知識點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念
1、空間向量的有關(guān)概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段 SKIPIF 1 < 0 來表示， SKIPIF 1 < 0 叫向量的起點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 叫向量的終點(diǎn)；
（2）字母表示法：用 SKIPIF 1 < 0 表示．向量 SKIPIF 1 < 0 的起點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，終點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 也可以記作 SKIPIF 1 < 0 ，其模記為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 的棱中，與向量 SKIPIF 1 < 0 模相等的向量有______個(gè).
【答案】7
【詳解】與 SKIPIF 1 < 0 模長相等的向量有： SKIPIF 1 < 0 共有7個(gè).
故答案為：7
知識點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算
1、空間向量的位置：已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ，可以把它們平移到同一平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，以任意點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為起點(diǎn)，作向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量 SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的和．記作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 差，記作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
4、空間向量的加法運(yùn)算律
（1）加法交換律： SKIPIF 1 < 0
（2）加法結(jié)合律： SKIPIF 1 < 0
【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A.
知識點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 與空間向量 SKIPIF 1 < 0 的乘積 SKIPIF 1 < 0 仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．
2：數(shù)乘向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系
3、對數(shù)乘向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系的進(jìn)一步理解：
（1）可以把向量 SKIPIF 1 < 0 模擴(kuò)大（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)），也可縮小（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)）；可以不改變向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)），也可以改變向量 SKIPIF 1 < 0 的方向（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)）．
（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 沒有意義，無法運(yùn)算．
【即學(xué)即練3】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，E為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)M，則 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由題可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
知識點(diǎn)04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是共線向量，則記為 SKIPIF 1 < 0 ．
在正確理解共線向量的定義時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 不一定成立，因?yàn)楫?dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，雖然 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不一定與 SKIPIF 1 < 0 共線（特別注意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要條件是存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
2.1共線向量定理推論：如果 SKIPIF 1 < 0 為經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 平行于已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 的直線,那么對于空間任一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上的充要條件是存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ①，若在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，則①可以化作： SKIPIF 1 < 0
2.2拓展(高頻考點(diǎn)）：對于直線外任意點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，空間中三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 共線的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
3、共面向量定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 不共線，那么向量 SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
或者等價(jià)于：對空間任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，空間一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（ SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，該式稱為空間平面 SKIPIF 1 < 0 的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，四點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 共面（其中 SKIPIF 1 < 0 不共線）的充要條件是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
【即學(xué)即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為空間任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
題型01 空間向量的有關(guān)概念
【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（ ）
A．與 SKIPIF 1 < 0 共面的單位向量有無數(shù)個(gè)
B．與 SKIPIF 1 < 0 垂直的單位向量有無數(shù)個(gè)
C．與 SKIPIF 1 < 0 平行的單位向量只有一個(gè)
D．與 SKIPIF 1 < 0 同向的單位向量只有一個(gè)
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；③在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，必有 SKIPIF 1 < 0 ；④若空間向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中為真命題的是（ ）
A．空間向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知 SKIPIF 1 < 0 為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：
（1）與 SKIPIF 1 < 0 相等的向量；
（2）與 SKIPIF 1 < 0 相反的向量；
（3）與 SKIPIF 1 < 0 平行的向量．
題型02 空間向量加減運(yùn)算及幾何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知在空間四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體 SKIPIF 1 < 0 中，化簡 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 都是平行四邊形且不共面， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是否共線？
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在體對角線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是空間的一個(gè)基底，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)不共線的空間向量，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為______.
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且A， B， D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．
【變式2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ______．．
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┛臻g四點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 及空間任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由下列條件一定可以得出 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和不共線的三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足向量關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），試問： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)是否共面？
【變式1】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，證明這三個(gè)向量共面.
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）
【典例1】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)不共線， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面的充要條件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間中一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖,平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 外一點(diǎn),設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末） SKIPIF 1 < 0 是空間向量的一組基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
題型07空間向量共面（推論及其應(yīng)用）
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)不共線， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點(diǎn)，若由 SKIPIF 1 < 0 確定的一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共面，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間中任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為_________.
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 確定的平面內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 是空間任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
題型08空間向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn)F是 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 為空間的9個(gè)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
求證：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，D是四邊形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)M滿足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則下列向量中與 SKIPIF 1 < 0 相等的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系是（ ）
A．共面B．不共面C．共線D．無法確定
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體 SKIPIF 1 < 0 中，化簡 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)?？计谀┮阎陂L方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．1D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023秋·山東威海·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 確定的平面內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 為空間任一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分別交棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （不同于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．存在平面 SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．對任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0
D．對任意的平面 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 平分線段 SKIPIF 1 < 0
二、多選題
9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．空間的任意三個(gè)向量都不共面
B．空間的任意兩個(gè)向量都共面
C．三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個(gè)向量一定也共面
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 共線的必要條件
C． SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 四點(diǎn)共面
D．若 SKIPIF 1 < 0 為空間四點(diǎn)，且有 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不共線），則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線的充要條件
三、填空題
11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是不共面向量， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ______.
12．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由 SKIPIF 1 < 0 確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則 SKIPIF 1 < 0 _________．
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為空間的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)點(diǎn)（如圖所示），并且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 外一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求滿足 SKIPIF 1 < 0 的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值．
B能力提升
1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知長方體 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，則三角形 SKIPIF 1 < 0 周長最小值是___________.
C綜合素養(yǎng)
1．（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，P為空間一點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn)P在棱 SKIPIF 1 < 0 上B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn)P在棱 SKIPIF 1 < 0 上
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn)P在線段 SKIPIF 1 < 0 上D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，點(diǎn)P在線段 SKIPIF 1 < 0 上
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__；若 SKIPIF 1 < 0 為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__．
3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 任意作一個(gè)平面分別交線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值，并求出該定值.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.
②會進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.
1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.
2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.
名稱
定義及表示
零向量
長度為0的向量叫做零向量，記為 SKIPIF 1 < 0
單位向量
模為1的向量稱為單位向量
相反向量
與向量 SKIPIF 1 < 0 長度相等而方向相反的向量，稱為 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，記為 SKIPIF 1 < 0
相等向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量
SKIPIF 1 < 0 的范圍
SKIPIF 1 < 0 的方向
SKIPIF 1 < 0 的模
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相同
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其方向是任意的
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與向量 SKIPIF 1 < 0 的方向相反

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1.1 空間向量及其運(yùn)算

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年級： 選擇性必修 第一冊

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