第18講 第八章 立體幾何初步 章節(jié)驗收測評卷 一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的. 故選：A. 2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點，且平行于軸，則，，對應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對于這三條線段，正確的判斷是（????） ?? A．最短的是AD B．最短的是AC C． D． 【答案】A 【詳解】因為平行于軸，所以在中，， 又因為是中邊的中點，所以是的中點， 所以. 故選：A 3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點.為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖. 則從點A到點B的最短路徑為線段，，所以. 過S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為， 因為，所以， 故選:D. 4．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（????）立方米. ???? A． B．24 C． D．72 【答案】B 【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心， 連接，則底面邊長，對角線，. 又，故高. 故該正四棱錐體積為. ???? 故選：B 5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，交于點，則異面直線與所成角的余弦值為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】連接，因為，所以異面直線與所成的角為， （由正方體的幾何性質(zhì)易知為銳角，故即所求角） 設(shè)，則，則， 故，故， 所以異面直線與所成角的余弦值為， 故選：C． 6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面是正三角形，是圓錐底面圓的圓心，是底面圓上的兩個動點，且．若三棱錐的高為，則三棱錐的體積的最大值為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】如圖，連接OP，則由圓錐的性質(zhì)可知底面，， 因為是正三角形，所以， 又因為點是底面圓上的兩個動點，且，， 所以是正三角形，故， 設(shè)中點為，中邊上的高為， 則，當且僅當，且是劣弧的中點時，最大，且最大距離為， 此時的面積的最大值為， 所以三棱錐的體積的最大值為, ?? 故選：A 7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖①所示，四邊形是由一個邊長為的等邊與另外一個拼接而成，現(xiàn)沿著直線進行翻折，使得平面平面，連接，得到三棱錐，如圖②所示．若，，則三棱錐的外接球的體積為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】?? 由已知，，，即，故， 設(shè)等邊的中心，連接，，， 可得， 延長交于點，則為的中點，， 連接，， 如圖所示，因為平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 因為，，所以， 則三棱錐的外接球球心即為的中心， 故三棱錐的外接球的體積， 故選：B． 8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正三棱柱的六個頂點均在同一個半徑為1的球面上，則正三棱柱側(cè)面積的最大值為（????） A． B． C．6 D． 【答案】B 【詳解】解法一： 設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為， 則，故，所以，即， 又三棱柱的側(cè)面積， 所以， 當時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為． 解法二： 設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為， 則，故，所以， 因為，所以， 當且僅當，時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為. 故選：B. 二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.） 9．（2024上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論錯誤的是（????） A．，，則 B．，，，，則 C．，，，則 D．，，，則 【答案】ABD 【詳解】對于A，若，，則或，A錯誤； 對于B，若，，，，則或，相交， 只有加上條件m，n相交，結(jié)論才成立，B錯誤； 對于C，若，，則，又因為，所以，C正確； 對于D，若，，無法得到， 只有加上條件才能得出結(jié)論，D錯誤. 故選：ABD. 10．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（????） A．直線與直線相交； B．直線與直線平行； C．直線BM與直線是異面直線； D．直線與直線成角. 【答案】CD 【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體， 對于A中，直線與不同在任何一個平面內(nèi)，否則四點共面，（矛盾）， 所以直線與為異面直線，所以A不正確； 對于B中，直線與不同在任何一個平面內(nèi)，否則四點共面，（矛盾）， 所以直線與為異面直線，所以B不正確； 對于C中，平面平面，平面，平面， 所以直線與不相交，連接，則，而與相交， 所以與不平行，否則，不合題意， 所以直線與是異面直線，所以C正確； 對于D中，連接，則為正三角形，可得， 又由，則為直線與直線所成的角， 即直線與直線所成的角為，所以D正確. 故選：CD. 11．（2024上·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點為棱上一點，滿足，下列結(jié)論正確的是（??） ?? A．平面平面； B．在棱上不存在點，使得平面 C．當時，異面直線與所成角的余弦值為； D．點到直線的距離； 【答案】ACD 【詳解】A選項，因為平面，平面，平面， 所以，， 故即為與底面所成的角，即， 故，而，所以， 在直角梯形中，， 則，故， 又因為平面，所以平面， 因為平面 ，故平面平面，故A正確； D選項：由A選項的證明過程可知：平面， 因為平面，所以， 故點到直線的距離即為的長度， 因為平面，平面，故， 而， 即點到直線的距離，故D正確； 對于C，當時，，即為的中點， ?? 設(shè)為的中點，連接， 則， 而，故， 故四邊形為平行四邊形，則， 故異面直線與所成角即為的夾角， 在中，， 則， 則異面直線與所成角的余弦值為，C正確； 對于B，由C選項知，當時，， 因為平面，平面， 所以平面， 所以時，平面，故B錯誤. 故選：ACD. 12．（2024上·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動點在線段上，則（????） A．不存在點，使得 B．的最小值為 C．四棱錐的外接球表面積為 D．點到直線的距離的最小值為 【答案】BCD 【詳解】對于A：連接，且，如圖所示，當在中點時， ?? 因為點為的中點，所以，因為平面， 所以平面，又因為平面，所以， 因為為正方形，所以. 又因為，且，平面，所以平面， 因為平面，所以，所以A錯誤； 對于B：將和所在的平面沿著展開在一個平面上，如圖所示， ?? 則的最小值為，直角斜邊上高為，即， 直角斜邊上高也為，所以的最小值為，所以B正確； 對于C：易知四棱錐的外接球直徑為， 半徑，表面積，所以C正確； 對于D：點到直線的距離的最小值即為異面直線與的距離， 因為，且平面，平面，所以平面， 所以直線到平面的距離等于點到平面的距離，過點作， 因為平面，所以,又,且, 故平面，平面，所以，因為， 且，平面，所以平面，所以點到平面的距離， 即為的長，如圖所示， ?? 在中，，，可得， 所以由等面積得，即直線到平面的距離等于，所以D正確， 故選：BCD. 三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.） 13．（2024上·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則 . 【答案】 【詳解】根據(jù)題意，因為平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中點，所以是的中點. 因為在中，，故. 故答案為： 14．（2024上·上?！じ叨軛疃行？计谀┮阎獔A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個小圓錐和一個圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為 . 【答案】/1:7 【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為， 由題意，，，故， 作圓錐軸截面如下圖： 所以，，，所以圓錐體積為， 因為用與底面的距離為的平面截圓錐，故，且， 所以小圓錐體積， 所以圓臺的體積， 故小圓錐和圓臺的體積之比為. 故答案為： 15．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為 ． 【答案】 【詳解】如圖：取的中點,連接， 結(jié)合題意：易得為等邊三角形， 因為為的中點，所以 因為在直四棱柱中有面,且面， 所以,又因為,且面 所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心， 因為直四棱柱的所有棱長均為4，， 所以 ,, ,, 故以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以為圓心, 為半徑的圓所成的圓弧. 所以. 故答案為: . 16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為 ；若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為 ． 【答案】 【詳解】連接，有，而，為中點，則有， ，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點， 于是點共面，而，即有，， 因為，，平面，則平面， 又平面，即有，則，同理， 即，從而，即四邊形為平行四邊形，，， 等腰梯形中，高，其面積， 顯然平面，所以多面體的體積； 因為平面，同理可得平面，又，則平面， 依題意，動點所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過點， 令這個平面與幾何體棱的交點依次為，則, 又為的中點，則點為所在棱的中點，即點的軌跡為五邊形， 長度為： . 故答案為：； 四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.） 17．（2024上·全國·高三專題練習）在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點. (1)求證：平面BDE. (2)求三棱錐的體積 【答案】(1)證明見解析 (2) 【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接. ?? ∵四邊形是正方形，在中，為的中點， 又∵為的中點，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）如圖，取的中點，連接， ?? 則且， ∵平面，∴平面， ∴就是三棱錐的高. ∴. 18．（2024·全國·高二專題練習）如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P． (1)求證：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥． 又∵，平面， ∴⊥平面． 又平面， ∴平面⊥平面． （2）如圖所示，取的中點F，連接， ∵四邊形為矩形， ∴， 因為，所以⊥，⊥， 故就是二面角的平面角． 又⊥平面，平面， 所以⊥， ∵， ∴， ∴． ∴二面角P－AD－E的大小為． 19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點． (1)求證：平面EAC． (2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：． 【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析 【詳解】（1）連接交于，連接， 因為四邊形是平行四邊形，所以為中點， 又因為為中點，所以是的中位線， 所以， 又因為平面，平面， 所以平面. （2）因為平面，平面平面，平面， 所以. 20．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，為的中點. (1)證明：⊥平面. (2)若，平面平面，求點到平面的距離. 【答案】(1)證明見解析 (2) 【詳解】（1）因為，為的中點， 所以， 又因為平面， 所以⊥平面. （2）因為平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因為，所以均為等邊三角形， 故，故， 所以， 因為平面，平面， 所以，由勾股定理得， 取的中點，連接， 在中，，故⊥， 故，， 設(shè)點到平面的距離為，所以，解得. 21．（2024上·上海·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形． (1)求異面直線與所成的角的大小； (2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【詳解】（1）因為為正方形，則， 則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角， 因為三角形是等邊三角形，則 平面，平面，，． 所以異面直線AC與BD所成的角為． （2）作交于點，連接， 平面，平面， 則與平面所成的角為， 設(shè)，則， 則. 22．（2024上·河北·高三張北縣第一中學校聯(lián)考階段練習）在平行六面體中，已知，． (1)證明：平面； (2)當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【詳解】（1）設(shè)，則為的中點，連接， 因為，可知， 可得，則， 又因為為菱形，則， 且，平面，所以平面. （2）設(shè)，則為的中點，連接， 設(shè)到的距離為， ?? 則， 當且僅當，即平面時，等號成立， 又因為，即， 可得， 當且僅當時，等號成立， 綜上所述：當且僅當為正方體時，三棱錐體積最大， 由題意可知：，為的中點， ?? 則，可知二面角的平面角為， 在中，， 可得， 所以二面角的余弦值為.

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