初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)28.1 銳角三角函數(shù)鞏固練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．如果把一個(gè)銳角三角形三邊的長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，那么銳角A的余切值（）
A．?dāng)U大為原來(lái)的兩倍B．縮小為原來(lái)的 12
C．不變D．不能確定
【答案】C
【解析】【解答】因?yàn)椤鰽BC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍所得的三角形與原三角形相似，
所以銳角A的大小沒(méi)改變，所以銳角A的余切值也不變.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知三角形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大，角度不會(huì)發(fā)生改變，即銳角A的大小沒(méi)改變，所以銳角A的余切值也不變.
2．如圖， ∠α 的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若 tanα=23 ，則滿足條件的 ∠α 是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】A. tanα=32 ，故該選項(xiàng)不符合題意，
B. tanα=23 ，故該選項(xiàng)符合題意，
C. tanα=12 ，故該選項(xiàng)不符合題意，
D. tanα=13 ，故該選項(xiàng)不符合題意，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)分別求出各選項(xiàng)中tanα的值，然后判斷即可.
3．cs60°的值等于（）
A．1B．12C．22D．32
【答案】A
【解析】【解答】解：cs60°= 12
故答案為：A.
【分析】由特殊角的三角函數(shù)值可知。
4．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠A的值是（）
A．65B．56C．2102D．31020
【答案】A
【解析】【解答】解：利用三角函數(shù)的定義可知tan∠A= 65 ．
故選A．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出tan∠A的值．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 23 ，則tanB=（）
A．355B．53C．255D．52
【答案】D
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAC=23，
∴設(shè)BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=AB2?BC2=5x，
∴tanB=ACBC=5x2x=52
故答案為：D.
【分析】設(shè)BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=5x，代入tanB=ACBC求出即可.
6．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，若AB=8，AD=5，則sinB等于（）
A．35B．45C．34D．58
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，
∴BC=2AD=2×5=10，
∵AB=8，
∴AC=BC2?AB2=102?82=6，
∴sinB=ACBC=610=35．
故答案為：A．
【分析】先利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得BC=2AD=2×5=10，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用正弦的定義可得sinB=ACBC=610=35。
二、填空題
7．計(jì)算：4tan45°＝．
【答案】4
【解析】【解答】解：4tan45°=4×1=4．
故答案為：4．
【分析】利用特殊角的銳角三角函數(shù)值計(jì)算求解即可。
8．要使二次根式 x?sin30° 有意義，則 x 的取值范圍為
【答案】x≥12
【解析】【解答】解：二次根式 x?sin30° 被開(kāi)方數(shù)為 x?sin30°
∴x?sin30°≥0
又∵sin30°=12
∴x?12≥0 ，解得 x≥12
故答案為： x≥12 .
【分析】二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，再結(jié)合特殊角三角函數(shù)值解答即可.
9．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值為．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴DC⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠C=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBC+∠ABD=∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵CD=1，BC=3，
∴∠A的正切值為tanA=tan∠DBC= DCBC = 13 ，
故答案為： 13 ．
【分析】首先根據(jù)同角的余角相等可得∠A=∠DBC，在直角三角形BCD中求出tan∠DBC的值即為∠A的正切值。
10．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），連結(jié)DE，當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，則AE的長(zhǎng)為 .
【答案】8 或 12?43
【解析】【解答】解：∵△ABC中BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴∠CBD=∠ABD=∠BAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，
∵BC=6，
∴AB=2BC=12， AC=AB2?BC2=122?62=63 ，
BD=BCcs30°=632=43 ，
∴AD=BD=43 ，
CD=AC?AD=63?43=23 ；
（1）當(dāng) BE=BD=43 時(shí)，如圖所示：
AE=AB?BE=12?43 ；
（2）當(dāng)BE=DE時(shí)，如圖所示：
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，
∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-60°-30°=90°，
∴△ADE為直角三角形，
∴AE=ADsin∠AED=43sin60°=8 ；
（3）當(dāng)BD=DE時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意；
綜上分析可知，AE的值為 12?43 或8.
故答案為：12?43 或8.
【分析】根據(jù)角平分線的概念得∠CBD=∠ABD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠BAD，則∠CBD=∠ABD=∠BAD，結(jié)合內(nèi)角和定理得∠CBD=∠ABD=∠BAD=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2BC=12，利用勾股定理求出AC，根據(jù)三角函數(shù)的概念得BD，然后根據(jù)CD=AC-AD求出CD；當(dāng)BE=BD=43時(shí)，根據(jù)AE=AB-BE可得AE；當(dāng)BE=DE時(shí)，∠EDB=∠ABD=30°，由外角的性質(zhì)可得∠AED=∠EDB+∠ABD=60°，利用內(nèi)角和定理可得∠ADE=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的概念進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)BD=DE時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，據(jù)此解答.
11．（3.14﹣π）0+2cs45°﹣|1﹣ 2 |+（ 12 ）﹣1= ．
【答案】4
【解析】【解答】解：原式=1+2× 22 ﹣ 2 +1+2=4，
故答案為：4
【分析】此題的運(yùn)算順序是：先算乘方運(yùn)算，再算乘除運(yùn)算，最后算加減法。易錯(cuò)點(diǎn)：|1﹣2 |=2-1≠1-2，（12）-1=2≠-2。
三、解答題
12．計(jì)算：（ 12 ）﹣2+（π﹣3.14）0﹣| 3?2 |﹣2cs30°．
【答案】解：原式=4+1﹣（2﹣ 3 ）﹣2× 32 =5﹣2+ 3 ﹣ 3 =3
【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式等考點(diǎn)的運(yùn)算．本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡(jiǎn)四個(gè)考點(diǎn)．在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．注意：負(fù)指數(shù)為正指數(shù)的倒數(shù)；任何非0數(shù)的0次冪等于1；二次根式的化簡(jiǎn)是根號(hào)下不能含有分母和能開(kāi)方的數(shù)．
13．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式x?4x2?9÷(1?1x?3)的值，其中x=2sin45°?3tan60°．
【答案】解：原式=x?4(x+3)(x?3)÷(x?3x?3?1x?3)
=x?4(x+3)(x?3)?x?3x?4
=1x+3；
∵x=2sin45°?3tan60°
=2×22?3×3
=2?3，
∴原式=1x+3
=12?3+3
=22．
【解析】【分析】先利用分式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出x的值，最后將x的值代入計(jì)算即可。
四、綜合題
14．如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD，BD．
（1）由AB，BD， AD 圍成的曲邊三角形的面積是；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）求線段DE的長(zhǎng)．
【答案】（1）252+25π4
（2）證明：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC= AB2?AC2 =8．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，
則四邊形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴EFAF=ACBC ，即 EF5=68 ， ∴EF= 154 ，
∴DE=DF+EF= 154 +5= 354 ．
【解析】【解答】解：（1）如圖，連接OD．
∵AB是直徑，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5．
∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD= 12 ∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，則曲邊三角形的面積是
S扇形AOD+S△BOD= 90π×52360 + 12 ×5×5= 252+25π4 ．
故答案為 252+25π4 ；
【分析】（1）連接OD，由AB是直徑知∠ACB=90°，結(jié)合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=45°，從而知∠AOD=90°，根據(jù)曲邊三角形的面積=S扇形AOD+S△BOD可得答案；
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根據(jù)DE∥AB可得OD⊥DE，即可得證；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四邊形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即 EFAF=ACBC ，求得EF的長(zhǎng)即可得．
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F；再分別以B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周長(zhǎng)為4，AE=3，則請(qǐng)直接寫(xiě)出csC的大小為．
【答案】（1）證明：由尺規(guī)作圖可知，AB=AF，AE是∠BAF的角平分線，
∴∠EAB＝∠EAF，
在△AEB和△AEF中，
AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴BE=EF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠FAE，
∴∠AEB＝∠EAB，
∴BE＝AB，
∵EF=BE，AB=AF，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四邊形ABEF是菱形；
（2）12
【解析】【解答】解： (2)連接BF，交AE于G，如圖所示：
∵菱形ABEF的周長(zhǎng)為4，
∴AB=BE=EF=AF=1，
∵GA＝12AE=32，AE⊥BF，
在Rt△AGB中，GF=AF2?AG2=12?(32)2=12，
∴∠FAG＝30°，
∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，
∴在?ABCD中，∠C＝∠BAF＝60°，
∴csC=cs60°=12，
故答案為：12．
【分析】（1）利用菱形的判定方法求解即可；
（2）連接BF，交AE于G，先求出GF=AF2?AG2=12?(32)2=12，再求出∠C＝∠BAF＝60°，最后利用余弦的定義可得答案。
銳角三角函數(shù)的概念
如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．
銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；
銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即；
銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.
同理；；．
注意：
(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．
(2)sinA，csA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫(xiě)成，，，不能理解成sin與∠A，cs與∠A，tan與∠A的乘積．書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫(xiě)字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫(xiě)成“tan∠AEF”，不能寫(xiě)成“tanAEF”；另外，、、常寫(xiě)成、、．
(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．
(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°

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