1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.能運用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問題
你還記得直線和圓有哪幾種位置關(guān)系嗎？
圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系
我們可以從哪些角度來判斷一條直線和圓相切呢？
定義法：直線和圓只有一個公共點.
數(shù)量關(guān)系法：圓心到直線的距離等于半徑，即d=r.
還有其它的方法能判斷直線和圓相切嗎？
可以看出，這時圓心O到直線l的距離就是⊙O的半徑，直線l就是⊙O的切線.
思考 如圖，在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？
經(jīng)過 并且 的直線是圓的切線.
∵OA是⊙O的半徑， 且l⊥OA于A，∴ l是⊙O的切線.
【注意】①過半徑的外端 ②垂直于半徑
你能舉出生活中直線和圓相切的實例嗎？
下雨天快速轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的水珠
在砂輪下打磨工件時飛出的火星
思考 將上面“思考”中的問題反過來，如圖，如果直線l是⊙O的切線，切點為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？
證明：假設(shè)半徑OA與直線l不垂直，那么過點O作OB⊥l，垂足為B.由于“點到直線的距離垂線段最短”，所以O(shè)B＜OA.根據(jù)“直線l和⊙O相交d＜r”，所以直線l和⊙O相交.這與已知相矛盾，因此假設(shè)不成立，則半徑OA與直線l垂直.
圓的切線垂直于過切點的半徑.
∵直線l 是⊙O的切線， 且A是切點，∴ l⊥OA.
切線的判定定理和性質(zhì)定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？
交換切線的判定定理的條件和結(jié)論，可得到切線的性質(zhì)定理.
切線的判定定理在未知相切要證明相切時使用；
例1 如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.求證：AC是⊙O的切線.
證明：過點O作OE⊥AC，垂足為E，連接OD，OA.∵⊙O與AB相切于點D∴OD⊥AB又△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點.∴AO是∠BAC的平分線∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線.
已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.
證明：連接OC. ∵ OA＝OB，CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底邊AB上的中線.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半徑， ∴ AB是⊙O的切線.
證切線時常見的添加輔助線的方法
【知識技能類作業(yè)】必做題：
1.如圖，☉O與AB相切于點A，BO與☉O交于點C，∠BAC=27°， 則∠B等于( ) A.36° B.54° C.110° D.140°2.如圖，直線l是☉O的切線，A為切點，B為直線l上一點,連接0B交☉O于點C.若AB=12, 0A=5，則BC的長為( ) A.5 B.6 C.7 D.8
【知識技能類作業(yè)】選做題：
6.如圖，已知AB為⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD＝OB，點C在圓上，∠CAB＝30°.求證：DC是⊙O的切線．
證明：如圖，連接OC，BC.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切線．
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
一、切線的定義二、切線的判定三、切線的性質(zhì)
3. 如圖，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 為直徑的 ⊙O 交邊 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求證：PE 是 ⊙O 的切線.
證明：連接 OP，如圖.∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE為 ⊙O 的切線.
4.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M.求證：CD與⊙O相切．
證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．

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初中數(shù)學人教版（2024）九年級上冊電子課本

24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系

版本： 人教版（2024）

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