知識(shí)點(diǎn)01 直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系：。
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離OP為d。如圖
（1）d＜r直線與圓 相交 ，有 2 個(gè)交點(diǎn)，直線叫圓的 割線 。
（2）d ＝ r直線與圓相切，與圓只有 1 個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線叫做圓的 切線 ，交點(diǎn)叫做直線與圓的 切點(diǎn) 。
（3）d＞r直線與圓 相離 ，與圓 沒有 公共點(diǎn)。
考點(diǎn)題型：①直線與圓的位置關(guān)系判斷。
②根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑的范圍。
【即學(xué)即練1】
1．已知⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為5，那么直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．直線l與⊙O相交B．直線l與⊙O相離
C．直線l與⊙O相切D．無(wú)法確定
【解答】解：∵⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為5，3＜5，
∴直線l與⊙O相離．
故選：B．
【即學(xué)即練2】
2．如圖，以點(diǎn)P為圓心作圓，所得的圓與直線l相切的是（ ）
A．以PA為半徑的圓B．以PB為半徑的圓
C．以PC為半徑的圓D．以PD為半徑的圓
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓與直線l相切．
故選：B．
【即學(xué)即練3】
3．平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（3，4），以A為圓心，5為半徑畫圓，在同一坐標(biāo)系中直線y＝﹣x與⊙A的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切
C．相交D．以上情況都有可能
【解答】解：如圖，
∵A（3，4），∴AO＝5，
∵點(diǎn)A到直線y＝﹣x的距離為AB的長(zhǎng)小于圓的半徑r，即AB＜AO，
∴直線y＝﹣x與⊙A的位置關(guān)系是相交，
故選：C．
【即學(xué)即練4】
4．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么⊙C的半徑r的取值范圍是（ ）
A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4
【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴AB＝5，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d＝r，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn)，
∴≤r≤4．
故選：C．
【即學(xué)即練5】
5．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以點(diǎn)B為圓心r為半徑作圓，且⊙B與邊CD有唯一公共點(diǎn)，則r的取值范圍是 3≤r≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以點(diǎn)B為圓心作圓，⊙B與邊CD有唯一公共點(diǎn)，
∴⊙B的半徑r的取值范圍是：3≤r≤5；
故答案為：3≤r≤5
知識(shí)點(diǎn)02 切線的判定
切線的判定：
經(jīng)過半徑的 外端點(diǎn) 且與這條半徑 垂直 的直線叫做圓的切線。
切線的判定的方法：
（1）直線與圓有公共點(diǎn)，連半徑，證明垂直。
證明垂直的方法：①利用勾股定理證明垂直。
②利用特殊角或一般角之間的轉(zhuǎn)換證明垂直。
③利用三角形的全等轉(zhuǎn)換證明垂直。
④利用平行線轉(zhuǎn)換證明垂直。
（2）直線與圓無(wú)公共點(diǎn)：作垂直，證半徑。
【即學(xué)即練1】
6．如圖，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑AB的延長(zhǎng)線上，⊙O的半徑為3，PB＝2，PC＝4．求證：PC是⊙O的切線．
【解答】證明：連接OC，
∵⊙O的半徑為3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5，
∵PC＝4，
∴OC2+PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．
【即學(xué)即練2】
7．如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、C，AD為⊙O的弦，連接BD，∠BAD＝∠B＝30°，直線BD是⊙O的切線嗎？如果是，請(qǐng)給出證明．
【解答】解：直線BD是⊙O的切線．
證明如下：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半徑，
∴BD是⊙O的切線．
【即學(xué)即練3】
8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E，求證：AC是⊙D的切線．
【解答】證明：連接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在⊙D中，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD⊥AC，
又∵DA是半徑，
∴AC是⊙D的切線．
【即學(xué)即練4】
如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，OA＝2．求證：DC是⊙O的切線；

【解答】證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠B＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝90°，又∵CD過半徑OD的外端點(diǎn)D，
∴DC是⊙O的切線；
【即學(xué)即練5】
10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．求證：DE是⊙O的切線．
【解答】證明：連接0C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
則∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．
【即學(xué)即練6】
11．如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，OE⊥AB，垂足為E，以O(shè)為圓心，OE為半徑作⊙O．試說明⊙O與CD相切．
【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD．
∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝CD，
∴S△AOB＝OA?OB＝OC?OD＝S△COD，即AB?OE＝CD?OF，
∴OE＝OF．
∵OE為⊙O的半徑，
∴OF是⊙O的半徑，
∴⊙O與CD相切．
知識(shí)點(diǎn)03 切線的性質(zhì)
切線的性質(zhì)：
圓的切線 垂直于 經(jīng)過 切點(diǎn) 的半徑。
經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 切點(diǎn) 。
經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過 圓心 。
【即學(xué)即練1】
12．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且不與A、B兩點(diǎn)重合，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，BC，若∠ABC＝53°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．16°B．18°C．26.5°D．37.5°
【解答】解：連接OC，如圖所示．
∵CD為⊙O的切線，
∴∠OCD＝90°．
∵OB＝OC，∠ABC＝53°，
∴∠OCB＝53°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝127°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝37°，
∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝16°．
故選：A．
【即學(xué)即練2】
13．如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，AC，CD是⊙O的兩條弦，且CD∥AB，連接AO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為5，CD＝8，則弦AC的長(zhǎng)為 4 ．
【解答】解：如圖：連接OC
∵直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AE⊥CD．
∵CD＝8，
∴．
在Rt△OCE中，，
∴AE＝AO+OE＝8，
則．
故答案為：4．
【即學(xué)即練3】
14．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)，DE是⊙O的切線且DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OC．
（1）求證：△AOC是等邊三角形；
（2）若DE＝2，求AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等邊三角形；
（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥AC于F，
則四邊形OFED為矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．
【即學(xué)即練4】
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：方法一：連接AD、OD．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半徑為5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC?DE，
∴DE＝＝＝．
題型01 直線與圓的位置關(guān)系
【典例1】
已知⊙O的半徑為3cm，圓心O到直線l的距離是2cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是 相交 ．
【解答】解：∵圓心O到直線l的距離是2cm，小于⊙O的半徑為3cm，
∴直線l與⊙O相交．
故答案為：相交．
【典例2】
已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為3cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定
【解答】解：∵圓心到直線的距離為3cm，⊙O的半徑為5cm，
5＞3，
∴直線和圓相交．
故選：A．
【典例3】
設(shè)⊙O的半徑為R，圓心O到直線的距離為d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的兩根，則直線Z與⊙O相切時(shí)，m的值為 9 ．
【解答】解：∵d、R是方程x2﹣6x+m＝0的兩個(gè)根，且直線Z與⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴Δ＝36﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案為：9．
【典例4】
如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，∠AOB＝45°，點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，設(shè)OP＝x，則x的取值范圍是 0＜x≤ ．
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC，則圓的半徑OC＝1，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝，
同理，原點(diǎn)左側(cè)的距離也是，且線段的長(zhǎng)度是正數(shù)，
∴x的取值范圍是0＜x≤，
故答案為：0＜x≤．
【典例5】
如圖，⊙O的半徑OC＝5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AB＝8cm，則l沿OC所在直線平移后與⊙O相切，則平移的距離是（ ）
A．1cmB．2cmC．8cmD．2cm或8cm
【解答】解：連接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝AB＝×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝＝3，
又∵將直線l通過平移使直線l與⊙O相切，
∴直線l垂直過C點(diǎn)的直徑，垂足為直徑的兩端點(diǎn)，
∴當(dāng)向下平移時(shí)，直線l平移的距離＝5﹣3＝2（cm）；
當(dāng)向上平移時(shí)，直線l平移的距離＝5+3＝8（cm）．
故選：D．
題型02 切線的判定與性質(zhì)
【典例1】
如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CE＝BC．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半徑．
【解答】解：（1）如圖，連接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線．
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝CE＝4．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半徑為3．
【典例2】
如圖，AB＝AC，點(diǎn)O在AB上，⊙O過點(diǎn)B，分別與BC、AB交于D、E，過D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AC與⊙O相切于點(diǎn)G，⊙O的半徑為3，CF＝1，求AC長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
則DF為圓O的切線；
（2）解：連接OG，
∵AC與圓O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四邊形ODFG為邊長(zhǎng)為3的正方形，
設(shè)AB＝AC＝x，則有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
則AC＝8．
【典例3】
如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切于點(diǎn)C，與BC邊交于點(diǎn)E，⊙O過AB上一點(diǎn)D，且DE∥AO，CE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切線，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半徑，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的切線，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切線，
∴AD＝AC，
設(shè)AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴AC＝6．
【典例4】
如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，P是⊙O外一點(diǎn)，AC⊥PD于點(diǎn)E，AD平分∠BAC．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若DE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP＝90°，
∴∠ODP＝∠AEP＝90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：連接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝，
∴AD＝2DE＝2，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
設(shè)BD＝x，則AB＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（2）2＝（2x）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴AO＝2，
∴⊙O的半徑為2．
【典例5】
如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)F，連接DB交⊙O于點(diǎn)H，E是BC上的一點(diǎn)，且BE＝BF，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半徑．
【解答】（1）證明：如圖1，連接DF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AH，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半徑為．
1．已知⊙O的半徑為6cm，點(diǎn)O到直線l的距離為7cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定
【解答】解：∵⊙O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為7cm，6＜7，
∴直線l與⊙O相離．
故選：C．
2．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑為2，下列說法正確的是（ ）
A．⊙P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．⊙P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)
C．⊙P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．⊙P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)
【解答】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，
∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，
∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．
故選：D．
3．如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AC切⊙O于點(diǎn)C，D點(diǎn)在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．
故選：B．
4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC經(jīng)過圓心O，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AD∥BC．若∠B＝60°，則∠E的大小等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：連接OA，OD，如圖，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO為等邊三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO為等邊三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故選：A．
5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AC，若BD＝AO＝4，則AC的長(zhǎng)度為（ ）
A．4B．2C．8D．4
【解答】解：如圖，連接OC，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝4，
∴∠COD＝60°，
由圓周角定理得：∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4，
故選：D．
6．如圖，直線y＝x+與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為（1，0），⊙P與y軸相切于點(diǎn)O．若將⊙P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)⊙P與該直線相交時(shí)，滿足橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：令y＝0，則，
解得x＝﹣3，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；
令x＝0，則y＝，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′與⊙P″切AB于D、E，
連接P′D、P″E，則P′D⊥AB、P″E⊥AB，
則在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
則P′橫坐標(biāo)為﹣3+2＝﹣1，P″橫坐標(biāo)為﹣1﹣4＝﹣5，
∴P橫坐標(biāo)x的取值范圍為：﹣5＜x＜﹣1，
∴橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
故選：A．
7．如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切線，正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解答】解：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，選項(xiàng)①正確；
連接OD，如圖，
∵D為BC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，
∴DO為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE為圓O的切線，選項(xiàng)④正確；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，選項(xiàng)②正確；
由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，選項(xiàng)③正確；
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選：D．
8．如圖，點(diǎn)A是⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)、連接OA、OB、AB、分別將線段AO、AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AA'，AB'，連接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列結(jié)論正確的有（ ）
①點(diǎn)A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝∠BOA′；④當(dāng)OB′＝2OA時(shí)，AB′與⊙O相切．
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等邊三角形，
同理可得，
△ABB′是等邊三角形，
①∵△AOA′是等邊三角形，
∴OA′＝OA，
∴點(diǎn)A′在⊙O上，
故①正確，
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，
∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正確，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，
∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等邊三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′＝∠BOA′，
故③正確，
④如圖，
過點(diǎn)O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等邊三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB＝30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是⊙O的切線，
故④正確，
綜上所述：①②③④均正確，
故選A．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C為圓心所作的圓與邊AB僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑r為 r＝4.8或6＜r≤8 ．
【解答】解：當(dāng)直線AB和圓相切時(shí)，圓心到斜邊的距離為半徑即斜邊上的高，
過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∴；
當(dāng)圓與直線AB相交，此時(shí)半徑要大于AC且半徑不大于BC，
∴6＜r≤8；
故答案為：r＝4.8或6＜r≤8．
10．如圖，AB為⊙O的直徑，CB為⊙O的切線，AC交⊙O于D，∠C＝38°．點(diǎn)E在AB右側(cè)的半圓上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），則∠AED的大小是 38° ．
【解答】解：如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB為⊙O的切線，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案為：38°．
11．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點(diǎn)A（4，m）出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝ 1或3或5 秒時(shí)，⊙P與坐標(biāo)軸相切．
【解答】解：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為D，
∵直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（4，m），
∴x＝0時(shí)，y＝﹣2，y＝0時(shí)，x＝2，x＝4時(shí)，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，
∵點(diǎn)D是切點(diǎn)，⊙P的半徑是1，
∴PD⊥x軸，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵點(diǎn)P的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t＝1；
②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t＝3；
③當(dāng)⊙P只與y軸相切時(shí)，
∵PC＝，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t＝5．
綜上所述，則當(dāng)t＝1或3或5秒時(shí)，⊙P與坐標(biāo)軸相切，
故答案為：1或3或5．
12．如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝ 1s，4s，7s 時(shí)，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．
【解答】解：①當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合是時(shí)，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此時(shí)AC與半圓O所在的圓相切，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2cm，
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝2÷2＝1（s）；
②當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)，
此時(shí)OC＝6cm，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的距離為8+6＝14（cm），
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝14÷2＝7（s）；
③如圖1，過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，
∵圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝8÷2＝4（s），
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB＝12cm時(shí)，
如圖2，過點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，則OQ＝6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm．
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t＝32÷2＝16s，
綜上可知當(dāng)t的值為1s或4s或7秒或16s時(shí)，
Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．
因?yàn)閳A心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，
所以此種情況不符合題意舍去，
故答案為：1s，4s，7s．
13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：如圖，作OH⊥FA，垂足為點(diǎn)H，連接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵，
∴∠FAC＝∠CAD，
即AC是∠FAB的平分線，
∵點(diǎn)O在AC上，⊙O與AB相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半徑，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半徑，
∴AF是⊙O的切線；
（2）解：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴，
∵BE，BC是⊙O的切線，
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝10﹣6＝4
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝OE＝r，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
∴16+r2＝（8﹣r）2，
∴r＝3．
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為3．
14．如圖1，AB為⊙O直徑，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，D為⊙O上一點(diǎn)，連接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AE⊥AB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD交OC于點(diǎn)F，若AB＝3AE＝12，求BF的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接OD,
∵CB與⊙O相切于點(diǎn)B,
∴OB⊥BC,
∵AD∥OC,
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC,
∵OA＝OD,
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC,
∴△DOC≌△BOC（SAS),
∴∠ODC＝∠OBC＝90°,
∴OD⊥DC,
又OD為⊙O半徑,
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：設(shè)CB＝x,
∵AE⊥EB,
∴AE為⊙O的切線,
∵CD、CB為⊙O的切線,
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO,
∴BD⊥OC,
過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，則EM＝12，CM＝x﹣4,
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2,
解得x＝9,
∴CB＝9,
∴OC＝＝,
∵＝,
∴BF＝．
15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是劣弧BD中點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E．連接BC，∠BCF＝∠BAC，CF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：∠ACD＝∠F；
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）連接OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線．
（2）∵點(diǎn)C是中點(diǎn)，
∴，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD＝∠F，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠F．
（3）如圖：
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于點(diǎn)H，
設(shè)OH為x，則CH為（5﹣x），根據(jù)勾股定理，
62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得：，
∴，
∵OH是中位線，
∴．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①直線與圓的位置關(guān)系
②切線的性質(zhì)
③切線的判定
理解直線與圓的幾種關(guān)系。
會(huì)判斷一條直線是否是圓的切線以及會(huì)過圓上一點(diǎn)作圓的切線。
理解并掌握?qǐng)A的判定定理與性質(zhì)定理。
能夠熟練的運(yùn)用性質(zhì)與判定解決相關(guān)題目。

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