目標(biāo)導(dǎo)航
1. 會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，知道作法的合理性.
2. 探索并證明角的平分線的性質(zhì).
3. 掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決簡單的問題.
知識精講
知識點(diǎn)01 角的平分線及其性質(zhì)
知識點(diǎn)
1．尺規(guī)作角平分線
尺規(guī)作角平分線方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.
2. 角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
【微點(diǎn)撥】
應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.
角平分線的性質(zhì)定理的作用是證明線段相等.
【知識拓展1】角平分線的作法及應(yīng)用
例1．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，．請用尺規(guī)在邊上作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到邊的距離．（保留作圖痕跡，不寫作法）.
【答案】畫圖見解析
【分析】作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)P即可求解．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-基本作圖，以及角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
1．（2021·江蘇南通市·八年級期末）如圖①，已知，用尺規(guī)作它的角平分線（如圖②）．
尺規(guī)作圖具體步驟如下，
第1步：以為圓心，以為半徑畫弧，分別交射線于點(diǎn)；
第2步：分別以為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；
第3步：畫射線．射線即為所求．下列說法正確的是（ ）
A．有最小限制，無限制B．的長
C．的長D．連接，則垂直平分
【答案】B
【分析】直接根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線的方法即可得出結(jié)論的長．
【詳解】解：以B為圓心畫弧時(shí)，半徑必須大于0，分別以D，E為圓心，以為半徑畫弧時(shí)，必須大于DE的長，否則兩弧沒有交點(diǎn)．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作圖方法，熟練掌握作角平分線的步驟及方法是解題的關(guān)鍵．
2.（2022·河南洛陽·八年級期末）學(xué)習(xí)角的平分線之后，老師留了一道思考題：還有沒有其他作角平分線的方法（不限于圓規(guī)和直尺）．下面是兩位同學(xué)給出的兩種方法：
(1)同學(xué)1：我是用三角板按下面方法畫角平分線：如圖1，在已知的上，分別?。俜謩e過點(diǎn)，作，的垂線，交點(diǎn)為，畫射線，則平分．請你幫這位同學(xué)證明：平分．
(2)同學(xué)2：我是用圓規(guī)和直尺按下面方法畫角平分線：如圖2，以為圓心，以任意長為半徑畫弧與，交于點(diǎn)，，再以任意長為半徑畫弧與，交于點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，連接，則平分．你認(rèn)為同學(xué)2這種作角平分線的方法正確嗎？若正確，請你給出證明過程；若錯(cuò)誤，說出你的理由．
【答案】(1)見解析 (2)同學(xué)2這種作角平分線的方法正確．證明過程見解析
【分析】（1）由作法得，則可判斷，從而得到平分；
（2）由作法得，則可判斷，可得到，因此可證明，再根據(jù)，可得，從而得到平分．
（1）證明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分；
（2）解：同學(xué)2這種作角平分線的方法正確.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在與中，，∴，∴.即平分．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖（作已知角的角平分線）是解題的關(guān)鍵．
【知識拓展2】角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用
例2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖，的外角的平分線CE與內(nèi)角的平分線BE交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【分析】過點(diǎn)E作EF ⊥BA交BA延長線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長線于點(diǎn)N，設(shè)∠ECD=x°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BAC = 80°，從而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EF ⊥BA交BA延長線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長線于點(diǎn)N，
設(shè)∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，
∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，∴∠FAE = ∠EAC = 50°．故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
2.（2022·黑龍江哈爾濱·七年級期末）如圖，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，則△AED的周長是______cm．
【答案】8
【分析】證明，再證明，得到：，即可求出△AED的周長為：．
【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
∴△AED的周長為：．故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，證明．
【知識拓展3】角平分線的性質(zhì)與等積法
例3．（2022·重慶·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，的三邊，，的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，將分成三個(gè)三角形，則等于__________．
【答案】2：3：4
【分析】過點(diǎn)O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長度相等，再通過面積比等于底邊長度之比得到答案．
【詳解】解：過點(diǎn)O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點(diǎn)．
∵CO、BO、AO分別平分
∴
∵，，
∴故答案為：2：3：4
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
3.（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分線交于點(diǎn)O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面積為18，則△BOC的面積為（ ）
A．27B．54C．D．108
【答案】A
【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，先由根據(jù)△ABO的面積為18，求出OE長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出OD=OE，求出OD長，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，
∴S△ABO==18cm2，∵AB=6cm，∴OE=6cm，
∵OB是∠ABC的角平分線，OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，∴OD=OE=6cm，
∴S△BOC=(cm2），故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【知識拓展4】角平分線的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用
例4．（2022·河南·八年級月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個(gè)加油站，計(jì)劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，作三角形的三外角平分線，有三個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線有一個(gè)交點(diǎn)，但除去深水湖泊那個(gè)交點(diǎn)，共有3個(gè)．
【詳解】解：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等可知，
三角形內(nèi)心（即三角形內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)）為1個(gè)位置，
另外兩外角平分線的交點(diǎn)，到三條公路的距離也相等，可找到3個(gè)，
但因?yàn)橛?個(gè)在深水湖泊，所以，有3個(gè)，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
4.（2022·山西呂梁市·八年級期中）如圖是體育場的一塊三角形休息區(qū)，要在休息區(qū)內(nèi)設(shè)一個(gè)供水臺(tái)供大家休息飲水，要使供水臺(tái)到，，的距離相等，供水臺(tái)應(yīng)該選在（ ）
A．三條角平分線的交點(diǎn)處B．三條中線的交點(diǎn)處
C．三條高線所在的直線的交點(diǎn)處D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處
【答案】A
【分析】由于供水臺(tái)到，，的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可知是三條角平分線的交點(diǎn)，由此即可確定供水臺(tái)位置.
【詳解】∵供水臺(tái)到，，的距離相等，
∴供水臺(tái)應(yīng)該選在三條角平分線的交點(diǎn)處,故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
知識點(diǎn)02 角平分線的判定
知識點(diǎn)
1. 角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
定理的幾何表述：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.
圖1 圖2
2．三角形的內(nèi)角平分線
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
已知如圖2，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P， 則點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
【微點(diǎn)撥】
1、已知AD是三角形ABC的角平分線，則有:（證明思路：,）

2、已知：三角形ABC的角平分線交于一點(diǎn)P，則有：。
【知識拓展1】角平分線的判定（實(shí)際應(yīng)用）
例1．（2021·廣東清新·八年級期中）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，則點(diǎn)是（ ）
A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)
C．三條高所在直線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)
【答案】B
【分析】連接PA、PB、PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】解：連接PA、PB、PC．∵PD＝PF，∴PB是∠ABC的角平分線，
同理PA、PC分別是∠BAC，∠ACB的角平分線，故P是△ABC角平分線交點(diǎn)，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理，能熟記角平分線判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
【即學(xué)即練】
1．（2022?夏津縣八年級期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．
如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（ ）
A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上
B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等
C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
【解題思路】過兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可得OP平分∠AOB；
【解答過程】解：如圖所示：過兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故選：A．
【知識拓展2】角平分線的判定的運(yùn)用
例2．（2021·安徽安慶市·八年級期末）如圖O是內(nèi)的一點(diǎn)，且O到三邊AB、BC、CA的距離．若，則（ ）．
A．125°B．135°C．105°D．100°
【答案】A
【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵O到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE，∴點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，
∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線判定定理，三角形的內(nèi)角和定理，要注意整體思想的利用．
【即學(xué)即練】
2.（2022·廣東·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足為E．若AD＝DE且∠C＝50°，則∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求解，再利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理證明：平分 從而可得答案．
【詳解】解：
平分 故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義及性質(zhì)定理的逆定理，掌握角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【知識拓展3】角平分線的判定（證明）
例3．（2022·綿陽市·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．
【答案】(1)5cm；(2)見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)角平分線的判定定理即可證明．
（1）解：過點(diǎn)作于，
點(diǎn)在的平分線，，，
cm，即點(diǎn)到直線的距離為；
（2）證明：點(diǎn)在的平分線，，，
，同理：，，
，，點(diǎn)在的平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，熟知角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
3.（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．
(1)求證：PD＝PE＝PF；(2)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上嗎？說明理由．
【答案】(1)證明見解析 (2)在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，由此即可得證；
（2）根據(jù)，利用角平分線的判定即可得出結(jié)論．
(1)證明：平分，，，
平分，，，．
(2)解：點(diǎn)在的平分線上，理由如下：如圖，連接，
，點(diǎn)在的平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的判定與性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
能力拓展
考法01 角平分線的性質(zhì)與全等
【典例1】（2021?鹽田區(qū)校級期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點(diǎn)F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF＝EF．
【解題思路】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD＝PE，利用“HL”證明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD＝OE，再利用“邊角邊”證明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．
【解答過程】證明：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．
變式1．（2022·廣西南寧市·八年級期末）已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．
【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．
【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF，AE＝AF，證明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，結(jié)合圖形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB＝∠OGB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，證明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點(diǎn)O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是依照基礎(chǔ)示例引出正確輔助線．
考法02 角平分線的性質(zhì)與最值
【典例2】（2022?壽陽縣八年級期末）如圖，點(diǎn)在的平分線上，，于，點(diǎn)在上，且，若是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到結(jié)果．
【解析】是角平分線上的一點(diǎn)，，，，
，，
，，，，，
點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為到距離，的最小值，故答案為：6．
變式1．（2022?岐山縣九年級二模）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．2B．C．D．
【分析】作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短求解．
【解析】作于，如圖，平分，，，，
為上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為的長，即的最小值為2．故選：．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．（2022·綿陽市·八年級期末）如圖，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．PC＝PDB．OC＝ODC．OC＝OPD．∠CPO＝∠DPO
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證明△ODP≌△OCP，進(jìn)而可判斷出錯(cuò)誤選項(xiàng)．
【詳解】解：∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠DOP=∠COP，且OP=OP，故A正確，
∴△ODP≌△OCP（HL），∴OD=OC，∠CPO＝∠DPO，故B，D正確，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東揭陽·八年級期中）如圖，平分，于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接PQ，當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ=PA，利用直線外一點(diǎn)到直線的垂線段最短即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接PQ，
當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，∴PQ=PA，
此時(shí)點(diǎn)P到OM的距離PQ最小，∴PA≤PQ，故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，直線外一點(diǎn)到直線的距離中，垂線段最短，理解這兩個(gè)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
3．（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在中，，AD平分，交BC于點(diǎn)D，，，則CD的長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】過點(diǎn)D作于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，然后利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴，
∴，解得，∴；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東菏澤·八年級期中）如圖，點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，若，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．150°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【分析】由題意易得OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，然后根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離都相等，
∴OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∵，∴，
∴，∴；選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定定理及三角形內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的判定定理及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．
5. （2021·山東濱州市·八年級月考）如圖，是三條兩兩相交的公路，現(xiàn)需建一個(gè)倉庫，要求倉庫到三條公路距離相等，則倉庫的可能地址有（ ）處．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn)，把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿足要求．
【詳解】（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處;（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處，
共四處，故選：D．
．
【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，熟記性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵．
6．（2022·四川成都·八年級期末）已知：如圖，D是BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，則S△ADC＝_____（用m的代數(shù)式表示）．
【答案】##
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DF，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，
∴
∵AB＝5，AC＝4，，∴，∴．故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·湖北荊門·八年級期中）如圖，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，則ABD的面積為____．
【答案】15
【分析】過D作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)，即可求得DE的長，即可求得△ABD的面積．
【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAO，∠AOD=90°，D（0，-3）， ∴DE=DO=3，
∵AB=10， ∴△ABD的面積=AB?DE=×10×3=15． 故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=OD是解此題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等．
8．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB；垂足為E．求證：(1)CD=BE．(2)。
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【分析】（1）先根據(jù)題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出結(jié)論．
（1）證明：在中，，，
是等腰直角三角形，，
，是等腰直角三角形，．
是的角平分線，，．
（2）證明：是的角平分線，，，
在Rt△ACD與Rt△AED中，
，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，，
由知，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
9.（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上．
（1）尺規(guī)作圖，作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）補(bǔ)全圖形，取的中點(diǎn)，連接并延長交的平分線于點(diǎn)；
（3）判斷線段與的位置關(guān)系是 ，數(shù)量關(guān)系是 ．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）位置關(guān)系是平行，數(shù)量關(guān)系是相等
【分析】（1）按照角的平分線的尺規(guī)作圖步驟進(jìn)行即可；
（2）先確定BC的中點(diǎn)，后用直尺依次完成操作即可；
（3）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，判定位置關(guān)系，利用三角形全等，判定數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
（3）∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C，
∵BF平分∠CBD，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，∴∠CBF=∠C，∴BF∥AC；
∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，∴△ACE≌△FEB，∴AC=FB，故答案為：平行；相等．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等，熟練掌握平行線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·湖北·荊州市八年級期中）如圖（1），平分，于B，于C，易知：．
①探究：如圖（2），平分，，，求證：．
②探究：如圖（3）在四邊形中，，，且，求證：平分．
【答案】①見解析；②見解析
【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲證明DB=DC，只要證明△DNC≌△DMB即可；
②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，證得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：①過點(diǎn)D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如圖2，
∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DM=DN，
∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，∴∠B=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，∴△DNC≌△DMB，∴DC=DB；
②過點(diǎn)D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如圖3，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠NCD，
在△DNC和△DMB中，
，∴△DNC≌△DMB，∴DM=DN，
∵DN⊥AC，DM⊥AB，∴AD平分∠BAC．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形．
題組B 能力提升練
1．（2022·吉林四平·八年級期末）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B，下列四個(gè)結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①PA=PB ②PO平分∠APB ③OA=OB ④OP垂直平分AB．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PA＝PB，然后依據(jù)HL證明Rt△AOP≌Rt△BOP，則OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，進(jìn)而可得OP是AB的垂直平分線，則結(jié)論可一一判斷．
【詳解】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，∴PA＝PB，故①正確；
在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，故②③正確；
∵OA＝OB，AP＝BP，∴OP是AB的垂直平分線，故④正確；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河北·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，有三塊菜地△ACD、△ABD、△BDE分別種植三種蔬菜，點(diǎn)D為AE與BC的交點(diǎn)，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面積為96，則菜地△ACD的面積是（ ）
A．24B．27C．32D．36
【答案】C
【分析】利用三角形的中線平分三角形的面積求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分線的性質(zhì)得到△ACD與△ABD的高相等，進(jìn)一步求解即可．
【詳解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，
∴S△ABD=S△BDE=96，
過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC，
∴DG=DF，
∴△ACD與△ABD的高相等，
又∵AB=3AC，
∴S△ACD=S△ABD=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
3．（2022·北京·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N．分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作線段BD，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正確的是（ ）
A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④
【答案】A
【分析】由作法可知BD是∠ABC的角平分線，故②正確，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得①正確，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正確，
【詳解】解：由作法可知BD是∠ABC的角平分線，故②正確，
∵∠C=90°,∴DC⊥BC，
又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分線，
∴CD=ED，故①正確，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，∴△BCD≌△BED，
∴BC=BE，故③正確.故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的畫法及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
4．（2022·河南鄭州·八年級期末）如圖，分別平分的周長為18，，則的面積為（ ）
A．18B．30C．54D．27
【答案】D
【分析】過點(diǎn)I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得ID=IE=IF，再根據(jù)三角形面積計(jì)算即可得解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分線，ID⊥BC，
∴ID=IE，ID=IF，
∴ID=IE=IF=3，
∵△ABC的周長為18，
∴△ABC的面積=（AB+BC+AC）×3=×18×3=27．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河南·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的長度為_____________________cm．
【答案】3.5
【分析】過C點(diǎn)作CF⊥AB于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CF=CE，再證明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，證明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等線段代換，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，從而可求出DE的長．
【詳解】解：過C點(diǎn)作CF⊥AB于F，如圖，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案為：3.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
6．（2022·廣西來賓·八年級期中）如圖，AD是的角平分線，，，則的面積與的面積之比是______．
【答案】3：2
【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)得到DE=CD，再根據(jù)三角形面積公式解答即可．
【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
AD是的角平分線，
故答案為：3：2．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形面積公式等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
7．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中七年級期末）如圖，在中，的平分線與外角的平分線交于點(diǎn)E，連接，則____________．
【答案】45°##45度
【分析】過點(diǎn)E作EH⊥CB，交CB延長線于H，作EF⊥AC，交CA延長線于F，作EG⊥AB于G．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得EF=EG，再由角平分線的性質(zhì)定理逆定理可得AE平分∠FAB．從而得到∠EAB=80°，再求出∠ABE=55°，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥CB，交CB延長線于H，作EF⊥AC，交CA延長線于F，作EG⊥AB于G．
∵CE平分∠ACB，
∴EH=EF，
∴BE平分∠ABD，
∴EH=EG，
∴EF=EG，
∴AE平分∠FAB．
∵∠FAB=180°-∠BAC=160°，
∴∠EAB=80°，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC=110°，
∴∠ABE=55°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=45°．
故答案為：45°
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）已知：如圖1，在中，，，，是角平分線，與相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，．
【思考說理】（1）求證：．
【反思提升】（2）愛思考的小強(qiáng)嘗試將【問題背景】中的條件“”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)論（即）仍成立．你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請舉例說明，如果正確請僅就圖2給出證明．
【答案】（1）證明見詳解；（2）正確，證明見詳解；
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證即可求解；
（2）在AB上截取CP=CD，分別證、即可求證；
【詳解】證明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴點(diǎn)F是的內(nèi)心，
∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）如圖，在AB上截取CP=CD，
在和中，
∵
∴
∴，∠CFD=∠CFP，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE，
∵∠B=60°，
∴∠ACB+∠BAC=120°，
∴∠CAD+∠ACE=60°，
∴∠AFC=120°，
∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°，
∵∠CFD=∠CFP，
∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°，
在和中，
∵
∴
∴FP=EF
∴FD=EF．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等證明及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·安徽合肥·八年級期末）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知DA⊥x軸于點(diǎn)A，CB⊥x軸于點(diǎn)B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y軸于點(diǎn)E．
(1)求證：DO平分∠ADC．(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）由可得，由可得，再結(jié)合平分，即可證明平分．
（2）作于，利用角平分線的性質(zhì)可得，由此可得的坐標(biāo)．
（1）證明：軸，軸，，，平分，，，，，，平分．
（2）：作于，，．平分，，，．平分，，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2021·江蘇徐州·八年級期中）在“延時(shí)課堂”數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們了解到，工人師傅常用角尺作一個(gè)已知角的角平分線．作法如下：如圖①，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺0刻度的頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的角平分線．
（1）聯(lián)系三角形全等的條件，通過證明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．則這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是 ；
（2）在活動(dòng)的過程，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用兩個(gè)全等的三角形紙片也可以作一個(gè)已知角的角平分線．如圖②所示，△CDE≌△STR，將全等三角形的一組對應(yīng)邊DE、TR分別放在∠AOB的兩邊OA、OB上，同時(shí)使這組對應(yīng)邊所對的頂點(diǎn)C、S分別落在OB、OA上，此時(shí)CE和SR的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)Q，則射線OQ即為∠AOB的角平分線．你認(rèn)為他們的作法正確嗎？并說明理由．
【答案】（1）SSS；（2）正確，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)已知條件證得△MOP≌△NOP，并由此可得出判定依據(jù)；
（2）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到交點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．
【詳解】解：（1）∵OM=ON，PM=PN，OP= OP，
∴△MOP≌△NOP（SSS）．
故答案為：SSS．
（2）正確，理由是：
∵△CDE≌△STR，
∴∠OEC=∠ORS，CE=SR，
又∵∠COE=∠SOR，
∴△COE≌△SOR（AAS），
∴OE=OR，OC=OS，
∴SE=CR，
又∵∠SQE=∠CQR，
∴△SQE≌△CQR（AAS），
∴EQ=RQ，
又∵OQ=OQ，
∴△EOQ≌△ROQ（SSS），
∴∠AOQ=∠BOQ，
即OQ平分∠AOB．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對應(yīng)邊相等以及對應(yīng)角相等．
11．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求證：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】(1)先根據(jù)HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF，則可得DE=DF，根據(jù)角平分線的判定方法即可得證；
(2)先根據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，則可得AE=AF，又由于BE=FC，則結(jié)論得證．
（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE與Rt△CDE中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF， ∴AD平分∠BAC；
（2）證明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90°
又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE=AF，
∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，從內(nèi)一點(diǎn) 出發(fā)，把剪成三個(gè)三角形(如圖1)，邊放在同一直線上，點(diǎn)都落在直線上（如圖2），直線，則點(diǎn)是的（ ）
A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三邊中垂線的交點(diǎn)
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得點(diǎn)O到三邊的距離相等，點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)即可．
【詳解】解：∵直線，
根據(jù)平行線性質(zhì)知點(diǎn)O到BC距離，點(diǎn)O到AC距離，點(diǎn)O到BA距離相等，
∴點(diǎn)O到三邊的距離相等∴點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，故選擇A．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，則下列結(jié)論：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正確的是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝DF；根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出AD平分∠BAC；利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC-FC，從而即可得到AC-AB＝2BE；由垂線段最短可得AE＜AD．
【詳解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，故①正確；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正確；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，即AC-AB＝2BE，故④正確；
由垂線段最短可得AE＜AD，故③錯(cuò)誤，
綜上所述，正確的是①②④．故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定與角平分線的證明，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．
3．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC；⑤若AF＝2，則DE＝4．其中正確的有( )個(gè)
A．①②④B．①②④⑤C．①②⑤D．①②③⑤
【答案】B
【分析】易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，可得③錯(cuò)誤、④正確，過E作EG⊥BC于G點(diǎn)， 證明Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， 可得BG=BF， 再證明Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， 可得AF=CG=2，從而可得答案．
【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線， ∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正確；
②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正確；
③ ∠BCD=∠BDC，∠BAE=∠BEA， ∠BCD=∠BEA，
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE為等腰三角形， ∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC，
∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC， ∴EF≠EC， ∴③錯(cuò)誤；
④由③知AD=AE=EC， ∴④正確； 過E作EG⊥BC于G點(diǎn)，
∵E是∠ABC的角平分線BD上的點(diǎn)，且EF⊥AB，
∴EF=EG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG=BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，， ∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， ∴AF=CG=2，
∴ ，故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④⑤． 故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
4．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖所示，點(diǎn)D在∠BAC的角平線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，BC⊥AD于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正確的序號是______________．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝AF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADE＝∠ADF，根據(jù)垂直的定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后求出∠EDB＝∠FDC，再根據(jù)等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACD．
【詳解】解∵點(diǎn)D在∠BAC的角平線上，DE⊥AB，DF⊥AC，
DE＝DF，故①正確，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
Rt△ADERt△ADF（HL），
AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正確，
BC⊥AD，
∠ADB＝∠ADC＝90 ，
ADB－∠ADE＝∠ADC－∠ADF，
∠EDB＝∠FDC，故④正確；
∠ABD＋∠EDB＝90°，∠ACD＋∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正確，
故答案為：①②③④
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析已知條件與問題之間的位置關(guān)系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思考方向．
5．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則．其中正確的結(jié)論有________（填寫序號）．
【答案】①③④
【分析】由角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)等對結(jié)論進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：在中，和的平分線相交于點(diǎn)，
，，，
，
；故②錯(cuò)誤；
在中，和的平分線相交于點(diǎn)，
，，
，，，
，，
，，，故①正確；
過點(diǎn)作于，作于，連接，
在中，和的平分線相交于點(diǎn)，
，
；故④正確；
在中，和的平分線相交于點(diǎn)，
點(diǎn)到各邊的距離相等，故③正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)的有關(guān)角平分線的綜合問題，一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也就是說，一個(gè)點(diǎn)只要在角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到該角的兩邊的距離相等．
6．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，和都是等邊三角形，連接與，延長交于點(diǎn)H．(1)證明：；(2)求的度數(shù)；(3)連接，求證：平分．
【答案】(1)見解析(2)60°(3)見解析
【分析】（1）由△ABD和△BCE都是等邊三角形得BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，所以∠ABE＝∠DBC＝60°?∠DBE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABE≌△DBC，得AE＝DC；
（2）由△ABE≌△DBC得∠BAE＝∠BDC，因?yàn)椤螧AD＝∠BDA＝60°，所以∠HAD＋∠HDA＝＝120°，所以∠AHD＝60°；（3）作BF⊥HA于點(diǎn)F，BG⊥HC交HC的延長線于點(diǎn)G，則∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，即可證明△BAF≌△BDG，則BF＝BG，根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”即可證明HB平分∠AHC．
(1)證明：如圖1，
∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°?∠DBE，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC．
(2)解：如圖1，由（1）得△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴∠HAD＋∠HAD＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA＝∠HAD＋∠BAE＋∠BDA＝∠BAD＋∠BDA＝120°，
∴∠AHD＝180°?（∠HAD＋∠HDA）＝60°．
(3)證明：如圖2，作BF⊥HA于點(diǎn)F，BG⊥HC交HC的延長線于點(diǎn)G，
則∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，由△ABE≌△DBC得∠BAF＝∠BDG，
在△BAF和△BDG中，，
∴△BAF≌△BDG（AAS），∴BF＝BG，
∴點(diǎn)B在∠AHC的平分線上，∴HB平分∠AHC．
【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·湖北武漢·八年級期末）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．
（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點(diǎn)，求證：．
（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；
【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；
（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；
【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，
∵ ，，∴：=AB：AC；
（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE
又∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，∴ ，∴AB：AC=BD：CD；
（3）如圖延長BE至M，使EM=DC，連接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，
在△ADC與△AEM中，，
∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE為∠BAM的角平分線，故 ，∴BE：CD=AB：AC；
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；
8．（2021·廣東惠州·八年級期中）如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分∠BAC．（1）求證：CO平分∠ACD；（2）求證：OA⊥OC；（3）直接寫出AB，CD與AC的關(guān)系 ．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AB+CD＝AC
【分析】（1）過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OB＝OE，從而求出OE＝OD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；
（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根據(jù)垂直的定義即可證明；
（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后證明即可．
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，
∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∴OE＝OD，
又∵∠D=90°，OE⊥AC，∴OC平分∠ACD．
（2）證明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC．
（3）結(jié)論：AB+CD＝AC．
理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．故答案為：AB+CD＝AC．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)及判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·吉林·長春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．
3．角平分線
回憶：我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖，是的角平分線，所示上的任意一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有：
角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．
求證：，請寫出定理的證明過程．
分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，即可證明．
請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．
定理應(yīng)用：如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，平分，平分．
（1）求證：．
（2）若四邊形的周長為24，，面積為30，則的邊的高的長為_________．
【答案】分析：證明見解析；
定理應(yīng)用：（1）證明見解析；（2）3
【分析】分析：證明即可得出結(jié)論；
定理應(yīng)用：
（1）過E點(diǎn)分別向AB、AD、CD作垂線，進(jìn)而通過全等證明即可；
（2）根據(jù)AB、BE、CD之間的關(guān)系，利用等面積法進(jìn)行整體轉(zhuǎn)換，結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可求解．
【詳解】分析：
已知：射線OC是∠AOB的角平分線，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，
求證：PE=PD，
證明：∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠AOP=∠BOP，
∵PE⊥OB于EPD⊥OA于D，∴∠PEO=∠PDO=，
在△POD與△POE中，
∴△POD≌△POE(AAS)，∴PD=PE；
定理應(yīng)用：（1）如圖，過E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，
在△BEF與△CEH中
∴△BEF≌△CEH(AAS)，∴BE=CE；
（2）由（1）可知，，，
則，
，，，
，
，即：的邊的高為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)的證明與運(yùn)用，及等面積法轉(zhuǎn)換三角形面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)證明過程及靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

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