TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14003" 【題型1 求二面角】 PAGEREF _Tc14003 \h 2
\l "_Tc16519" 【題型2 由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離】 PAGEREF _Tc16519 \h 5
\l "_Tc28802" 【題型3 由二面角大小求異面直線所成角】 PAGEREF _Tc28802 \h 8
\l "_Tc9949" 【題型4 面面垂直的判定】 PAGEREF _Tc9949 \h 14
\l "_Tc12384" 【題型5 面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc12384 \h 17
\l "_Tc24372" 【題型6 空間垂直的轉(zhuǎn)化】 PAGEREF _Tc24372 \h 20
\l "_Tc6677" 【題型7 點(diǎn)、線、面的距離問題】 PAGEREF _Tc6677 \h 25
\l "_Tc22282" 【題型8 平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22282 \h 29
【知識(shí)點(diǎn)1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定義
①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.
②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角
-l-，如圖(1).
②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個(gè)二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這
個(gè)二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).

(3)二面角的平面角
①自然語言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線 OA 和
OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②圖形語言
③符號(hào)語言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，
規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.
【題型1 求二面角】
【例1】（2023下·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為2的兩個(gè)等邊三角形ABC,DBC，若點(diǎn)A到平面BCD的距離為62，則二面角A?BC?D的大小為（ ）

A．π4B．π6C．π3D．π2
【解題思路】設(shè)BC的中點(diǎn)為E，過點(diǎn)A作AF⊥ED，說明∠AED為二面角A?BC?D的平面角；證明BC⊥平面AED，從而證明AF⊥平面BCD，解直角三角形，即可求得答案.
【解答過程】設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE,DE，過點(diǎn)A作AF⊥ED，垂足為F，
因?yàn)椤鰽BC,△DBC均為等邊三角形，故AE⊥BC,DE⊥BC，
故∠AED為二面角A?BC?D的平面角；

又AE∩DE=E,AE,DE?平面AED，故BC⊥平面AED，
而AF?平面AED，故BC⊥AF，
又AF⊥ED，DE∩BC=E,DE,BC?平面BCD，
故AF⊥平面BCD，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為AF=62，
又△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，故AE=2×sinπ3=3，
故在Rt△AFE中，sin∠AEF=AFAE=623=22，則∠AEF=π4，即∠AED=π4，
故二面角A?BC?D的大小為π4，
故選：A.
【變式1-1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）棱長(zhǎng)都相等的正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角大小為α，兩相鄰側(cè)面所成的二面角為大小為β，則（ ）
A．α2π3C．απ4，故A錯(cuò)誤；
由tanβ2=2

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