第03講 與圓有關(guān)的性質(zhì)—圓周角定理與內(nèi)接四邊形 知識點01 圓周角的認(rèn)識 圓周角的認(rèn)識： 如圖，像∠BAC這樣頂點在 圓上 ，且兩邊都與圓 相交 的角叫做圓周角。 題型考點：①圓周角的認(rèn)識與判斷。 【即學(xué)即練1】 1．如圖，∠APB是圓周角的是（　?。?A． B． C． D． 【解答】解：A、B頂點沒在圓上，C雖然頂點在圓上，但一條邊沒有與圓相交，D符合圓周角的概念， 故選：D． 知識點02 圓周角定理 圓周角定理： 在 同圓 或 等圓 中，同弧或等弧所對的圓周角 相等 ，且都等于這條弧所對的圓心角的 一半 。 即：∠BAC＝ ∠BDC ＝ ∠BEC ＝ ∠BOC 題型考點：①圓周角定理的應(yīng)用。 【即學(xué)即練1】 2．如圖所示，在⊙O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，OB相交于點C，那么∠BCD的度數(shù)是（　?。? A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：∠A＝∠BOD＝15°， ∵OD∥AB， ∴∠D＝∠A＝15°， ∴∠BCD＝∠BOD+∠D＝45°， 故選：C． 【即學(xué)即練2】 3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，則BC的長為（　?。? A． B．2 C．2 D．4 【解答】解：由圓周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°， ∴BC＝OC＝2， 故選：B． 知識點03 圓周角定理的推論 圓周角定理的推論： 半圓或直徑所對的圓周角是 直角（等于90°） 。90°的圓周角所對的弦是 直徑 。 題型考點：①圓周角定理推論的應(yīng)用。 【即學(xué)即練1】 4．如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點，設(shè)∠ABC＝37°，則∠BDC＝（　?。? A．53° B．63° C．43° D．74° 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝37°， ∴∠CAB＝53°， ∴∠BDC＝∠CAB＝53°， 故選：A． 【即學(xué)即練2】 5．如圖，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直徑．若∠D＝36°，則∠BCA的度數(shù)是（　?。? A．72° B．54° C．45° D．36° 【解答】解：∠B＝∠D＝36°， ∵BC是⊙O的直徑， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°， 故選：B． 知識點04 圓的內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形的概念： 如圖：四個頂點都在 圓上 的四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形。 圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)： 圓的內(nèi)接四邊形的對角 互補 。 即∠B＋∠D＝ 180° ，∠C＋∠BAD＝ 180° 。 （2）圓的內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的 內(nèi)對角 （就是 和它相鄰的內(nèi)角的對角） 即：∠EAD＝ ∠C 。 題型考點：①圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用。 【即學(xué)即練1】 6．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠D＝50°， ∴∠B＝180°﹣50°＝130°， 故選：B． 【即學(xué)即練2】 7．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝100°，則∠BCD＝　130　°． 【解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴∠A＝50°． ∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故答案為：130． 【即學(xué)即練3】 8．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一點，則∠ACB等于（　?。?A．80° B．100° C．120° D．130° 【解答】解：如圖：在優(yōu)弧上取點D，連接AD，BD， ∵⊙O中，∠AOB＝100°， ∴∠ADB＝∠AOB＝50°， ∵四邊形ACBD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°． 故選：D． 題型01 圓周角定理及其推論 【典例1】 如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，若∠BOC＝78°，則∠A的度數(shù)是（　?。? A．39° B．40° C．78° D．100° 【解答】解：∵∠BOC與∠A是同弧所對的圓心角與圓周角，∠BOC＝78°， ∴∠A＝∠BOC＝39°． 故選：A． 【典例2】 如圖所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數(shù)是（　?。? A．55° B．110° C．125° D．150° 【解答】解：連接BE， ∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°， ∴∠BOD＝2∠BED＝110°． 故選：B． 【典例3】 如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，⊙O的半徑為r，AB＝r，CD＝r，連接AC、BD，AC與BD交于點H，則∠BHC的度數(shù)為（　?。? A．100° B．105° C．110° D．115° 【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BC， 則OA＝OB＝OC＝OD＝r， ∵AB＝r，CD＝r， ∴△AOB是等邊三角形，△OCD是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝60°，∠COD＝90°， ∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∠DBC＝∠COD＝45°， ∴∠BHC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故選：B． 【典例4】 如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。? A．25° B．30° C．45° D．50° 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∠∠ABC＝90°﹣∠CAB＝50°， ∴∠ADC＝∠ABC＝50° 故選：D． 【典例5】 如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D均在⊙O上，∠ABC＝58°，則∠D為（　?。? A．32° B．42° C．29° D．22° 【解答】解：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝58°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝32°， ∴∠D＝∠A＝32°， 故選：A． 題型02 圓的內(nèi)接四邊形 【典例1】 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠D＝85°，則∠B的度數(shù)為（　　） A．95° B．105° C．115° D．125° 【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠D＝85°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°． 故選：A． 【典例2】 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，則∠D＝（　?。? A．60° B．30° C．45° D．無法確定 【解答】解：連接OC， ∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， ∵∠D＝∠AOC， ∴∠D＝∠AOB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝75°， ∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠D＝∠AOB＝30°． 故選：B． 【典例3】 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝60°，點E在BC的延長線上，則∠DCE的度數(shù)是（　?。? A．60° B．45° C．30° D．無法確定 【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°， 故選：A． 【典例4】 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（　　） A．100° B．128° C．104° D．124° 【解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°， 由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°， 故選：C． 1．如圖，AB是⊙O的直徑，∠B＝30°，BC＝3，則AC的長為（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝30°， ∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3， ∴AC＝． 故選：A． 2．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)為（　?。?A．70° B．80° C．100° D．110° 【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°． 故選：D． 3．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠DAC＝25°，AD＝CD，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．30° B．35° C．40° D．50° 【解答】解：連接BD，如圖， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵∠DAC＝∠DBC＝25°， ∵DA＝DC， ∴弧AD＝弧CD， ∴∠DBC＝∠ABD＝25°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°． 故選：C． 4．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為上一點，若∠CEA＝28°，則∠ABD的度數(shù)為（　?。? A．14° B．28° C．56° D．無法確定 【解答】解：∵AB為直徑，弦CD⊥AB， ∴＝， ∴∠ABD＝∠CEA＝28°， 故選：B． 5．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，則∠ACB的大小是（　?。? A．90° B．70° C．60° D．40° 【解答】解：∵AO＝OB， ∴△AOB是等腰三角形， ∵∠BAO＝20°， ∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB＝70°． 故選：B． 6．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝100°，點B是弧AC的中點，則∠D的度數(shù)是（　?。? A．25° B．30° C．50° D．60° 【解答】解：連接OB， ∵∠AOC＝100°，點B是弧AC的中點， ∴∠AOB＝∠AOC＝50°． ∵∠AOB與∠D是同弧所對的圓心角和圓周角， ∴∠D＝∠AOB＝25°． 故選：A． 7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小為（　　） A．130° B．100° C．120° D．110° 【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠ADC＝∠CBE＝50°， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝130°， 故選：A． 8．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（　　） A．16° B．24° C．12° D．14° 【解答】解：∵AF為圓的直徑， ∴∠ABF＝90°，＝， ∵＝， ∴＝， ∴∠DAF＝∠BAF＝32°， ∴∠BAD＝64°， ∵∠E＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°， ∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°． 故選：D． 9．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，則∠ACD＝　 　度． 【解答】解：如圖，連接OD， ∵OA＝OD，∠DAB＝66°， ∴∠ODA＝∠OAD＝66°， ∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∴∠ACD＝∠AOD＝24°， 故答案為：24． 10．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對角線BD過點O，若∠ABD＝65°，則∠ACB的度數(shù)為 　 　°． 【解答】解：∵BD是⊙O的直徑， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ABD＝65°，∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝65°， ∵∠ACB+∠ACD＝∠BCD， ∴∠ACB＝25°， 故答案為：25． 11．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠B＝22.5°，CD＝10，則直徑AB的長為 　 ?。? 【解答】解：連接OD，如圖所示： ∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝10， ∴CE＝DE＝5，AC＝AD， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠B＝22.5°， ∴∠ACD＝22.5°， ∴∠AOD＝45°， ∴OE＝DE＝5， 在Rt△OED中，根據(jù)勾股定理可得， ∴， ∴， 故答案為：． 12．如圖是以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在⊙O上的點D處（不與點A重合），連結(jié)CB，CD，AD，設(shè)CD與直徑AB交于點E，連結(jié)CD、AC．若OD∥AC，∠B＝　 　度；＝　 ?。? 【解答】解：如圖，連接BD，由軸對稱可知，直線CO是線段BD的垂直平分線， 即CO⊥BD， 又∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BD， ∴CO∥AD， 又∵OD∥AC， ∴四邊形ACOD是平行四邊形， ∵OD＝OC， ∴四邊形ACOD是菱形， ∴AC＝AD＝OC＝OD＝OA， ∴△AOC是等邊三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠ABC＝∠AOC＝30°， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，∠OAC＝60°， ∴BC＝AC， 即BC＝AD， ∴＝， 故答案為：30，． 13．如圖所示，⊙O的直徑AB為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D． （1）判斷△ADB的形狀，并證明； （2）求BD的長． 【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形， 證明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴△ADB是等腰直角三角形； （2）由（1）得： ∠ADB＝90°，AD＝BD， ∵AB＝6cm， ∴BD＝＝＝3（cm）， ∴BD的長為3． 14．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點D，連接BD，CD． （1）求證：DB＝DE； （2）若，，求BC的長． 【解答】（1）證明：由圓周角定理可得：∠CAD＝∠CBD， ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． （2）解：連接OC、OD，OD交BC于點F， 由圓周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD． ∴BD＝DC． ∵OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵AB為直徑，BD＝ED ∴∠ADB＝90°，則△BDE是等腰直角三角形． ∵，BE2＝BD2+ED2＝2BD2 ∴BD＝2． ∵，AB2＝BD2+AD2，解得：AD＝4（負(fù)根已經(jīng)舍去）， ∴OB＝OD＝2． 設(shè)OF＝t，則DF＝2﹣t， 在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF2＝BD2﹣DF2＝BF2， 即：（）2﹣t2＝22﹣（2﹣t）2，解得t＝，即OF＝， ∴BF＝＝＝． ∴BC＝2BF＝． 15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且OC⊥AB于點O，點D是的中點，連接AD交OC于M，連接BD，CD． （1）∠DAB的度數(shù)為 　 　度． （2）求證：DC＝DM； （3）過點C作CE⊥AD于點E，若BD＝，求ME的長． 【解答】解：（1）如圖，連接OD， ∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∵D是的中點， ∴， ∴∠COD＝∠BOD＝45°， ∵， ∴∠BAD＝∠BOD＝22.5°， 故答案為：22.5． （2）∵AB為直徑， ∴∠ADB＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠AMO＝∠ABD， ∵， ∴∠COD＝∠BOD， ∵OC＝OD＝OB， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD， ∵∠AMO＝∠CMD， ∴∠MCD＝∠CMD， ∴DC＝DM． （3）∵CD＝BD＝， ∴DM＝DC＝， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°， ∵∠COD＝45°，OC＝OD， ∴∠ODC＝67.5°， ∴∠CDE＝45， ∵CE⊥AD， ∴DE＝?CD， ∴DE＝1， ∴ME＝﹣1． 課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①圓周角的定義 ②圓周角定理 ③圓周角定理的推論 ④圓的內(nèi)接四邊形掌握圓周角的定義，理解認(rèn)識圓周角。 掌握圓周角定理，并能夠熟練運用圓周角定理解決相應(yīng)的題目。 掌握圓周角定理的推論并對其熟練應(yīng)用。 掌握圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并樹熟練應(yīng)用。

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