章末綜合檢測(六) (時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角θ為(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.   D.解析：選C.因為|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.2．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)A．135°   B．90°C．45°   D．30°解析：選C.由正弦定理＝?＝，則sin A＝sin B＝.因為a<b，所以A<B，所以A＝45°.3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，則b＝(　　)A．3   B．2C．2   D.解析：選C.由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，所以b＝2.4．在△ABC中，已知D是邊AB上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝(　　)A.   B.C.   D.解析：選B.由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故選B.5．設(shè)點A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，則點D的坐標(biāo)為(　　)A．(2，16)   B．(－2，－16)C．(4，16)   D．(2，0)解析：選A.設(shè)D(x，y)，由題意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)．所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以解得故選A.6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則的值為(　　)A．1   B.C.   D.解析：選D.由余弦定理a2＋c2－b2＝2accos B，得2ac·sin B＝ac，得sin B＝，由正弦定理＝，得＝sin B＝，故選D.7．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，則＝(　　)A．2   B.C．3   D.解析：選A.因為sin2B＝2sin Asin C，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cos B＝，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×＝2ac，即2×－5×＋2＝0，解得＝2或(舍去)，故選A.8．若四邊形ABCD滿足＋＝0，(－)·＝0，則該四邊形一定是(　　)A．正方形   B．矩形C．菱形   D．直角梯形解析：選C.由＋＝0，即＝，可得四邊形ABCD 為平行四邊形，由(－)·＝0，即·＝0，可得⊥，所以四邊形一定是菱形，故選C.9．在△ABC中，BC邊上的中線AD的長為2，BC＝2，則·＝(　　)A．1   B．2C．－2   D．－1解析：選C.·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝4－6＝－2.10．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，則＝(　　)A．－   B．－C.   D.解析：選B.由向量的平行四邊形法則，知當(dāng)|＋|＝||時，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.11．在平行四邊形ABCD中，對角線AC＝，BD＝，周長為18，則這個平行四邊形的面積等于(　　)A．16   B．C．18   D．32解析：選A.設(shè)AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，則，解得或所以cos∠BAD＝＝，所以sin∠BAD＝，S＝4×5×＝16.12．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面積S＝bcsin A＝10，b＝4，則a的值為(　　)A.   B.C.   D.解析：選B.由3acos C＝4csin A得＝，又由正弦定理＝，得＝?tan C＝，由S＝bcsin A＝10，b＝4?csin A＝5，由tan C＝?sin C＝，又根據(jù)正弦定理，得a＝＝＝.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________．解析：因為λa＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，所以所以答案：14．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，則角C＝________．解析：由已知條件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，則a＝，c＝2a－b＝，cos C＝＝－，又0<C<π，因此角C＝.答案：15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c＝2，C＝.若sin B＝2sin A，則△ABC的面積為________．解析：因為sin B＝2sin A，所以b＝2a.又因為c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.所以a＝，b＝.所以S△ABC＝absin C＝.答案：16．某人在點C測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進100米到點D處，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為________米．解析：示意圖如圖，設(shè)塔高x米，則BC＝x米，BD＝x米(x>0)．因為CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×，所以2x2－100x－10 000＝0.所以x2－50x－5 000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．答案：100三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，當(dāng)實數(shù)k為何值時，(1)c∥d；(2)c⊥d.解：由題意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.(1)當(dāng)c∥d時，c＝λd，則5a＋3b＝λ(3a＋kb)．所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝.(2)當(dāng)c⊥d時，c·d＝0，則(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，所以k＝－.18．(本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos B＝.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面積為4，求b，c的值．解：(1)因為cos B＝，所以sin B＝.因為a＝2，b＝4，所以sin A＝＝＝.(2)因為S△ABC＝4＝×2c×，所以c＝5，所以b＝＝.19．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線．(1)求實數(shù)λ的值；(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐標(biāo)；(3)已知點D(3，5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標(biāo)．解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因為A，E，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因為e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因為A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以＝.設(shè)A(x，y)，則＝(3－x，5－y)．因為＝(－7，－2)，所以解得即點A的坐標(biāo)為(10，7)．20．(本小題滿分12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面積．解：(1)因為c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，所以＝.(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.因為a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.21．(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.解：(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故sin B＝4(1－cos B)．上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.(2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，則ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.所以b＝2.22．(本小題滿分12分)(2019·河南、河北重點中學(xué)第三次聯(lián)考)如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分別為線段BC上的點，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求線段AD的長；(2)求△ADE的面積．解：(1)因為c＝4，b＝2，2ccos C＝b，所以cos C＝＝.由余弦定理得cos C＝＝＝，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝.(2)因為AE是∠BAC的平分線，所以＝＝＝2，又＝，所以＝2，所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.又因為cos C＝，所以sin C＝＝.所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×DC×AC×sin C－EC×AC×sin C＝×DE×AC×sin C＝. 

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