第十八章綜合素質(zhì)評價 一、選擇題(每題3分，共30分) 1.下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　C　) A.內(nèi)角和為360° B.對角線互相平分 C.對角線相等 D.對角線互相垂直 2.[2022·廣東]如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE＝(　D　) (第2題) A.14 　B.12 C.1 D.2 3.[2023·北京四中期中]如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列添加的條件不正確的是(　A　) (第3題) A.AD＝BC B.AB＝CD C.AD∥BC D.∠A＝∠C 4.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝36°，則∠DCB的度數(shù)為(　A　) (第4題) A.54° B.64° C.72° D.75° 5.某班同學(xué)在“做環(huán)保護航者”的主題班會課上制作象征“健康快樂”的綠絲帶(絲帶的對邊平行且寬度相同)，如圖，絲帶重疊的部分一定是(　C　) (第5題) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能 6.(母題：教材P50習(xí)題T8)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點A的坐標(biāo)為(0，2)，點B的坐標(biāo)為(4，0)，則點C的坐標(biāo)為(　C　) (第6題) A.(6，3) B.(8，3) C.(6，4) D.(8，4) 7.[2022·寧波]將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出(　C　) (第7題) A.正方形紙片的面積 B.四邊形EFGH的面積 C.△BEF的面積 D.△AEH的面積 8.[2023·鄭州外國語中學(xué)模擬]如圖所示，邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，P為AB的中點，Q為OD的中點，連接PQ，則PQ的長為(　C　) (第8題) A.23 B.32 C.13 D.15 9.[2023·德陽]如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是(　A　) (第9題) A.1 B.32 C.32 D.3 10.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，點P從點D出發(fā)，以1 cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動.設(shè)點P的運動時間為t(單位：s)，下列結(jié)論正確的是(　D　) (第10題) A.當(dāng)t＝4 s時，四邊形ABMP為矩形 B.當(dāng)t＝5 s時，四邊形CDPM為平行四邊形 C.當(dāng)CD＝PM時，t＝4 s D.當(dāng)CD＝PM時，t＝4 s或6 s 二、填空題(每題3分，共24分) 11.如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，CD的延長線上，連接EF，分別交AD，BC于點G，H.添加一個條件使△AEG≌△CFH，這個條件可以是　BE＝DF(答案不唯一)　.(只需寫一種情況) (第11題) 12.(母題：教材P57練習(xí)T2)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝10，則菱形ABCD的面積為　30　. (第12題) 13.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點.若DE＝5，則AB的長為　10　. (第13題) 14.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E，若∠CBF＝20°，則∠AED等于　65°　. (第14題) 15.[2023·金昌]如圖，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分別為B，D，若AB＝6 cm，則EF＝　23　cm. (第15題) 16.[2023·濱州]如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，則BF的長為　22　. (第16題) 17.如果一個平行四邊形的一個內(nèi)角的平分線分它的一邊為1∶2的兩部分，那么稱這樣的平行四邊形為“協(xié)調(diào)平行四邊形”，稱該邊為“協(xié)調(diào)邊”.當(dāng)協(xié)調(diào)邊為6時，這個平行四邊形的周長為　16或20　. 18.[2023·南京外國語學(xué)校期中]如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD沿EF折疊，點C落在AB邊上的點G處，點D與點H重合，CG與EF交于點P，取GH的中點Q，連接PQ，則△GPQ周長的最小值是　5＋1　. 三、解答題(19題8分，20題10分，其余每題12分，共66分) 19.[2023·北大附中期中]如圖，點E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE＝CF.求證：DF＝BE. 【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，CD＝AB.∴∠DCF＝∠BAE， 在△CDF和△ABE中，CD＝AB，∠DCF＝∠BAE，CF＝AE，∴△CDF≌△ABE(SAS).∴DF＝BE. 20.[2023·張家界]如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. (1)求證：AE∥BF； (2)若DF＝FC，求證：四邊形DECF是菱形. 　【證明】(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD. ∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)， ∴∠A＝∠B，∴AE∥BF. (2)∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF. ∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形. ∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形. 21.如圖①，在一平面內(nèi)，從左到右，點A，D，O，C，B均在同一直線上，線段AB＝4，線段CD＝2，O分別是AB，CD的中點，如圖②，固定點O以及線段AB，讓線段CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°).連接AC，AD，BC，BD. (1)求證：四邊形ADBC為平行四邊形； (2)當(dāng)α＝90°時，求四邊形ADBC的周長； 　(1)【證明】∵O分別是AB，CD的中點， ∴OA＝OB，OC＝OD. ∴四邊形ADBC為平行四邊形. (2)【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD. 又∵四邊形ADBC為平行四邊形，∴四邊形ADBC為菱形. ∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1. ∴AD＝OD2＋OA2＝12＋22＝5. ∴四邊形ADBC的周長為45. 22.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是AB，AC的中點，連接CD，過點E作EF∥DC交BC的延長線于點F. (1)求證：四邊形CDEF是平行四邊形； (2)若四邊形CDEF的周長是25 cm，AC的長為5 cm，求線段AB的長度. 　(1)【證明】∵D，E分別是AB，AC的中點，∴ED是Rt△ABC的中位線.∴ED∥FC. 又∵EF∥DC，∴四邊形CDEF是平行四邊形. (2)【解】∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DC＝EF. ∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴AB＝2DC. 又∵ED是Rt△ABC的中位線，∴BC＝2DE.∴四邊形CDEF的周長為AB＋BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52，解得AB＝13 cm. ∴線段AB的長度為13 cm. 23.如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE. (1)BF與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論. (2)在其他條件都保持不變的情況下，當(dāng)點E運動到AC的中點時，四邊形AFBE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論. 　【解】(1)BF＝DE.證明如下： ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°. ∵AF⊥AC，∴∠BAF＝∠BAC＝∠DAC＝45°. 又∵AB＝AD，AF＝AE，∴△AFB≌△AED(SAS).∴BF＝DE. (2)四邊形AFBE是正方形.證明如下： ∵四邊形ABCD是正方形，E是AC的中點，∴AE＝BE. 在△ABF和△ABE中，AF＝AE，∠FAB＝∠EAB=45°，AB＝AB，∴△ABF≌△ABE(SAS).∴BF＝BE. ∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四邊形AFBE是菱形. 又∵AF⊥AE，∴四邊形AFBE是正方形. 24.已知AC是菱形ABCD的對角線，∠BAC＝60°，點E是直線BC上的一個動點，連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，連接CG.當(dāng)點E在線段BC上時，如圖①，易證：AB＝CG＋CE. (1)當(dāng)點E在線段BC的延長線上時(如圖②)，猜想AB，CG，CE之間的關(guān)系并證明； (2)當(dāng)點E在線段CB的延長線上時(如圖③)，直接寫出AB，CG，CE之間的關(guān)系. 　【解】(1)AB＝CG－CE.證明如下： ∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC. 又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形. ∴AB＝AC. ∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAG.又∵四邊形AEFG是菱形，∴AE＝AG. 在△ABE和△ACG中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAG，AE＝AG，∴△ABE≌△ACG(SAS).∴BE＝CG. ∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE. (2)AB＝CE－CG. 第十八章綜合素質(zhì)評價 一、1.C　2.D 3.A 【點撥】A.當(dāng)AB∥CD，AD＝BC時，四邊形ABCD可能為等腰梯形，故此選項符合題意；B.當(dāng)AB∥CD，AB＝CD時，一組對邊平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；C.當(dāng)AB∥CD，AD∥BC時，兩組對邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意；D.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°.∴AD∥BC. ∴四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不符合題意. 故選A. 4.A　5.C　6.C 7.C 【點撥】根據(jù)題意知四邊形EFGH為正方形，設(shè)正方形紙片的邊長為x，正方形EFGH的邊長為y，則矩形紙片的寬為x－y.根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得矩形紙片的長為x＋y，先表示出圖中陰影部分的面積，再分別表示出四個選項中的面積，即可得出正確答案. 8.C 【點撥】過點P作PM⊥OB，垂足為M，根據(jù)∠ABC＝60°，AB＝BC，得到△ABC為等邊三角形，從而得到∠ABD＝30°，計算出MO＝12OB＝3＝OQ，PM＝1，再計算出MQ＝OM＋OQ＝2OM＝23，最后根據(jù)勾股定理計算出PQ. 9.A 【點撥】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值，過D點作DM⊥AC于點M，過G點作GP⊥AC于點P，則GP∥MD，利用平行四邊形的面積求DM的長，再利用三角形的中位線定理可求PG的長，進而可求解. 10.D 二、11.BE＝DF（答案不唯一） 12.30　13.10　14.65°　15.23 16.22【點撥】如圖，過A作AN⊥BD于N，過B作BM⊥AC于M， ∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°. ∵四邊形ABCD是矩形， ∴OB＝12BD，OA＝12AC，AC＝BD.∴OB＝OA. ∵S△AOB＝12OB·AN＝12OA·BM，∴AN＝BM. ∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌Rt△BMF（HL）. ∴FM＝EN. 設(shè)FM＝EN＝x. ∵AF＝1，BE＝3，∴BN＝3－x，AM＝1＋x.易知BN＝AM. ∴3－x＝1＋x.∴x＝1.∴FM＝1. ∴AM＝2. ∵AB＝5，∴BM＝AB2－AM2＝21. ∴BF＝FM2＋BM2＝1+21＝22. 17.16或20 【點撥】如圖所示. ①當(dāng)AE＝2，DE＝4時，∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC＝AD＝6，AB＝CD，AD∥BC.∴∠AEB＝∠CBE. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE＝2. ∴平行四邊形ABCD的周長為2（AB＋AD）＝16. ②當(dāng)AE＝4，DE＝2時，同理可得AB＝AE＝4，平行四邊形ABCD的周長為2（AB＋AD）＝20. 綜上所述，這個平行四邊形的周長為16或20. 18.5＋1 【點撥】如圖，取CD的中點N，連接PN，PB，BN，易得BN＝5. 由折疊的性質(zhì)以及對稱性可知 PQ＝PN，PG＝PC，GH＝CD＝2. ∵點Q是GH的中點， ∴QG＝12GH＝1，∵∠CBG＝90°，PC＝PG， ∴PB＝PG＝PC.∴PQ＋PG＝PN＋PB≥BN＝5. ∴PQ＋PG的最小值為5.∴△GPQ的周長的最小值為5＋1. 三、19.【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，CD＝AB.∴∠DCF＝∠BAE， 在△CDF和△ABE中，CD＝AB，∠DCF＝∠BAE，CF＝AE， ∴△CDF≌△ABE（SAS）.∴DF＝BE. 20.【證明】（1）∵AD＝BC， ∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD. ∵AE＝BF，CE＝DF， ∴△AEC≌△BFD（SSS）， ∴∠A＝∠B，∴AE∥BF. （2）∵△AEC≌△BFD， ∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF. ∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形. ∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形. 21.（1）【證明】∵O分別是AB，CD的中點， ∴OA＝OB，OC＝OD. ∴四邊形ADBC為平行四邊形. （2）【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD. 又∵四邊形ADBC為平行四邊形， ∴四邊形ADBC為菱形. ∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1. ∴AD＝OD2＋OA2＝12＋22＝5. ∴四邊形ADBC的周長為45. 22.（1）【證明】∵D，E分別是AB，AC的中點， ∴ED是Rt△ABC的中位線.∴ED∥FC. 又∵EF∥DC，∴四邊形CDEF是平行四邊形. （2）【解】∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DC＝EF. ∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴AB＝2DC. 又∵ED是Rt△ABC的中位線，∴BC＝2DE. ∴四邊形CDEF的周長為AB＋BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2， 即AB2＝（25－AB）2＋52，解得AB＝13 cm. ∴線段AB的長度為13 cm. 23.【解】（1）BF＝DE.證明如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°. ∵AF⊥AC，∴∠BAF＝∠BAC＝∠DAC＝45°. 又∵AB＝AD，AF＝AE， ∴△AFB≌△AED（SAS）.∴BF＝DE. （2）四邊形AFBE是正方形.證明如下： ∵四邊形ABCD是正方形，E是AC的中點， ∴AE＝BE. 在△ABF和△ABE中，AF＝AE，∠FAB＝∠EAB=45°，AB＝AB， ∴△ABF≌△ABE（SAS）.∴BF＝BE. ∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四邊形AFBE是菱形. 又∵AF⊥AE，∴四邊形AFBE是正方形. 24.【解】（1）AB＝CG－CE.證明如下： ∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC. 又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形. ∴AB＝AC. ∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAG. 又∵四邊形AEFG是菱形，∴AE＝AG. 在△ABE和△ACG中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAG，AE＝AG， ∴△ABE≌△ACG（SAS）.∴BE＝CG. ∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE. （2）AB＝CE－CG.

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