角形的內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（????） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】C 【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題． 【詳解】解：①．由EF∥AB，則∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合題意． ②．由CE∥AB，則∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合題意． ③．由CD⊥AB于D，則∠ADC=∠CDB=90°，無法證得三角形內(nèi)角和是180°，故不符合題意． ④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠A+∠C=180°，故符合題意， 共有：①②④符合條件， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下．請(qǐng)寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明． 已知：如圖，△ABC 求證： 證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F． ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠3 【答案】∠A+∠B+∠C=180°，兩直線平行，同位角相等，后續(xù)證明見解析． 【分析】首先過點(diǎn)D作AB、AC的平行線，利用兩直線平行，同位角相等，可將△ABC的三個(gè)角放到一個(gè)平角里面，根據(jù)平角=180°即可證明； 【詳解】已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F． ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：兩直線平行，同位角相等）． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠3 ∴∠3=∠A 又∵DF∥AC ∴∠4=∠C 又∵∠4+∠3+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和．熟練掌握平行線的性質(zhì)和平角的度數(shù)為180°是解決本題的關(guān)鍵． 【題型2 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】 【例2】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ． 【答案】30°或150° 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案． 【詳解】根據(jù)題意得：AB=AC,BD⊥AC， 如圖（1）所示，∠ABD=60°，則∠A=30°，即頂角為30°； 如圖（2）所示，∠ABD=60°，則∠DAB=30°， ∴ ∠BAC=150°， 即頂角為150°； 故答案為：30°或150°． 【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的內(nèi)角和定理，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為 ． 【答案】100° 【分析】三角形的內(nèi)角和為180°，然后按比例分配即可． 【詳解】解：由題意得，最大角為180°×51+3+5=100°． 故答案為：100°． 【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為 ． 【答案】80° 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可進(jìn)行解答． 【詳解】解：∵∠C=40°， ∴∠B+∠A=180°?40°=140°， ∴∠B=140°×44+3=80°， 故答案為：80°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°． 【變式2-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)． ?? 【答案】101° 【分析】連接AD，如圖所示，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出等式，從而根據(jù)題中已知條件作差即可得到答案． 【詳解】解：連接AD，如圖所示： ?? 在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①， 在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②， ∴由①?②得∠A?∠D+∠ABC?∠DBC+∠ACB?∠DCB=0，即∠A?∠D+∠ABD+∠ACD=0， ∵ ∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°， ∴51°?∠D+20°+30°=0，即∠D=101°． 【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，數(shù)形結(jié)合，找到各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵． 【題型3 三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 【例3】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（　?。??? A．147° B．40° C．97° D．43° 【答案】D 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定義可得∠A=43°，再根據(jù)平移性質(zhì)可得∠D=∠A，AC∥DF，得到∠GHC=∠D，即可得到答案． 【詳解】解：∵∠B=97°，∠C=40°， ∴∠A=180°?97°?40°=43°， 由平移的性質(zhì)可知∠D=∠A=43°，AC∥DF， ∴∠GHC=∠D=43°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定義、平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180°以及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？ 【答案】90° 【分析】根據(jù)題意在圖中標(biāo)注方向角，得到有關(guān)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解答即可． 【詳解】解：由題意得，∠DAB＝80°， ∵DA∥EB， ∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°， ∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°， ∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°， ∴∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時(shí)，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為 ． 【答案】150° 【分析】法一：過B作BD∥AE，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥CF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以求出∠C的度數(shù)． 法二：延長(zhǎng)AB、FC，交于點(diǎn)D，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠A=∠BDC=130°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，從而求得∠BCF． 【詳解】解：法一，如圖，過B作BD∥AE， ∵BD∥AE，∠A=130°， ∴∠ABD=∠A=130°． ∵BD∥AE，CF∥AE， ∴BD∥CF． ∵∠ABC=160°，∠ABD=130°， ∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=160°?130°=30°． ∵BD∥CF， ∴∠DBC+∠C=180°， ∵∠DBC=30°， ∴∠C=180°?∠DBC=150°． 法二，如圖，延長(zhǎng)AB、FC，交于點(diǎn)D， ∵AE∥CD，∠A=130°， ∴∠A=∠BDC=130°． ∵∠ABC=160°， ∴∠CBD=180°?∠ABC=20°， 在△CBD中， ∵∠CBD=20°，∠BDC=130°， ∴∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°， ∴∠BCF=180°?∠BCD=150°． 故答案為：150°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC． （1）求證：AB//CD； （2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C； （3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108° 【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等結(jié)合已知條件得出∠AEG＝∠C，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可證得結(jié)論； （2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代換得∠DGC+∠AHF=180°可判斷EC//BF，兩直線平行同位角相等得出∠B=∠AEG，結(jié)合（1）得出結(jié)論； （3）由（2）證得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求得∠D的度數(shù)． 【詳解】證明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC ∴∠AEG=∠C??? ∴AB//CD （2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180° ∴∠DGC+∠AHF=180° ∴EC//BF?? ∴∠B=∠AEG 由（1）得∠AEG=∠C??? ∴∠B=∠C （3）由（2）得EC//BF ∴∠BFC+∠C=180° ∵∠BFC=4∠C??? ∴∠C=36°??? ∴∠DGC=36° ∵∠C+∠DGC+∠D=180°??? ∴∠D=108° 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵． 【題型4 三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 【例4】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中?？计谥校┤鐖D，∠A=70°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（　?。??? A．105° B．115° C．125° D．135° 【答案】C 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°?70°=110°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12×110°=55°， ∴∠BPC=180°?55°=125°． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的相關(guān)計(jì)算，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)． ?? 【答案】40° 【分析】利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可． 【詳解】解：∵AD是BC邊上的高， ∴∠ADC=90°． ∵∠C=50°， ∴∠DAC=90°?∠C=40°， ∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°． ∵AE是∠BAC的平分線， ∴∠BAE=∠EAC=45°． ∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°， ∴∠B=90°?∠BAD=40°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，垂直的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵． 【變式4-2】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF． (1)求證：AB∥DE； (2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)． 【答案】(1)見解析 (2)∠C=50° 【分析】（1）由角平分線的定義可得∠DEF=∠CED，結(jié)合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可證AB∥DE； （2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解． 【詳解】（1）證明：∵ED平分∠CEF， ∴∠DEF=∠CED， ∵∠AGE=∠CED， ∴∠AGE=∠DEF， ∴AB∥DE； （2）解：∵∠AGE=∠CED，∠AGE=50°， ∴∠CED=50°， ∵ED平分∠CEF， ∴∠CEF=2∠CED=100°， ∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°， ∴∠C=180°-100°-30°=50°． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法，牢記三角形內(nèi)角和為180度． 【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q． (1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°； (2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由； (3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）； (4)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)． 【答案】(1)115，25 (2)不發(fā)生變化，理由見解析 (3)90+12x，x2 (4)45°，60°，120°，135° 【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解； （2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解； （3）將（2）中∠A=50°換成∠A=x°，同理即可求解； （4）設(shè)∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90?12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不變，即可分類討論①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時(shí)，②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時(shí)，③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時(shí)和④當(dāng)3∠CPQ=∠Q時(shí)，分別列出關(guān)于x的等式，解出x即可． 【詳解】（1）∵∠A=50°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°?∠A?∠B=70°． ∵CP平分∠ACB， ∴∠BCP=∠ACP=12∠ACB=35°． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°． ∵DP平分∠ADE， ∴∠PDG=12∠ADE=30°． ∴∠DPC=180°?∠PDG?∠PGD=115°； ∵∠DPC=115°， ∴∠QPC=180°?115°=65°． ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴∠ACP=12∠ACB，∠ACQ=12∠ACF． ∵∠ACB+∠ACF=180°， ∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°， ∴∠Q=90°?∠QPC=25°． 故答案為：115，25； （2）當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化 理由如下：∵∠A=50°， ∴∠ACB+∠B=130°． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB． ∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB， ∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD． ∴∠DPC=180°?∠PDE+∠PGD =180°?12∠B+∠ACB =180°?12×130° =115°． ∴∠QCP=65° 由（1）可知∠PCQ=90°不變， ∴∠Q=90°?∠QPC=25°． ∴當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化； （3）∵∠A=x°， ∴∠ACB+∠B=180°?x°． ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB． ∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB， ∴∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PCB=12∠ACB=∠PGD． ∴∠DPC=180°?∠PDE+∠PGD =180°?12∠B+∠ACB =180°?12×(180?x)° =(90+12x)°． ∴∠QPC=180°?(90+12x)°=(90?12x)°． 由（1）可知∠PCQ=90°不變， ∴∠Q=90°?∠QPC=90°?(90?12x)°=12x°． 故答案為：(90+12x)，x2； （4）設(shè)∠A=x°， 由（3）可知∠QPC=(90?12x)°，∠Q=12x°． ∵∠PCQ=90°， ∴可分類討論：①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時(shí)， ∴(90?12x)°=13×90°， 解得：x=120， ∴∠A=120°； ②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時(shí)， ∴12x°=13×90°， 解得：x=60， ∴∠A=60°； ③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時(shí)， ∴(90?12x)°=3×12x°， 解得：x=90，x=45 ∴∠A=45°； ④當(dāng)3∠CPQ=∠Q時(shí)， ∴3×(90?12x)°=12x°， 解得：x=135， ∴∠A=135°． 綜上可知∠A=45°或60°或120°或135°． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵． 【題型5 三角形折疊中的角度問題】 【例5】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C′處，此時(shí)∠C′EB=66°（如圖3），則∠ABC的度數(shù)為（????） A．66° B．23° C．46° D．69° 【答案】D 【分析】根據(jù)翻折后對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13∠ABC，利用已知條件和三角形的內(nèi)角和等于180°，建立等量關(guān)系可求∠ABC的度數(shù)． 【詳解】解：由題意可得∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13∠ABC，∠C′EB=∠CEB=66°， 設(shè)∠ABC=x，則∠ABC′=∠C′BE=∠EBC=13x， ∵三角形的內(nèi)角和等于180°， ∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°?∠C，即20°+x=180°?∠C； 在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°?∠C，即66°+13x=180°?∠C； ∴ 20°+x=66°+13x， 解得：x=69°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查翻折后對(duì)應(yīng)角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于180°，設(shè)未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)是∠C是兩個(gè)三角形的公共角，由此列方程求解． 【變式5-1】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中， ∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．若∠A′EC=70°，則∠A′DE的度數(shù)為（????） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，結(jié)合∠A′EC=70°，得到∠A′ED=∠AED=180°?70°2=55°，再根據(jù)∠A=60°，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可． 【詳解】．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED， 因?yàn)椤螦′EC=70°， 所以∠A′ED=∠AED=180°?70°2=55°， 因?yàn)椤螦=60°， 所以∠A′DE=∠ADE=180°?60°?55°=65°． 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023春·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則∠NCF的度數(shù)為（??????） A．22° B．21° C．20° D．19° 【答案】C 【分析】根據(jù)∠A＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，得到∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°，結(jié)合∠ACB=∠ACN+∠BCF+∠NCF代入計(jì)算即可． 【詳解】因?yàn)椤螦＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合， 所以∠A=∠ACN=20°，∠B=∠BCF=60°,∠ACB=100°， 因?yàn)椤螦CB=∠ACN+∠BCF+∠NCF， 所以100°=20°+60°+∠NCF， 解得∠NCF=20°． 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD． (1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______； (2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明． 【答案】(1)100°； (2)∠AEF+∠FDC=2∠B，證明見解析． 【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折疊的性質(zhì)得 ∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，進(jìn)而可求出∠AEF+∠FDC的度數(shù)； （2）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=180°?∠B，再由折疊的性質(zhì)得 ∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B，進(jìn)而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系． 【詳解】（1）在△BDE中，∠B=50°， ∴∠BDE+∠BED=180°?∠B=180°°?50°=130°． 由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED， ∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°． 又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°， ∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE) =360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED) =360°?130°?130° =100°． 故答案為：100°； （2）∠AEF+∠FDC=2∠B． 證明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°， ∴∠BDE+∠BED=180°?∠B． 由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED， ∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B． 又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°， ∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE) =360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED) =360°?(180°?∠B)?(180°?∠B) =2∠B， 即∠AEF+∠FDC=2∠B． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 【題型6 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 【例6】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54′，則∠2的度數(shù)為（????） A．103°6′ B．104°6′ C．103°54′ D．104°54′ 【答案】C 【分析】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，根據(jù)等腰三角板的特點(diǎn)可求出∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠5，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出∠3，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出∠2． 【詳解】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，如圖， ∵直角三角板含一個(gè)45°的銳角， ∴該三角板為等腰三角形， ∴∠4=45°， ∵∠1=58°54′， 又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°， ∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′， ∵∠3+∠5=180°， ∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′， ∵a∥b， ∴∠2=∠3， ∴∠2=103°54′， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵． 【變式6-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C． (1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °． (2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD= °． (3)請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)140；90；50 (2)35 (3)∠ABD+∠ACD=90°?∠A 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)； （2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)； （3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°?∠A． 【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°， ∵在△DBC中，∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°， ∴∠ABD+∠ACD=140°?90°=50°． 故答案為：140；90；50． （2）解：∵在△ABC中，∠A=55°， ∴∠ABC+∠ACB=180°?55°=125°， ∵在△DBC中，∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°， ∴∠ABD+∠ACD=125°?90°=35°． 故答案為：35． （3）解：∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°?∠A．證明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A， 在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB?(∠DBC+∠DCB)=180°?∠A?90°， ∴∠ABD+∠ACD=90°?∠A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°． 【變式6-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論： ①如果∠2=30°，則AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD=180°； ③如果BC∥AD，則∠2=30°； ④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C． 其中正確的結(jié)論有（????） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】C 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可． 【詳解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正確； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確； ∵BC∥AD，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°， ∴∠2＝45°，故③錯(cuò)誤； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C，故④正確； 所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個(gè)， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 【變式6-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小宋對(duì)三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究 (1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含m的式子表示）． (2)如圖（2），將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)． 【答案】(1)130o，(90+m)o (2)15o 【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及平角的定義來解決此題； （2）如圖，先由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠DBA+∠FCA=180o，再根據(jù)三角板中各角的度數(shù)計(jì)算拼接后圖形中有關(guān)角的度數(shù)，再通過三角形內(nèi)角和等于180度計(jì)算即可． 【詳解】（1）解：∵a∥b， ∴∠2+∠3=180°， 由題意和圖知，∠1+∠3=90o，∠1=40o ∴∠2=180o-（90o-∠1）=90o+∠1=90o+40o=130o； 若∠1=m°，那么 ∠2=（90+m）o （2）解：如圖，把圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，延長(zhǎng)CA交直線a于點(diǎn)B，由題意知， ∵a∥b， ∴∠DBA+∠FCA=180o， ∵∠FCA=60o， ∴∠DBA=120o， ∵∠DAE=45o，∠FAC=90o， ∴∠BAD=180o-∠DAE-∠FAC=45o 在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180o， ∴∠1=180o-45o-120o=15o； 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板中的角度計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合． 【題型7 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 【例7】（2023春·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D； ?? (1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)； (2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)10° (2)∠EFD=12∠C?∠B 【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD； （2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°?12(∠C+∠B)，外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+12(∠B?∠C)，在ΔEFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD． 【詳解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°， ∴∠BAC=180°?50°?30°=100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=50°． 在△ACE中∠AEC=80°， 在Rt△ADE中∠EFD=90°?80°=10°． （2）∠EFD=12(∠C?∠B) 證明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=180°?∠B?∠C2=90°?12(∠C+∠B) ∵∠AEC為△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+90°?12(∠C+∠B)=90°+12(∠B?∠C) ∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°． ∴∠EFD=90°?[90°+12(∠B?∠C)] ∴∠EFD=12(∠C?∠B)． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵． 【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點(diǎn)，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+y?32=0． (1)求n的值． (2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°． (3)若P點(diǎn)在射線DA上運(yùn)動(dòng)，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．（不考慮P與A、D重合的情況） 【答案】(1)n＝45 (2)見解析 (3)①當(dāng)P在線段AD上時(shí)，∠PEC+∠APE＝225°②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，∠PEC﹣∠APE＝45° 【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy計(jì)算可求n的值． （2）作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEC＝∠FPE，根據(jù)等量關(guān)系即可求解； （3）分兩種情況：①當(dāng)P在線段AD上時(shí)；②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)；進(jìn)行討論即可求解． 【詳解】（1）解：∵x?1+y?32=0， ∴x﹣1＝0，y﹣3＝0， ∴x＝1，y＝3， ∴n＝15×1×3＝45； （2）證明：如圖1，過P作PF∥AB，則∠APF＝180°﹣∠BAD＝135° ∵AB∥CD， ∴CD∥PF， ∴∠PEC＝∠FPE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°； （3）解：分兩種情況： ①當(dāng)P在線段AD上時(shí)，如圖2， ∵AB∥CD， ∴∠ADC＝∠BAD＝45°， ∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°， ∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°； ②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，如圖3， ∵∠PEC＝∠APE+∠PDE， ∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°． 【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 【變式7-2】（2023春·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┮阎鰽BC． （1）如圖（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于點(diǎn) D，AE 平分∠BAC，你能找出∠EAD 與∠B，∠C 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由． （2）如圖（2），AE 平分∠BAC，F(xiàn) 為 AE 上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC 于點(diǎn) M，∠EFM 與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由． 【答案】（1）∠EAD=12 (∠C-∠B)；理由見解析；（2）∠EFM= 12 (∠C－∠B) ；理由見解析. 【分析】（1）分析題意，觀察圖形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分別表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DAC=90°-∠C，據(jù)此可解答； 對(duì)于（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行解答即可 【詳解】解：（1）∵AE 平分∠BAC， ∴∠EAC=12∠BAC=12 (180o－∠B－∠C)， 又∵AD⊥BC， ∴∠DAC=90o－∠C， ∴∠EAD=∠EAC－∠DAC= 12 (180o－∠B－∠C)－(90o－∠C)= 12 (∠C－∠B)， 即∠EAD=12 (∠C-∠B)；· （2）如圖，過點(diǎn) A 作 AD⊥BC 于 D， ∵FM⊥BC， ∴AD∥FM， ∴∠EFM=∠EAD= 12 (∠C－∠B) 【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系用∠A表示出其他角 【變式7-3】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE． (1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME； (2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)． (3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)見解析； (2)∠ACE=40°； (3)∠MNB=135°?∠A 【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計(jì)算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論； （2）過點(diǎn)F作FM//AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和（1）的結(jié)論解答即可； （3）延長(zhǎng)CM交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定義得到x+y=45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計(jì)算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）證明：∵EM⊥CE， ∴∠CEM=90°． ∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°， ∴∠AEC+∠BEM=90°． ∵AB//CD， ∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM． ∴∠ECD+∠CME=90°． ∴2∠ECD+2∠CME=180°． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD=2∠ECD． ∴∠ACD+2∠CME=180°． ∵AB//CD， ∴∠ACD+∠A=180°． ∴∠A=2∠CME． （2）解：過點(diǎn)F作FM//AB，如圖， ∵AB//CD， ∴FM//AB//CD． ∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF． ∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF． 即∠AFC=∠BAF+∠DCF． ∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE， ∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF． ∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC． ∵∠AFC=70°， ∴∠CAB+∠DCE=140°． ∵AB//CD， ∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°． ∴∠ACE=180°?(∠CAB+∠DCE) =180°?140° =40°． （3）解：∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠MNB=135°?∠A． 延長(zhǎng)CM交AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖， ∵M(jìn)N⊥CM， ∴∠NMF=90°． ∴∠MNB=90°?∠F． 同理：∠HCF=90°?∠F． ∴∠MNB=∠HCF． ∵∠ACH=12∠ECH， ∴設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x． ∵CM平分∠DCE， ∴設(shè)∠ECM=∠DCM=y． ∴∠MNB=∠HCF=2x+y． ∵AB//CD，CH⊥AB， ∴CH⊥CD． ∴∠HCD=90°． ∴∠ECH+∠ECD=90°． ∴2x+2y=90°． ∴x+y=45°． ∵CH⊥AB， ∴∠A=90°?∠ACH=90°?x． ∴∠A+∠MNB=90°?x+2x+y=90°+x+y=135°． ∴∠MNB=135°?∠A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意義，過點(diǎn)F作FM//AB是解題的關(guān)鍵． 【題型8 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 【例8】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門一中校考期中）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”. (2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請(qǐng)求出∠ABD的度數(shù). 【答案】(1)2 (2)18°或54° 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D，根據(jù)n倍角三角形的定義判斷； （2）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定義分情況討論計(jì)算，得到答案． 【詳解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°， 則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°， ∴∠D＝2∠E， ∴△DEF為“2倍角三角形”， 故答案為：2； （2）解：∵∠C＝36°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°， ∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D， ∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA＝12×144°＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°， ∵△ABD為“6倍角三角形”， ∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD， 當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時(shí)，∠ABD＝18°， 當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時(shí)，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°， 綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°． 【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，正確理解n倍角三角形的定義是解題的關(guān)鍵． 【變式8-1】（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（????） A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54° 【答案】C 【分析】根據(jù)題意設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m，由題意得α=99°或m=99°或n=99°，分這三種情況討論即可． 【詳解】解：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m， 當(dāng)α=99°，則m=49.5°,n=31.5°, 當(dāng)m=99°，則α=2m=198°（舍去）, 當(dāng)n=99°，則m+α=180°-n=81°, ∴3m=81°, ∴m=27°, ∴α=2m=54°． 綜上：倍角α的度數(shù)為99°或54°． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理即三角形內(nèi)角和是180°是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論方法的運(yùn)用． 【變式8-2】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們定義： 【概念理解】 在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的 4 倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”. 【簡(jiǎn)單應(yīng)用】 如圖 1，∠MON=72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM 交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB 于點(diǎn)C（點(diǎn) C不與 O，B重合） （1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”． 【應(yīng)用拓展】 如圖 2，點(diǎn)D在△ABC 的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度數(shù)． 【答案】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】：（1）18°，是；（2）詳見解析；【應(yīng)用拓展】： ∠B=30°或∠B=80° 【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故為完美三角形；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°證得AD∥EF，DE∥BC，再根據(jù)△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù). 【詳解】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°， ∵∠MON=4∠ABO ∴△AOB是“完美三角形”； （2） 證明： ∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∵∠ACB=∠OAC+∠MON,∴∠OAC=90°?72°=18°∵∠AOB=72°=3∠OAC ∴ΔAOC是“完美三角形” （3） ∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF∴∠DEF=∠ADE,∴∠DEF=∠B,∠B=∠ADE,∴DE∥BC∴∠CDE=∠BCD∵AE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE,∠B=∠BCD ∵ΔBCD是“完美三角形” ∴∠BDC=4∠B∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或∠B=80° 【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì). 【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”． (1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°； (2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°． ①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請(qǐng)你判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由． ②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)． 【答案】(1)17 (2)①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，理由見解析； ②121°或118°． 【分析】（1）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義可得2∠B+∠A=90°，代入數(shù)據(jù)求出∠B即可； （2）①由直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB+∠ABC=90°，結(jié)合角平分線的定義可得2∠DAB+∠ABC=90°，進(jìn)而可得△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”； ②根據(jù)△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分別利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可． 【詳解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”， ∴2∠B+∠A=90°， ∴∠B=17°， 故答案為：17； （2）解：①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形； 理由：∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， ∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠CAB=2∠DAB， ∴2∠DAB+∠ABC=90°， ∴△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”； ②∵點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”， ∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°， ∵∠ABC=28°， ∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°， ∴∠EAB=31°或∠EAB=34°， 當(dāng)∠EAB=31°，∠ABC=28°時(shí)，∠AEB=180°?31°?28°=121°， 當(dāng)∠EAB=34°，∠ABC=28°時(shí)，∠AEB=180°?34°?28°=118°， ∴∠AEB的度數(shù)為：121°或118°． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，理解“準(zhǔn)互余三角形”的定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想． 【知識(shí)點(diǎn)2 直角三角形的判定】 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形． 【題型9 直角三角形的判定】 【例9】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形． 【答案】見解析 【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝90°，從而∠ADE＝180°?（∠A+∠1）＝90°，即可得答案． 【詳解】∵∠C=90°， ∴∠A+∠2＝90°， ∵∠1=∠2， ∴∠A+∠1＝90°， ∴∠ADE＝180°?（∠A+∠1）＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的定義和三角形的內(nèi)角和定理． 【變式9-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個(gè)三角形是（????） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 【答案】B 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，即可求得三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)行判斷即可． 【詳解】解：∵三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5， ∴三個(gè)內(nèi)角分別為：22+3+5×180°=36°、32+3+5×180°=54°、52+3+5×180°=90°， ∴三角形是直角三角形， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和三角形的分類，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°和三角形的分類是解題的關(guān)鍵． 【變式9-2】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列條件：① ∠A+∠B+∠C=180°；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A=12∠B=13∠C；⑤ ∠A=∠B=12∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（????????） A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【答案】C 【分析】根據(jù)直角三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行分析，從而得到答案． 【詳解】解：① ∠A+∠B+∠C=180°不能確定△ABC為直角三角形，故①錯(cuò)誤，不符合題意； ② ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A:∠B:∠C=1:2:3， ∴ ∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴ △ABC為直角三角形，故②正確，符合題意； ③ ∵ ∠A=∠B=2∠C， 設(shè)∠A=2x，∠B=2x，∠C=x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2x+2x+x=180°， 解得：x=36°， ∴∠A=∠B=72°，∠C=36°， ∴ △ABC不是直角三角形，故③錯(cuò)誤，不符合題意； ④ ∵ ∠A=12∠B=13∠C， 設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴x+2x+3x=180°， 解得：x=30°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴ △ABC為直角三角形，故④正確，符合題意； ⑤ ∵ ∠A=∠B=12∠C， 設(shè)∠A=∠B=x，則∠C=2x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴x+x+2x=180°， 解得：x=45°， ∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°， ∴ △ABC為直角三角形，故⑤正確，符合題意； ∴ ②④⑤說法正確， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵． 【變式9-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）． 【答案】△AED，△AEB，△DEC 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理證得∠AED=90°即可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵AB∥CD， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC， ∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC， ∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=12∠ADC+∠BAD=90°， ∴△AED是直角三角形， ∴∠AED=90°， ∵AC和BD交于點(diǎn)E， ∴∠DEC=∠AEB=∠AED=90°， ∴△AED，△AEB，△DEC均為直角三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，涉及平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、鄰補(bǔ)角、銳角互余的三角形是直角三角形等知識(shí)，熟練掌握銳角互余的三角形是直角三角形是解答的關(guān)鍵． 【知識(shí)點(diǎn)3 直角三角形的性質(zhì)】 直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余． 【題型10 應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】 【例10】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD為△ABC的高，AE、BF為△ABC的角平分線，∠CBF=30°，∠AFB=70°． (1)∠BAD=　 　度． (2)求∠DAE的度數(shù)． (3)若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫出∠BFM的度數(shù)． 【答案】(1)30 (2)10° (3)20°或60° 【分析】（1）利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD． （2）根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可． （3）分兩種情形：如圖1中，當(dāng)∠FMC=90°時(shí)，如圖2中，當(dāng)∠MFC=90°時(shí)，分別求解即可． 【詳解】（1）解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠CBF=60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°， 故答案為：30． （2）∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF=30°．????????????????????????????????????????? ∵∠BAC+∠ABF+∠AFB=180°， ∴∠BAC=180°-∠ABF-∠AFB =180°-30°-70°=80°．??????????????? ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°．?????????????????????????????? ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°． （3）如圖1中，當(dāng)∠FMC=90°時(shí)，∠BFM=90°-30°=60°． 如圖2中，當(dāng)∠MFC=90°時(shí)， ∵∠AFB=70°,∠CBF=30°， ∴∠C=∠AFB?∠CBF=40°， ∴∠FMC=90°?∠C=90°?40°=50°， ∴∠BFM=∠FMC-∠FBC=50°-30°=20°， 綜上所述，∠BFM度數(shù)為60°或20°． 【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題． 【變式10-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（????）個(gè)． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E=∠BME=∠AMF，根據(jù)同角的余角相等可得∠E=∠C，即可求解． 【詳解】解：∵∠BAC=∠EDF=90°， ∴AB∥DE，∠E+∠F=90°， ∴∠E=∠BME=∠AMF， ∵EF⊥BC， ∴∠C+∠F=90°， ∴∠E=∠C， 故與∠E相等的角有3個(gè)， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式10-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】B 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和互余的定義，即可得出結(jié)果． 【詳解】解：∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴圖中與∠B互余的角有2個(gè)， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，互余定義，找到與∠B和為90°的角是關(guān)鍵． 【變式10-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B． （1）如圖1，求證：CD⊥AB； （2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)． ①如圖2，若∠B=34°，求∠A′CB的度數(shù)； ②若∠B=n°，請(qǐng)直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）． 【答案】（1）詳見解析；（2）①∠A'CB=22°；②∠A'CB=90°﹣2n°． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案； （2）①由∠ACD=∠B，得∠ACD=34°，再結(jié)合（1），得∠BCD=56°，再由折疊的性質(zhì)即可得到答案； ②解題過程同①. 【詳解】（1）∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB； （2）①當(dāng)∠B=34°時(shí)，∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=34°， 由（1）知，∠BCD+∠B=90°， ∴∠BCD=56°， 由折疊知，∠A'CD=∠ACD=34°， ∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°； ②當(dāng)∠B=n°時(shí)，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°， ∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°． 【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉直角三角形的性質(zhì).

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