專(zhuān)題7.4 三角形的外角【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc6310" 【題型1 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)求角度】  PAGEREF _Toc6310 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc23130" 【題型2 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)比較角度大小】  PAGEREF _Toc23130 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc9813" 【題型3 三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】  PAGEREF _Toc9813 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc27730" 【題型4 三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】  PAGEREF _Toc27730 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc17662" 【題型5 三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合】  PAGEREF _Toc17662 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc451" 【題型6 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】  PAGEREF _Toc451 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc25349" 【題型7 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決三角板組合問(wèn)題】  PAGEREF _Toc25349 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc29884" 【題型8 三角形中角的不等關(guān)系的證明】  PAGEREF _Toc29884 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc27282" 【題型9 應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)解決角度測(cè)量問(wèn)題】  PAGEREF _Toc27282 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc26062" 【題型10 三角形有關(guān)角度關(guān)系的探究題】  PAGEREF _Toc26062 \h 11  【知識(shí)點(diǎn) 三角形的外角】 概念：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角． 性質(zhì)：①三角形的外角和為360°； ②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； ③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角． 【題型1 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)求角度】 【例1】（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)D是∠ACB內(nèi)一點(diǎn)，若∠1=35°，∠2=40°，∠ADB=145°，則∠ACB的大小為（????） A．75° B．70° C．65° D．60° 【變式1-1】（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)三角形兩個(gè)外角之和為280°，那么這個(gè)三角形是（????） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 【變式1-2】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，∠B=∠1，∠3=80°，∠BAC=70°．則∠2的大小是（????） A．20° B．25° C．30° D．35° 【變式1-3】（2023春·廣東江門(mén)·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC中，∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，CD是AB邊上的高，求∠ACD度數(shù)． ?? 【題型2 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)比較角度大小】 【例2】（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系正確的是（????） A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．∠1>∠2>∠3 【變式2-1】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，關(guān)于∠B與∠ACD的大小關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是(???) A．∠B>∠ACD B．∠B=∠ACD C．∠B∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．∠1>∠2>∠A 【變式2-3】（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關(guān)系是(?????). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 【題型3 三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】 【例3】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2021BC和∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，則∠A2023＝ °． ?? 【變式3-1】（2023春·天津·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF=BG=AB，則∠F的大小= （度）． 【變式3-2】（2023春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分線，∠B=50°，∠ANC=80°．求∠BAC和∠C的度數(shù)． 【變式3-3】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB，交于點(diǎn)O,CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E．以下結(jié)論①∠OCE=90°，②∠1=2∠2，③∠BOC=90°+12∠1，④∠BOC=3∠2，其中正確的是 （填序號(hào)）． 【題型4 三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合】 【例4】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)期末）如圖，已知直線AB∥CD，∠C=125°，∠A=40°，那么∠E的大小為（???） A．75° B．85° C．90° D．95° 【變式4-1】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、γ的關(guān)系為（　?。? A．β=α+γ B．α+β+γ=180° C．β+γ?α=90° D．α+β?γ=90° 【變式4-2】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分線，分別交EF，BC于點(diǎn)H，D，則∠1、∠2和∠3之間的數(shù)量關(guān)系為（????） ?? A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．∠1+∠3=2∠2 【變式4-3】（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：AB∥CD,∠AEB=∠BFC． (1)如圖1，求證：∠AEB=∠ABE+∠DCF； (2)如圖2，連接BC，∠BCF=2∠ABE，點(diǎn)P在射線AB上，∠BCP=12∠BCD，射線CP交EF于點(diǎn)M，補(bǔ)全圖形后請(qǐng)?zhí)骄俊螧MC,∠CAB,∠AEB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【題型5 三角形的外角性質(zhì)與垂線的綜合】 【例5】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知DF⊥AB于點(diǎn)F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACD的度數(shù)． ???? 【變式5-1】（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=76°，則∠E的度數(shù)為（　　） A．32° B．34° C．56° D．58° 【變式5-2】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M為直線AC上一點(diǎn)，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F． ?? (1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上，且∠C=50°時(shí)，求證BD∥MF； (2)當(dāng)點(diǎn)M在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，補(bǔ)全圖②，判斷BD與MF的位置關(guān)系并證明． 【變式5-3】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中. (1)如圖1，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AE平分∠BAC，AE，CD相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF與CE的數(shù)量關(guān)系； (2)如圖2，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其反向延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；?? (3)如圖3，AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD=∠B，∠BAC的平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．請(qǐng)求出∠M與∠CFE的數(shù)量關(guān)系． 【題型6 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問(wèn)題】 【例6】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，△ADC中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，把△ADC紙片沿EF折疊，使得點(diǎn)A落在△ADC的外部A′處，如圖2所示．若∠1?∠2=42°，則∠A度數(shù)為(????) A．20° B．21° C．21.5° D．22.5° 【變式6-1】（2023春·重慶涪陵·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C=110°，則∠ADE的度數(shù)為（　?。? A．60° B．65° C．70° D．75° 【變式6-2】（2023春·廣東湛江·八年級(jí)嶺師附中校聯(lián)考期末）如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在邊BC上點(diǎn)F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A= ． ?? 【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)校考期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在圖中的A′處，若∠A=28°，∠BDA′=90°，則∠A′EC的大小為 ． 【題型7 應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決三角板組合問(wèn)題】 【例7】（2023春·江蘇·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為（ ） A．45° B．50° C．75° D．80° 【變式7-1】（2023春·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（????） A．45° B．60° C．105° D．120° 【變式7-2】（2023春·安徽淮北·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一副三角板按如圖的方式擺放，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)是（???） A．140° B．150° C．155° D．160° 【變式7-3】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板如圖所示擺放，則∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系為（????） A．∠α=∠β+15° B．∠α+∠β=180° C．∠α+∠β=225° D．∠α=∠β 【題型8 三角形中角的不等關(guān)系的證明】 【例8】（2013春·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：CD是△ABC中∠ACB的外角平分線，請(qǐng)猜測(cè)∠BAC和∠B的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由. 【變式8-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到D，連接DE．求證：∠1＞∠2． 【變式8-2】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）實(shí)驗(yàn)與探究：在（????）內(nèi)填寫(xiě)理論根據(jù)．在橫線上填寫(xiě)結(jié)論 在△AC中，如果AB>AC，那么我們可以將△ABC折疊，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在AB邊上的D點(diǎn)，折線交BC于點(diǎn)E， 則∠C=∠ADE． ∵∠ADE=∠B+∠BED（????） ∴∠ADE>∠B（????） ∴∠C>∠B（????） 結(jié)論：在一個(gè)三角形中，如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 利用此結(jié)論，回答下面的問(wèn)題： （1）在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A、∠B、∠C有怎樣的大小關(guān)系？（用“>”表示出來(lái)） （2）如果一個(gè)三角形中最大的邊所對(duì)的角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？（寫(xiě)出已知、求證、證明） 【變式8-3】（2023春·河南周口·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OB、OC． （1）求證：∠BOC＞∠A； （2）比較AB+AC與OB+OC的大小，并說(shuō)明理由． 【題型9 應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)解決角度測(cè)量問(wèn)題】 【例9】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）工人師傅生產(chǎn)了一種如圖所示的零件，要求AB∥CD，工人師傅量出 ∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，則該零件 （填“合格”或“不合格”）． 【變式9-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判斷這個(gè)零件是否合格，只要檢驗(yàn)∠BCD的度數(shù)就可以了．量得∠BCD＝150°，這個(gè)零件 （填“合格”不合格”）． 【變式9-2】（2023春·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)“工”字形零件，經(jīng)測(cè)量，∠BMN=100°,∠MNC=70°，那么直線AB與CD所成的銳角的大小是 ． ?? 【變式9-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下圖是某工人加工的一個(gè)機(jī)器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過(guò)測(cè)量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：∠EFD=120°，且∠A、∠B、∠C保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持∠E不變情況下，應(yīng)將圖中∠D （填“增大”或“減小”） 度． 【題型10 三角形有關(guān)角度關(guān)系的探究題】 【例10】（2023春·廣東河源·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D，B分別是△ABC邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． (1)若點(diǎn)P在邊AB邊上，且∠α=50°，如圖1，則∠1+∠2=__． (2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示．則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由． (3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖3，則∠α，∠1，∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由． 【變式10-1】（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題： (1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題： ①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，直接寫(xiě)出∠ABX+∠ACX的結(jié)果； ②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)； ③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2、?、G9，若∠BDC=140°,∠BG1C=77°，求∠A的度數(shù)． 【變式10-2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合)，且FD⊥BC于D． (1)如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)； (2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2，求證：∠EFD=12∠C?∠B； (3)如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3，此時(shí)∠EFD與∠C?∠B的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式10-3】（2023春·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α． (1)如圖1，若點(diǎn)P在線段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)； (2)若點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上，請(qǐng)借助圖2和圖3，分別探究∠1、∠2與∠α之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)電子課本

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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