TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4766" 【題型1 由平行線的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc4766 \h 1
\l "_Tc31178" 【題型2 由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】 PAGEREF _Tc31178 \h 5
\l "_Tc9329" 【題型3 平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc9329 \h 10
\l "_Tc3945" 【題型4 由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 PAGEREF _Tc3945 \h 13
\l "_Tc11118" 【題型5 由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算】 PAGEREF _Tc11118 \h 17
\l "_Tc10120" 【題型6 由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc10120 \h 22
\l "_Tc19950" 【題型7 由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】 PAGEREF _Tc19950 \h 29
\l "_Tc10508" 【題型8 由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc10508 \h 38
\l "_Tc4463" 【題型9 由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】 PAGEREF _Tc4463 \h 45
\l "_Tc32001" 【題型10 由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】 PAGEREF _Tc32001 \h 50
【知識(shí)點(diǎn) 平行線的性質(zhì)】
1. 兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行同位角相等.
2. 兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.
3. 兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).
【題型1 由平行線的性質(zhì)求角度】
【例1】（2023下·福建廈門·八年級(jí)校考期中）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，則下列結(jié)論：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正確的有 ．

【答案】①②③
【分析】由CD∥AB，∠CDO=50°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BOD的度數(shù)，∠AOE的度數(shù)；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度數(shù)，得到OF平分∠BOD，由OG⊥CD，即可求得∠GOE與∠DOF的度數(shù)，得到結(jié)論
【詳解】解：∵CD∥AB，∠CDO=50°，
∴∠BOD=∠CDO=50°，
∴∠AOD=180°?∠BOD=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD=65°；
故①正確；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°?∠EOF?∠AOE=25°，
∵∠BOD=50°，
∴OF平分∠BOD；
故②正確；
∵OG⊥CD，CD∥AB，
∴OG⊥AB，
∴∠AOG=90°，
∴∠GOE=90°?∠AOE=25°，
∵∠DOF=12∠BOD=25°，
∴∠GOE=∠DOF；
故③正確；
∵∠GOE=∠DOF=25°，∠EOF=90°，
∴∠GOD=∠EOF?∠GOE?∠DOF=40°，
∵∠AOE=65°，
∴∠AOE≠∠GOD
故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式1-1】（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D所示，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），連接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．則∠A的值為（ ）

A．45°B．75°C．46°D．76°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵∠C+∠ADC=∠AEC，
∴∠ADC=∠AEC?∠C＝60°?15°=45°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC=30°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023下·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AM∥BN,∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時(shí)不需要寫出每一步的理由）

(1)求∠CBD的度數(shù)．
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么∠APB:∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律．
【答案】(1)∠CBD=60°；
(2)不變，理由見解析
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；
（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論．
【詳解】（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°?60°=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）不變，∠APB:∠ADB=2:1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB:∠ADB=2:1．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【變式1-3】（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分線交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出∠G的度數(shù)；
(2)如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)20°
(2)∠A=2∠G，見解析
【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠ABC=50°，分別根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠G的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，可得∠A和∠G的關(guān)系．
【詳解】（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=25°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF=45°，
∴∠CFD=45°，
∴∠G=∠CFD?∠CBG=45°?25°=20°；
（2）如圖2，∠A=2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，
設(shè)∠ABG=x，∠CDF=y，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y，
∴y=12∠A+x，
同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF，
∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+12∠A+x，
∴∠A=2∠G；
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解決該題型題目時(shí)，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．
【題型2 由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】
【例2】（2023下·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對(duì)邊互相平行的紙條，EF是折痕，若∠EFB=34°，則以下結(jié)論正確的是（ ）
①∠C′EF=34°；②∠AEC=146°；③∠BGE=68°；④∠BFD=112°

A．①③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析，即可解答．
【詳解】解：∵AC′∥BD′，∠EFB=34°，
∴∠C′EF=∠EFB=34°，①結(jié)論正確；
由折疊可知，∠C′EF=∠CEF=34°，
∴∠AEC=180°?∠C′EF?∠CEF=180°?34°?34°=112°，②結(jié)論錯(cuò)誤；
∵AC′∥BD′，∠AEC=112°
∴∠BGE=180°?∠AEC=68°，③結(jié)論正確；
∵CE∥DF，且∠BGE=∠CGF=68°，
∴∠BFD=180°?∠CGF=112°，④結(jié)論正確；
所以，以上結(jié)論正確的是①③④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．
【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，將△ADE沿DE折疊得到△A1DE，則∠BDA1的度數(shù)為 °．
【答案】80
【分析】由兩直線平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；由折疊的性質(zhì)知∠ADE=∠A1DE，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可求得∠BDA1的度數(shù)．
【詳解】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°.
又∵∠ADE=∠A1DE,
∴∠A1DA=2∠B,
∴∠BDA1=180°?2∠B=180°?2×50°=80°.
故答案為：80°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)、翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023下·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)在AD邊上，點(diǎn)G，H在BC邊上，分別沿EG，F(xiàn)H折疊，使點(diǎn)D和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若α+β=120°，則∠EMF的度數(shù)為（ ）

A．57°B．58°C．59°D．60°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEG=α，∠AFH=β，由折疊得∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，求出∠MEF和∠MFE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求出答案．
【詳解】解：∵在長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEG=α，∠AFH=β，
由折疊得：∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，
∴∠MEF=180°?2α，∠MFE=180°?2β，
∴∠EMF=180°?180°?2α?180°?2β
=2α+β?180°，
∵α+β=120°，
∴∠EMF=240°?180°=60°；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和等于180°與軸對(duì)稱的性質(zhì)．
【變式2-3】（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一張長(zhǎng)方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點(diǎn)G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，D′，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，B′，設(shè)∠EFB=α0

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4 平行線的性質(zhì)

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