全書要點速記第六章　平面向量及其應(yīng)用一、平面向量的線性運算 定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－ba－b＝a＋(－b)數(shù)乘實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa(1)模：|λa|＝|λ|·|a|；(2)方向：當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0設(shè)λ，μ是實數(shù)．(1)λ(μ a)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb二、向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．三、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．四、平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2．五、余弦定理及其推論1．余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．2．推論cos A＝，cos B＝，cos C＝．六、正弦定理及其常見變形1．正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝＝2R(R為△ABC外接圓半徑)．2．常見變形a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，＝2R．第七章　復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)表示1．復(fù)數(shù)把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部．把z＝a＋bi(a，b∈R)這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，即復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}．3．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d．4．復(fù)數(shù)的分類二、復(fù)數(shù)的幾何意義三、復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；(2)z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(3)＝＝＋i(z2≠0)．對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)，z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．第八章　立體幾何初步一、常見幾何體的面積多面體的表面積為各個面的面積的和，即展開圖的面積．圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝2πrl，表面積S＝2πr(r＋l)．圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl，表面積S＝πr(r＋l)．圓臺的側(cè)面積S側(cè)＝π(r′＋r)l，表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．球的表面積S＝4πR2．其中r′，r分別為上、下底面半徑，l為母線長，R為球的半徑．二、常見幾何體的體積柱體的體積V＝Sh；錐體的體積V＝Sh；臺體的體積V＝(S′＋＋S)h；球的體積V＝πR3．其中S′，S分別為上、下底面面積，h為高，R為球的半徑．三、平面的基本事實基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．四、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．空間中直線與直線的位置關(guān)系2．空間中直線與平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點；(3)直線與平面平行——沒有公共點．當(dāng)直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外．3．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩個平面平行——沒有公共點；(2)兩個平面相交——有一條公共直線．五、空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．2．直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．3．平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．4．平面與平面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．六、空間垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)1．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．2．直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．3．平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．4．平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．第九章　統(tǒng)計一、隨機抽樣簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取樣本的方法，分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣分層隨機抽樣將總體分層，按照比例從各層中獨立抽取樣本的方法二、樣本估計總體頻率分布樣本中某個數(shù)據(jù)(范圍)在總體中占有的比例稱為這個數(shù)據(jù)(范圍)的頻率，使用頻率分布表、頻率分布直方圖表達樣本數(shù)據(jù)的頻率分布樣本的數(shù)字特征百分位數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大小或等于這個值眾數(shù)從小到大排序后，中間的數(shù)或者中間兩數(shù)的平均數(shù)中位數(shù)樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)平均數(shù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是＝(x1＋x2＋…＋xn)方差、標(biāo)準(zhǔn)差三、頻率分布直方圖的特征1．各個小矩形的面積和為1．2．縱軸的含義為，矩形的面積＝組距×＝頻率．3．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值等于各個小矩形的面積乘該矩形底邊中點橫坐標(biāo)之和．4．眾數(shù)為最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．第十章　概率一、有限樣本空間與隨機事件1．隨機試驗：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗．2．樣本點：把隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點．3．樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間．4．有限樣本空間：樣本空間為有限集時，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．5．隨機事件：把樣本空間的子集稱為隨機事件，只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．6．必然事件：Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．7．不可能事件：空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．二、事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生，B發(fā)生也導(dǎo)致A發(fā)生A＝B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω三、古典概型1．特征(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．2．概率公式設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝．四、概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推廣：如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A) ≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．五、事件的相互獨立1．概念對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．2．性質(zhì)A與B是相互獨立事件，則A與，B與，與也相互獨立．六、頻率與概率1．頻率與概率的關(guān)系(1)頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．(2)頻率是隨機的，概率是確定的，可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．2．隨機模擬利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)做模擬試驗，由模擬試驗得到頻率來估計概率，這種用計算器或計算機軟件模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法． 

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