知識(shí)點(diǎn)01 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離OP為d。如圖：
（1）如圖1：d＞r點(diǎn)在 。
（2）如圖2：d r點(diǎn)在圓上。
（3）如圖3：d＜r點(diǎn)在 。
題型考點(diǎn)：①點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷。
【即學(xué)即練1】
1．已知⊙O的半徑為5cm，當(dāng)線段OA＝5cm時(shí)，則點(diǎn)A在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．無法確定
【即學(xué)即練2】
2．⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)A到圓心O的距離OA＝3cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．點(diǎn)A在⊙O上B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)A在⊙O外D．無法確定
【即學(xué)即練3】
3．已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)P到圓心O的距離為4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O外B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)D．無法確定
【即學(xué)即練4】
4．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，3），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O外
C．點(diǎn)P在⊙O上D．點(diǎn)P在⊙O上或在⊙O外
知識(shí)點(diǎn)02 確定圓的條件
確定圓的條件：
①由不在 上的三點(diǎn)可以確定唯一的圓。
②確定 與 能確定唯一的圓。
③已知圓的 能確定唯一的圓。
【即學(xué)即練1】
5．下列條件中，不能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．圓心與半徑B．直徑
C．平面上的三個(gè)已知點(diǎn)D．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
【即學(xué)即練2】
6．下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（ ）
A．經(jīng)過已知點(diǎn)M
B．以點(diǎn)O為圓心，10cm長(zhǎng)為半徑
C．以10cm長(zhǎng)為半徑
D．以點(diǎn)O為圓心
知識(shí)點(diǎn)03 反證法
反證法：
先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定假設(shè)結(jié)論不成立，從而得到原命題成立，這種方法叫做 。
【即學(xué)即練1】
7．用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)：這個(gè)三角形中（ ）
A．有一個(gè)內(nèi)角小于60°B．有一個(gè)內(nèi)角大于60°
C．每一個(gè)內(nèi)角都小于60°D．每一個(gè)內(nèi)角都大于60°
【即學(xué)即練2】
8．用反證法證明：△ABC中至少有兩個(gè)角是銳角．
知識(shí)點(diǎn)04 三角形的外接圓與外心
三角形的外接圓：
如圖：若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在 圓上 ，則此時(shí)三角形是圓的 內(nèi)接三角形 ，圓是三角形的 外接圓 。
三角形的外心：
三角形外接圓的 圓心 即是三角形的外心。是三角形三條邊的 垂直平分線 的交點(diǎn)。所以到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離 相等 。
特別說明：①銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
②找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)。
【即學(xué)即練1】
9．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠C＝63°，則∠DAB等于（ ）
A．27°B．31.5°C．37°D．63°
【即學(xué)即練2】
10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為 ．
【即學(xué)即練3】
11．如圖，O是△ABC的外心，則∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
題型01 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【典例1】
若⊙P的半徑為4，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系是（ ）
A．在⊙P內(nèi)B．在⊙P上C．在⊙P外D．無法確定
【典例2】
如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作⊙B，則點(diǎn)C與⊙B的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)C在⊙B內(nèi)B．點(diǎn)C在⊙B上C．點(diǎn)C在⊙B外D．無法確定
【典例3】
已知⊙O的面積為25π，若PO＝5.5，則點(diǎn)P在 ．
【典例4】
已知點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)，P在半徑為r的⊙O外，點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離為8，則r的取值范圍是（ ）
A．r＞4B．r＞8C．r＜4D．r＜8
【典例5】
已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P為邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)度r為半徑畫圓，使得點(diǎn)A，P在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外，則半徑r的取值范圍是（ ）
A．B．C．3＜r＜4D．r＞3
題型02 反證法
【典例1】
用反證法證明命題“鈍角三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角小于45°”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)鈍角三角形中（ ）
A．有一個(gè)內(nèi)角小于45°
B．每一個(gè)內(nèi)角都小于45°
C．有一個(gè)內(nèi)角大于或等于45°
D．每一個(gè)內(nèi)角都大于或等于45°
【典例2】
用反證法證明“在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（ ）
A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)≤bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≥b
【典例3】
小明想用反證法證明“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”這條定理的正確性，請(qǐng)幫他將步驟補(bǔ)充完整．
已知：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，a∥c，b∥c，
求證： ．
證明：
【典例4】
用反證法證明下列問題：
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點(diǎn)O．求證：BD和CE不可能互相平分．
題型03 三角形的外接圓與外心求角度
【典例1】
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【典例2】
如圖，點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心，若∠A＝80°，則∠BOC為（ ）
A．100°B．160°C．150°D．130°
【典例3】
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝40°，連接OB，則∠ABO的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【典例4】
如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D是圓中優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
題型04 三角形的外接圓與外心求長(zhǎng)度
【典例1】
如圖，AD是⊙O的直徑，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，則⊙O的直徑AD＝ ．
【典例2】
如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝10，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．5D．5
【典例3】
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝60°，若⊙O的半徑為4，則弦BC的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．C．D．
【典例4】
如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．AE、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若BF＝4，AB＝8，則BC的長(zhǎng)是（ ）
?
A．3B．4C．5D．6
1．下列語句中，正確的是（ ）
A．經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓
B．等弧所對(duì)的圓周角相等
C．相等的弦所對(duì)的圓心角相等
D．三角形的外心到三角形各邊距離相等
2．在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2cm，OP＝5cm，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O圓外B．點(diǎn)P在⊙O上
C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)D．無法確定
3．點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的（ ）
A．三條垂直平分線交點(diǎn)B．三條角平分線交點(diǎn)
C．三條中線交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)
4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACO＝55°，則∠ABC的大小為（ ）
A．60°B．70°C．40°D．35°
5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接OA，AD，BD，若∠OAC＝40°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
6．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑為2cm，若點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，PB＝AB，則PA的長(zhǎng)為（ ）
A．2cmB．2cmC．cmD．2cm
7．如圖，E是△ABC的外接圓⊙O弧BC的中點(diǎn)，連接BE，OE，若∠BAC＝68°，則∠OEB＝（ ）
A．68°B．65°C．56°D．55°
8．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是（ ）
A．≤OP≤B．2≤OP≤4C．≤OP≤D．3≤OP≤4
9．在△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm．以點(diǎn)A為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑畫圓，點(diǎn)B與⊙A的位置關(guān)系是 ．
10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AB＝8，CD＝6，則⊙O的半徑為 ．
11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC外角的平分線交⊙O于點(diǎn)D，射線AD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠BAC＝28°，BC＝BD，則∠E的度數(shù)為 °．
12．如圖，正方形ABCD中，AD＝4，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，連接AF，則AF的最小值為 ．
13．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．
14．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝72°，D是⊙O上的點(diǎn)．
（1）如圖1，求∠ADC和∠BDC的大??；
（2）如圖2，OD⊥AC，垂足為E，求∠ODC的大小．
15．【教材原題改編】改編自人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第61頁第14題．
如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．求證：OE＝OF；
?【結(jié)論應(yīng)用】若∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝3，則四邊形ADFE的面積為 ，EF的最小值為 ．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
②確定圓的條件
③反證法
④三角形的外接圓與外心
理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，能夠準(zhǔn)確的運(yùn)用勾股定理求點(diǎn)到圓心的距離。
學(xué)會(huì)過已知點(diǎn)畫圓。
學(xué)會(huì)應(yīng)用反證法證明結(jié)論。
認(rèn)識(shí)確定三角形的外接圓與外心。

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24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

版本： 人教版

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