第17講 第八章 立體幾何初步 章末題型大總結(jié) 一、數(shù)學(xué)思想方法 1、函數(shù)與方程的思想 1．（2023上·全國·高三階段練習(xí)）在長方體中，，，若線段上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（????） A． B． C． D． 2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正方體的外接球表面積為12，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，若恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（????） A． B． C． D． 3．（2022下·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平行于對棱，截面面積的最大值是 . 2、數(shù)形結(jié)合思想 1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)?？计谀┰诶忾L為1的正方體中，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，滿足直線與直線所成角的大小為，則線段掃過的面積的大小為（????） A． B． C． D． 2．（2023上·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）在正方體中，棱長為2，平面經(jīng)過點(diǎn)，且滿足直線與平面所成角為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則長度的取值范圍為（????） A． B． C． D． 3．（2023上·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，母線一點(diǎn)，且公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路，則這段鐵路的長度為 公里. ?? 3、轉(zhuǎn)化與化歸思想 1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，M是面內(nèi)一動點(diǎn)，且，N是棱上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（???） A．2 B． C． D． 2．（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)校考階段練習(xí)）在直三棱柱中分別為的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從到兩點(diǎn)的最短路徑的長度為（????） ?? A． B． C． D． 3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在正三棱錐中，底面邊長為a，側(cè)棱長為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，AD上的動點(diǎn)，求截面周長的最小值和這時(shí)點(diǎn)E，F(xiàn)的位置． ?? 4、分類與整合的思想 1．（多選）（2023上·湖南長沙·高二?？计谥校┤鐖D，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，O和點(diǎn)C，B，使，.已知，，，則線段OC的長為（????） ?? A．6 B．8 C． D． 2．（多選）（2023上·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（????） ?? A．過棱的截面中，截面面積的最小值為 B．若過棱的截面與棱（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，則 C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為 D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè) 3．（多選）（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谀┧睦忮F的四個(gè)側(cè)面都是腰長為，底邊長為2的等腰三角形，則該四棱錐的高為（????） A． B． C． D． 二、重點(diǎn)題型精講 題型01空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積 【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（????） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱臺中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為 ． 【典例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，該“四角反棱柱”是由兩個(gè)相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為 ． 【變式1】（多選）（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個(gè)陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點(diǎn)，，將其余部分折疊圍成一個(gè)封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（????） A． B． C． D． 【變式2】（2024上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為 ． 【變式3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）已知中，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是 ． 題型02空間幾何體與內(nèi)切球問題 【典例1】（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）以半徑為的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑滿足（????） A． B． C． D． 【典例2】（2024上·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為. 若，則的最小值為 . 【典例3】（2023上·江蘇·高三江蘇省白蒲高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內(nèi)切球(與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球)的表面積為 . 【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知球是底面半徑為4、高為的圓錐的內(nèi)切球，若球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則當(dāng)該正三棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，正三棱柱的體積為 ． 【變式2】（2023上·四川·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在直三棱柱中存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為 . 【變式3】（2023上·江蘇·高三期末）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球.若圓臺的上、下底面半徑分別為，且，則它的內(nèi)切球的體積的最大值為 . 題型03空間幾何體與外接球問題 【典例1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┱拿骟w的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（????） A． B． C． D． 【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長為2，且，將沿直線翻折為，記的中點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，三棱錐的外接球表面積為 . 【典例3】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點(diǎn)為三棱錐外接球上一動點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離的最大值為，則球的表面積為 ． 【變式1】（多選）（2024上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球?yàn)榍騉，則（????） A．⊥ B． C． D．點(diǎn)O不可能在平面內(nèi) 【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）正多面體被古希臘哲學(xué)家柏拉圖認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，也是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個(gè)棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積為 ，平面截此正八面體的外接球所得截面的面積為 ． ?? 【變式3】（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是 ，它的外接球表面積的最小值為 . 題型04平行、垂直的證明 【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動點(diǎn).證明：平面. 【典例2】（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點(diǎn)． ?? (1)證明：平面平面； (2)利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后證明平面． 【典例3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正四棱柱， (1)求證：平面； (2)求證：平面平面 【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).證明：平面平面. ?? 【變式2】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點(diǎn). (1)求證：平面； (2)求證：平面. 【變式3】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點(diǎn)．求證： ?? (1)平面； (2)． 題型05定義法求線面角 【典例1】（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┰谌鐖D所示的圓錐中，是頂點(diǎn)，是底面的圓心，、是圓周上兩點(diǎn)，且，． (1)若圓錐側(cè)面積為，求圓錐的體積； (2)設(shè)圓錐的高為2，是線段上一點(diǎn)，且滿足，求直線與平面所成角的正切值． 【典例2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱臺中，平面平面，且，. (1)證明：； (2)求直線與平面所成角的正弦值. 【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側(cè)棱底面，求直線與平面所成角的正弦值. ?? 【變式2】（2024上·重慶·高二統(tǒng)考期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，PC上，且滿足，． (1)證明：平面PAD； (2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值． 題型06等體積法求線面角 【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，，，，，，，是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)（不是的中點(diǎn)）． (1)求證：； (2)若，求直線與平面所成角的正弦值． 【典例2】（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，直三棱柱體積為，為的中點(diǎn)，的面積為. (1)求到平面的距離； (2)若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值. 【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，將沿直線翻折至，使得二面角的大小為，為的中點(diǎn)，在線段上，平面． (1)記五棱錐的體積為，四面體的體積為，求； (2)求與平面所成角的正弦值． 【變式2】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱柱中，為中點(diǎn)，． ?? (1)證明：平面； (2)求與平面所成角的正弦值． 題型07定義法，三垂線法求二面角 【典例1】（2022上·河南·高二寶豐縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在長方體中，為的中點(diǎn)，則二面角的大小為（????） A． B． C． D． 【典例2】（2022上·湖南懷化·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中， (1)求異面直線與所成的角的大??； (2)求二面角的大小. 【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .則二面角的正弦值為_____. 【典例4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長為1． (1)求異面直線與AC所成角的大?。?(2)求二面角的余弦值． 【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）將邊長為a的正三角形ABC，沿BC邊上的高線AD將△ABC折起．C點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，若折起后B與兩點(diǎn)間的距離為，則二面角的大小為 ． 【變式2】（2019·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）如圖,楔形幾何體由一個(gè)三棱柱截去部分后所得,底面?zhèn)让?,楔面是邊長為2的正三角形,點(diǎn)在側(cè)面的射影是矩形的中心,點(diǎn)在上,且 （1）證明：平面； （2）求楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值. 【變式3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知如圖邊長為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______． 【變式4】（2023·上?！つM預(yù)測）直四棱柱，，，，， ?? (1)求證：； (2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值 ? 題型08面積投影法求二面角 【典例1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______. 【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）的邊在平面內(nèi)，在內(nèi)的射影是，設(shè)的面積為S，它和平面所成的一個(gè)二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________． 【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________. 題型09等體積法求點(diǎn)面距離 【典例1】（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為（????） A．1 B． C． D．2 【典例2】（2024上·上?！じ叨虾煷蟾街行？计谀┰谥比庵校瑒t點(diǎn)到平面的距離為 . 【典例3】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn). (1)證明：平面； (2)若，求點(diǎn)到平面的距離. 【變式1】（2024上·全國·高三階段練習(xí)）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面的距離為（????） A． B． C． D． 【變式2】（2021下·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，，，分別是，，的中點(diǎn)． (1)求證：平面； (2)求點(diǎn)到平面的距離． 【變式3】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）如圖，平面，. (1)求證：平面； (2)求點(diǎn)到平面的距離；

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