TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc23899" 【基礎知識】 PAGEREF _Tc23899 \h 1
\l "_Tc2300" 【考點1：復數(shù)的加減運算】 PAGEREF _Tc2300 \h 2
\l "_Tc11738" 【考點2：復數(shù)的乘除運算】 PAGEREF _Tc11738 \h 3
\l "_Tc8624" 【考點3：特殊復數(shù)的運算】 PAGEREF _Tc8624 \h 4
\l "_Tc27358" 【考點4：復數(shù)集內解方程或因式分解】 PAGEREF _Tc27358 \h 5
【基礎知識】
【知識點：復數(shù)的運算法則】
1、設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
2、復數(shù)的乘法
(1)復數(shù)的乘法類似于兩個多項式相乘，即把虛數(shù)單位i看作字母，然后按多項式的乘法法則進行運算，最后只要在所得的結果中把i2換成－1，并且把實部和虛部分別結合即可，但要注意把i的冪寫成簡單的形式；
(2)實數(shù)范圍內的運算法則在復數(shù)范圍內仍然適用，如交換律、結合律以及乘法對加法的分配律、正整數(shù)指數(shù)冪的運算律，這些對復數(shù)仍然成立．
3、復數(shù)的除法運算
關鍵是分母“實數(shù)化”，其一般步驟如下：
(1)分子、分母同時乘分母的共軛復數(shù)；
(2)對分子、分母分別進行乘法運算；
(3)整理、化簡成實部、虛部分開的標準形式．
[易錯提醒]
在乘法運算中要注意i的冪的性質：
(1)區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);
(2)區(qū)分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)與(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．
【考點1：復數(shù)的加減運算】
【知識點：復數(shù)的加減運算】
1．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）已知復數(shù)滿足，為的共軛復數(shù)，等于（ ）
A．2iB．C．1D．
2．（2024高一下·全國·專題練習）已知，則復數(shù)對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·內蒙古包頭·一模）設復數(shù)z滿足，，復數(shù)z所對應的點位于第四象限，則（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三下·內蒙古錫林郭勒盟·開學考試）若，則（ ）
A．B．C．D．
6．（多選）（2024·福建漳州·一模）若，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高一下·全國·專題練習）實數(shù)x，y滿足，且，則的值是 .
8．（2024高一下·全國·專題練習）計算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
【考點2：復數(shù)的乘除運算】
【知識點：復數(shù)的乘除運算】
1．（2024·陜西西安·二模）復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024·廣西來賓·一模）復數(shù)在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2024·遼寧撫順·一模）已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北滄州·模擬預測）復數(shù)的實部為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江蘇·一模）復數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知復數(shù)在復平面內對應的點在虛軸上，則實數(shù)（ ）
A．B．0C．1D．2
7．（2024·云南昆明·模擬預測）已知復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．1D．-1
8．（多選）（2024·廣東佛山·二模）已知復數(shù)，均不為0，則（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·河南·一模）計算（i為虛數(shù)單位）的值為 .
10．（2024高一下·江蘇·專題練習）已知z是復數(shù)，與均為實數(shù).
(1)求復數(shù)z；
(2)復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.
【考點3：特殊復數(shù)的運算】
【知識點：特殊復數(shù)的運算】
1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學附屬中學期中）已知i為虛數(shù)單位，下列與i相等的是（ ）
A．1iB．1?i1+iC．1+i1?iD．i+i2+i3+i4+?+i2003
2．（山西省部分學校2023屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題）若復數(shù)z滿足z(2+i)=1?i2023，則（ ）
A．z的虛部為35B．z=35?i5
C．|z|=105D．z在復平面內對應的點位于第四象限
3．（2023春·廣東東莞·高一東莞高級中學校考階段練習）復數(shù)z=1+i2023（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是__________.
4．（2023·全國·高三專題練習）1+2i?i100+1?i1+i52?1+i220=____________
5．（2022春·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎獜蛿?shù)z1=i?a,z2=1?i，其中a是實數(shù)．
(1)若z12=?2i，求實數(shù)a的值；
(2)若z1z2是純虛數(shù)，求z1z2+z1z22+z1z23+…+z1z22022
【考點4：復數(shù)集內解方程或因式分解】
【知識點：復數(shù)集內解方程或因式分解】
1．（2024·河南·模擬預測）已知，為實數(shù)，（i為虛數(shù)單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．（多選）（2024高三上·全國·開學考試）若關于的方程有兩個不等復數(shù)根和，其中（i是虛數(shù)單位），則下面四個選項正確的有（ ）
A．B．C．D．
3．（多選）（2024高三下·山東濟南·開學考試）已知，，是方程的三個互不相等的復數(shù)根，則（ ）
A．可能為純虛數(shù)
B．，，的虛部之積為
C．
D．，，的實部之和為2
4．（2024高一·全國·單元測試）在復數(shù)范圍內分解因式： ．
5．（2024高二下·重慶萬州·階段練習）復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的平方根為
6．（2024高一·湖南·課時練習）解方程：．
7．（2024高一·全國·專題練習）已知是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，求的值．
8．（2024高三·全國·專題練習）設、是方程（）在復數(shù)范圍內的兩根，求（用含a的解析式表示）

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7.2 復數(shù)的四則運算

版本： 人教A版 (2019)

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