?5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義


本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
本節(jié)內(nèi)容通過分析上節(jié)中，高臺(tái)跳水問題、曲線上某點(diǎn)處切線斜率的問題，總結(jié)歸納出導(dǎo)數(shù)的概念，并引出導(dǎo)數(shù)的幾何意義。導(dǎo)數(shù)及其幾何意義是本章中的核心概念，它是研究函數(shù)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念的實(shí)際背景．
B.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念
2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率
4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義


重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)中蘊(yùn)含的極限思想和以直代曲的思想方法的理解

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教學(xué)過程
教學(xué)設(shè)計(jì)意圖
核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、 新知探究
前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平均速度和瞬時(shí)速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法；問題的答案也是一樣的表示形式。下面我們用上述思想方法研究更一般的問題。
探究1： 對于函數(shù)y=f(x)?，設(shè)自變量x從x0變化到x0+ ?x?，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x+x0)?。這時(shí)， x的變化量為?x，y的變化量為?y=fx0+?x-f(x0)
我們把比值?y?x，即?y?x=fx0+?x-f(x0)??x
叫做函數(shù)從x0到x0+?x的平均變化率。

1．導(dǎo)數(shù)的概念
如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x0處____，并把這個(gè)________叫做y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為__________)，記作f ′(x0)或________，即
f ′(x0)＝ ＝ .
可導(dǎo)； 確定的值； 瞬時(shí)變化率； y′|； ；
由導(dǎo)數(shù)的定義可知，問題1中運(yùn)動(dòng)員在t =1時(shí)的瞬時(shí)速度v(1)?，就是函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.
在t =1處的導(dǎo)數(shù)h'(1) ；問題2中拋物fx=x2線在點(diǎn)P0(1,1)
處的切線P0T的斜率k0，就是函數(shù)fx=x2在x =1處的導(dǎo)數(shù)f'(1) ，實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率，如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增長率等。
例1 設(shè)fx=1x, 求f'1.
解：f'1=?x→0lim???f1+?x-f(1)??x=?x→0lim???11+?x-1??x
=?x→0lim???-11+?x?=-1
利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)
(1)取極限前，要注意化簡，保證使Δx→0時(shí)分母不為0.
(2)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)只與x0有關(guān)，與Δx無關(guān).
(3)導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時(shí)變化率，應(yīng)用非常廣泛.
跟蹤訓(xùn)練1.　(1)若函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處可導(dǎo)，
則 等于(　　)
A．f ′(x0)　 B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．
(1)B　[∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h(huán))＝2h.∴ ＝2 ＝2f ′(x0)．故選B.]
(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
跟蹤訓(xùn)練2．建造一棟面積為x m2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解釋它的實(shí)際意義．
[解]　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得
f ′(100)＝ ＝
＝
＝
＝
＝＋
＝0.105.
f ′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑面積為100 m2時(shí)，成本增加的速度為1 050元/m2.
探究2：我們知道，導(dǎo)數(shù)f'x0表示函數(shù)y=fx在x=x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=fx在x=x0附近的變化情況，那么導(dǎo)數(shù)f'x0的幾何意義是什么？
觀察函數(shù)y=fx的圖像?，
平均變化率
?y?x=fx0+?x-f(x0)??x表示什么?
瞬時(shí)變化率
f'x0=?x→0lim????y?x=?x→0lim???fx0+?x-f(x0)??x表示什么？



2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
如圖，割線P0P的斜率k＝___________.記Δx＝x－x0，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y＝f (x)無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，k無限趨近于函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)y＝f (x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)就是__________的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0)．
；切線P0T
3．導(dǎo)函數(shù)
對于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f ′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝ .

例4. 如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的圖像，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在t=t0,t1,t2
附近的變化情況。

解：我們用曲線h(t)在t=t0,t1,t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t) 在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況
（1）當(dāng)t=t0時(shí)，曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h't0=0,
這時(shí)，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；
（2）當(dāng)t=t1時(shí)，曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h't1

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