【專項(xiàng)訓(xùn)練】相似三角形五大模型+訓(xùn)練（共45題） 一、解答題 1．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接DE，BD2=BC·BE. 證明：△BCD∽△BDE. 【答案】證明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBD ， ∵BD2=BC?BE ， ∴BCBD=BDBE ， ∴△BCD∽△BDE. 【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得 ∠DBE=∠CBD ，由 BD2=BC?BE 可得 BCBD=BDBE ，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可得△BCD∽△BDE. 2．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，BC=4，AD=6，CD=2．求證：△BCD∽△ACB． 【答案】證明：∵BC=4，AD=6，CD=2，∴AC=8∴BCAC=24=12CDBC=24=12∴BCAC=CDBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB 【解析】【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似即可判斷． 3．已知線段a，b的比例中項(xiàng)線段c=2，線段a=1，求線段b． 【答案】解：∵c是線段a、b的比例中項(xiàng)， ∴c2=ab， ∴22=1?b， ∴b=4. 【解析】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合題意可得c2=ab，將c=2、a=1代入求解可得b的值. 4．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為12cm，8cm，7cm，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為16cm，24cm，14cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？ 【答案】解：∵7cm14cm=12 ， 8cm16cm=12 ， 12cm24cm=12 ， ∴這兩個(gè)三角形相似 【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似，可知這兩個(gè)三角形相似。 5．已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H （1）求證：MB=MD； （2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時(shí)，求證：四邊形MGCH為矩形． 【答案】證明：（1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖， ∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴AB∥DN， ∴BMMN=AMME， 而點(diǎn)M為AE中點(diǎn)， ∴AM=ME， ∴BM=MN， ∴DM為Rt△BDN的斜邊上的中線， ∴MB=MD； （2）∵AB∥NE， ∴ABNE=AMME=1，即AB=NE， ∵AB=BC，DC=DE， ∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN， ∴△BDN為等腰直角三角形， ∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°， ∵AB=BC，DC=DE， ∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形， ∴∠CED=∠ACB=∠45°， ∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM， ∴CE∥BN，AC∥DM， ∴四邊形MGCH為平行四邊形， 而∠GMH=90°， ∴四邊形MGCH為矩形． 【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DN得到 BMMN=AMME，加上AM=ME，則BM=MN，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到MB=MD； （2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥NE得到ABNE=AMME=1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，則△BDN為等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接著由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，則可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判斷四邊形MGCH為平行四邊形，加上∠GMH=90°，則可判斷四邊形MGCH為矩形． 6．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，AD=2，BD=4，AC=2 3 ．求證：△ACD∽△ABC． 【答案】證明：∵ADAC = 223 = 33 ， ACAB = 236 = 33 ∴ADAC = ACAB ， 又∵∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC 【解析】【分析】通過(guò)所給條件，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，以及他們的夾角相等，即可證三角形相似。 7．已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE＝45°，求證：△ABD∽△DCE； 【答案】解：∵∠BAC=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45° ， ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE ， ∠B=∠ADE=45° ， ∴∠BAD=∠CDE ， ∴△ABD～△DCE ． 【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=45°，再結(jié)合∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠CDE可得∠BAD=∠CDE，即可證明△ABD～△DCE。 8．如圖，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，對(duì)角線 AC 、 BD 交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在 AB 上，且 EO∥BC ，已知 AD=2 ， BC=4 .求 EO 的長(zhǎng). 【答案】解：∵AD∥BC ， ∴ADBC=AOOC ∵AD=2 ， BC=4 . ∴AOOC=12 ∴AOAC=13 ∵EO∥BC ， ∴EOBC=AOAC ∴EO=43 【解析】【分析】首先由AD∥BC可以推出 ADBC=AOOC ，再利用已知條件可以求出 AOAC=13 ，然后由EO∥BC可以得到 EOBC=AOAC ，由此即可求出EO． 9．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點(diǎn)P在BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P移到離點(diǎn)B多遠(yuǎn)時(shí)，△APB和△CPD相似？ 【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， ∴當(dāng) ABDP=BPCD 或 ABCD=BPDP 時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形， ∵AB=6，CD=4，BD=14， ∴614?BP=BP4 或 64=BP14?BP ， 解得：BP=2或12或 425 ， 即PB=2或12或 425 時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形 【解析】【分析】由題意得出∠B=∠D=90°，根據(jù)相似三角形的判定得出當(dāng) ABDP=BPCD 或 ABCD=BPDP 時(shí)，△PAB與△PCD是相似三角形，代入求出即可． 10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求證：△DEH∽△BCA． 【答案】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠D+∠DHE＝∠B+∠BHF＝90° 而∠BHF＝∠DHE， ∴∠D＝∠B， 又∵∠DEH＝∠C＝90°， ∴△DEH∽△BCA． 【解析】【分析】△DEH與△ABC均為直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一組銳角對(duì)應(yīng)相等即可． 11．如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，若∠APB=120°，求證：△ACP∽△PDB． 【答案】證明：∵△PCD為等邊三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°． ∴∠ACP=∠PDB=120°． ∵∠APB=120°， ∴∠A+∠B=60°． ∵∠PDB=120°， ∴∠DPB+∠B=60°． ∴∠A=∠DPB． ∴△ACP∽△PDB． 【解析】【分析】先證明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可證明∠A=∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB． 12．如圖所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)E，AB=6cm，CD=12cm，求EF． 【答案】解：∵AB∥CD， ∴CEAE=CDAB=126=2 ， ∴CEAC=CEAE+CE=21+2=23 ， ∵AB∥EF， ∴EFAB=CEAC ， 即 EF6=23 ， 解得EF=4cm 【解析】【分析】由AB∥CD，可得出對(duì)應(yīng)相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，就可求出EF的長(zhǎng)。 13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE、AD交于點(diǎn)P.求證： (1)D是BC的中點(diǎn)； (2)△BEC∽△ADC. 【答案】證明：(1)∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴D是BC的中點(diǎn)； (2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90°， 即∠CEB＝∠CDA＝90°， ∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC. 【解析】【分析】考查相似三角形的判定。 14．如圖．在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且AD：DC=2：3，BD與CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD． 【答案】解：取AD的中點(diǎn)G，并連接EG在△ABD中，E是AB的中點(diǎn)，由題知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．設(shè)S△DEF=x，則S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= 23 S△DEC= 83 x，S△ACE= 83 x+4x= 203 x，又因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以S△ACE= 12 S△ABC=20，∴203 x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= 83 x=8，∴S?AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11 【解析】【分析】首先取AD的中點(diǎn)G，并連接EG，由中位線定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，進(jìn)而得到S△DFC：S△DFE的比值；設(shè)S△DEF=x，則S△DFC=3x，S△DEC=4x，根據(jù)AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，進(jìn)而用含x的代數(shù)式表示出S△EAD、S△ACE；然后結(jié)合三角形面積建立方程求得x值，即可由S四邊形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。 15．在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，EC＝4， ADDB=AEEC 。 （1）求AD的長(zhǎng)； （2）試問(wèn) DBAB=ECAC 能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。 【答案】（1）解：設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm， x：12-x=6：4， 解得x=7.2， ∴AD=7.2 （2）解：能， 由AB＝12，AD＝ 365 ， 故DB＝ 245 . 于是 DBAB=25 ， 又 ECAC=410=25 ， 故 DBAB=ECAC . 【解析】【分析】（1）由題意設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm，將AD、DB、AE、EC代入已知的比例式計(jì)算即可求解； （2）由（1）中計(jì)算的AD可求得BD的長(zhǎng)，分別計(jì)算DB：AB和EC：AC的值即可判斷。 16．如圖， （1）若AE：AB=　 　，則△ABC∽△AEF； （2）若∠E=　 　，則△ABC∽△AEF． 【答案】（1）AF：AC （2）∠B 【解析】【解答】解：⑴若AE：AB=AF：AC，則△ABC∽△AEF； ⑵若∠E=∠B，則△ABC∽△AEF． 故答案為：AF：AC；∠B 【分析】（1）找到對(duì)應(yīng)邊成比例關(guān)系，即可證相似。（2）找到對(duì)應(yīng)角相等，可證相似。 17．如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，且∠EBC＝∠ECB． （1）求證：AE＝ED； （2）連接BD交CB于點(diǎn)F，求△BCF和△DEF的面積之比． 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°， ∵∠EBC＝∠ECB， ∴EB＝EC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）， ∴AE＝ED （2）解：∵BC＝AD，AE＝ED， ∴BC＝2DE， ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴S△DEFS△BCF=(DEBC)2=14 【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根據(jù)“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等且一角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”這一定理可推出△ABE≌△DCE，則AE=DE； （2）由于AD//BC，BD與CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”這一性質(zhì)可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。 18．閱讀材料，回答問(wèn)題 在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CF⊥DE，F(xiàn)為垂足． （1）△CDF與△DEA是否相似？說(shuō)明理由； （2）求CF的長(zhǎng)． 【答案】（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB∥CD， ∴∠CDF=∠DEA． 又CF⊥DE， ∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A， 因而，△ADE∽△FCD （2）解：由題意知，AD=CD=1，AE= 12 ． 在直角△DEA中，有DE= AD2+AE2 = 12+(12)2 = 52 ． 由（1）可得： CFAD = CDDE ，則CF= AD?CDDE = 255 【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，由兩角法證明△ADE∽△FCD； （2）根據(jù)勾股定理及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解。 19．如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）． （1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC； （2）當(dāng)△APQ與△CQB相似時(shí)，AP的長(zhǎng)為　 ?。?（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值． 【答案】（1）解：由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x ∴4x20 = 30?3x30 ∴x= 103 ； （2）409 cm或20cm （3）解：當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3時(shí)， CQAC = 13 ， ∴AQCQ=21 ， 由（1）知，PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴APPB=AQCQ=2 ， ∴S△APQ：S△ABQ=2． 【解析】【解答】解： （2）假設(shè)兩三角形可以相似， 情況1：當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，CQ：AP=BC：AQ， 即有 3x4x = 2030?3x 解得x= 109 ， 經(jīng)檢驗(yàn)，x= 109 是原分式方程的解． 此時(shí)AP= 409 cm， 情況2：當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，CQ：AQ=BC：AP， 即有 3x30?3x = 204x 解得x=5， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解． 此時(shí)AP=20cm． 綜上所述，AP= 409 cm或AP=20cm； 故答案為： 409 cm或20cm； 【分析】（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時(shí)間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．已知了∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值；（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3時(shí)， CQAC = 13 ，于是得到 AQCQ=21 ，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到 APPB=AQCQ=2 ，即可得到結(jié)論． 20．如圖，DB過(guò)⊙O的圓心，交⊙O于點(diǎn)A、B，DC是⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，已知∠D＝30°，DC＝ 3 ． （1）求證：△BOC∽△BCD； （2）求△BCD的周長(zhǎng)． 【答案】（1）證明：∵DC是⊙O的切線， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=30°， ∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°， ∵OB=OC， ∴∠B=∠OCB=30°， ∴∠DCB=120°=∠BOC， 又∵∠B=∠D=30°， ∴△BOC∽△BCD； （2）解：∵∠D=30°，DC= 3 ，∠OCD=90°， ∴DC= 3 OC= 3 ，DO=2OC， ∴OC=1=OB，DO=2， ∵∠B=∠D=30°， ∴DC=BC= 3 ， ∴△BCD的周長(zhǎng)=CD+BC+DB= 3 + 3 +2+1=3+2 3 ． 【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD=90°，由外角的性質(zhì)可得∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠OCB=30°，所以得到∠DCB=120°=∠BOC，再結(jié)合∠B=∠D=30°，即可證明相似； （2）由直角三角形的性質(zhì)可得OC=1=OB，DO=2，即可求解。 21．如圖，直線 l1∥l2∥l3 ，AC分別交 l1,l2,l3 于點(diǎn)A，B，C；DF分別交 l1,l2,l3 于點(diǎn)D，E，F(xiàn)；AC與DF交于點(diǎn)O.已知DE=3，EF=6，AB=4. （1）求AC的長(zhǎng)； （2）若BE：CF=1：3，求OB：AB. 【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴DEDF=ABAC ，即 33+6=4AC ，解得：AC=12 （2）解：∵l1∥l2∥l3，∴BECF=OBOC=13 . ∵AB=4，AC=12，∴BC=8，∴OB=2，∴OBAB=24=12 . 【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理可得 DEDF=ABAC，代入數(shù)據(jù)即可求出AC的長(zhǎng)； （2）根據(jù)平行線分線段成比例定理可得 BECF=OBOC=13，從而求出OB的長(zhǎng)，從而求出OB：AB的值. 22．請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題： 角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABAC=BDCD． 下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程． 證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．… 任務(wù)： （1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明過(guò)程的剩余部分； （2）如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長(zhǎng)． 【答案】（1）證明；如圖2，過(guò)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E， ∵CE∥AD， ∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴ABAC=BDCD． （2）解；如圖3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC=BC2+AB2=42+32=5， ∵AD平分∠BAC， ∴ACAB=CDBD，即53=CDBD， ∴BD=38BC=38×4=32， ∴AD=BD2+AB2=(32)2+32=325， ∴△ABD的周長(zhǎng)=32+3+325=9+352 【解析】【分析】（1）過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，可得BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，再結(jié)合AE=AC，可得ABAC=BDCD； （2）先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再結(jié)合ACAB=CDBD，即53=CDBD，求出BD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，最后利用三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可。 23．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù) y=6x 的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，AE＝3． 模型1：平行線模型 1.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，若DE＝4，則AB等于（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由DE∥AB，則△CDE∽△CAB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AB． 【解答】解：∵CE：EB＝2：3， ∴CE：CB＝2：5， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B， ∴△CDE∽△CAB， ∴＝， ∵DE＝4， ∴AB＝10， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵． 【變式1-1】如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先說(shuō)明對(duì)邊平行，再利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DF∥AB，ED∥BC． ∵DF∥AB， ∴＝，＝，△EDF∽△EAB． ∴＝． 故選項(xiàng)A、B、D正確； ∵ED∥BC， ∴△EDF∽△BCF． ∴＝≠． 故選項(xiàng)C錯(cuò)誤． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G，且＝． （1）求證：AB∥CD； （2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝． 【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （2）由AE2＝AG?AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG， ∴＝， ∵＝， ∴＝， ∴AB∥CD； （2）∵AE2＝AG?AC， ∴＝， ∵∠EAG＝∠CAE， ∴△AEG∽△ACE， ∴∠AEG＝∠ACE， ∵AD∥BC， ∴∠ACE＝∠DAG， ∴∠DAG＝∠AEG， ∵∠ADG＝∠EDA， ∴△ADG∽△EDA， ∴，即＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】如圖，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，EF：AB＝2：3． （1）若CE＝4，求AE的長(zhǎng)； （2）若CD＝6，求AB的長(zhǎng)； （3）若四邊形ABFE的面積為8，直接寫出△CEF的面積． 【分析】（1）根據(jù)AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解； （2）根據(jù)AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接著得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性質(zhì)最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3； （3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解． 【解答】解：（1）∵AB∥EF， ∴△CEF∽△CAB， ∴EF：AB＝2：3＝CE：CA， ∵CE＝4， ∴2：3＝4：CA， ∴CA＝6， ∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2； （2）∵AB∥EF∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴AB：CD＝AE：CE， ∵EF：AB＝2：3＝CE：CA， ∴CE：EA＝2：1， ∴AE：CE＝AB：CD＝1：2， 而CD＝6， ∴AB＝3； （3）∵△CEF∽△CAB， ∴S△CEF：S△CAB＝＝＝， ∴＝， ∴＝， ∴S△CEF＝． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 模型2：“A”字或反“8”字模型 2.如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，則DE＝（　?。? A． B． C．3 D．2 【分析】通過(guò)∠AED＝∠B，∠A為公共角，證明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DE的長(zhǎng)． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴DE＝， ∵AD＝2，BC＝5，AC＝4， ∴DE＝＝． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)已知可得△ACD∽△ABC，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得AB＝9，進(jìn)而可得BD的長(zhǎng)． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC． ∴． ∵AD＝4，AC＝6， ∴． ∴BD＝AB﹣AD＝5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)已知條件得到△ACD∽△ABC是解題關(guān)鍵． 【變式2-2】如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點(diǎn)E．AE＞BE，若AB＝8，CE＝4，DE＝3，求AE． 【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，證明△AEC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可． 【解答】解：由圓周角定理得：∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△AEC∽△DEB， ∴＝， ∵AB＝8，CE＝4，DE＝3， ∴＝， 整理得：AE2﹣8AE+12＝0， 解得：AE1＝2，AE2＝6， ∵AE＞BE， ∴AE＝6， 答：AE的長(zhǎng)為6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，證明△AEC∽△DEB是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD． （1）求證：△ABE∽△DCE； （2）AE?CD＝BC?ED． 【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE； （2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，進(jìn)而可得結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD， ∴AB：BE＝BD：AB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC， ∴△ABE∽△DCE； （2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE， ∵∠BEC＝∠AED， ∴△ADE∽△BCE， ∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE， ∴△BCD∽△AED， ∴BC：AE＝CD：ED， AE?CD＝BC?ED． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與安定，涉及A字型相似，8字型相似等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)判定是解題關(guān)鍵． 題型3：雙垂直模型（射影定理） 3.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)射影定理計(jì)算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10， 由射影定理得，BC2＝BD?AB， ∴BD＝＝3.6（cm）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，射影定理，直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，AD＝6． （1）求證△ABD∽△CAD； （2）求AC的長(zhǎng)． 【分析】（1）依據(jù)∠BAC＝90°，AD⊥BC，即可得到∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA＝90°，進(jìn)而判定△ABD∽△CAD； （2）依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到CD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出AC的長(zhǎng)． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠C+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠ADB＝∠CDA＝90°， ∴△ABD∽△CAD； （2）∵△ABD∽△CAD， ∴＝， ∴AD2＝BD×CD， ∴CD＝＝＝9， Rt△ACD中，AC＝＝＝3． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．【變式3-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝． （1）求證△ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)． 【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可； （2）根據(jù)已知易證△ACD∽△CBD，然后進(jìn)行解答即可． 【解答】（1）證明：∵＝，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)． （1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； （2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長(zhǎng)． 【分析】（1）根據(jù)判別式等于0可得出三邊的關(guān)系，繼而可判斷出三角形的形狀； （2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用射影定理即可直接解答． 【解答】解：（1）∵兩根相等， ∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）可得：AC2＝AD×AB， ∵AC＝2，AD＝1， ∴AB＝4， ∴BD＝AB﹣AD＝3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，注意掌握射影定理的運(yùn)用． 題型4：一線三等角模型 4.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)． 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得∠BAE＝∠CEF，從而證明△BAE∽△CEF，得出＝，即可解決問(wèn)題． 【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BAE∽△CEF， ∴＝， ∵AB＝BC， ∴， ∴， ∴CE＝4， ∴BC＝CE+BE＝4+2＝6， ∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟悉基本幾何模型是解題的關(guān)鍵． 【變式4-1】如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°． （1）證明：△BDA∽△CED． （2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時(shí)，求BD的長(zhǎng)． 【分析】（1）∠B＝∠C＝45°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可證明∠ADB＝∠DEC，從而可證明兩個(gè)三角形相似； （2）由AE＝ED，得出AD垂直平分BC，求出BD的長(zhǎng)度即可． 【解答】（1）證明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC， 而∠ADC＝∠ADE+∠EDC． ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADC＝45°+∠EDC， ∴∠AED＝∠ADC． ∴∠DEC＝∠ADB（等角的補(bǔ)角相等）． 而∠B＝∠C＝45°， ∴△ABD∽△DCE． 故△ABD∽△DCE得證． （2）解：當(dāng)AE＝DE時(shí)， ∴∠ADE＝∠DAE， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°， ∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°， ∴AD平分BAC， ∴AD垂直平分BC， ∴BD＝3． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式4-2】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD． （1）若AP＝3，求BD的長(zhǎng)； （2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD． 【分析】（1）利用一線三等角模型證明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠PCD＝∠ACP，從而可得∠PCD＝∠DPB，然后證明△CPD∽△PBD，即可解答． 【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴＝， ∴＝， ∴BD＝， ∴BD的長(zhǎng)為； （2）證明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴＝， ∴PD2＝CD?BD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵． 題型5：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)相似 5.已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC． 【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性質(zhì)得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論． 【解答】證明：∵△ABD∽△ACE， ∴， ∴， 而∠DAE＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了相似三角形的性質(zhì)． 【變式5-1】如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE （2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少 【分析】（1）根據(jù)題目給的兩組角相等即可得相似； （2）根據(jù)（1）中相似可證△AEC∽△ADB，進(jìn)而可求其相似比． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE； （2）∵AC：BC＝3：4， 設(shè)AC＝3x，則BC＝4x， ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝＝5x， ∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠EAC＝∠DAB，， ∴△AEC∽△ADB， ∴， 即BD：CE＝5：3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形中的“手拉手”模型是解題關(guān)鍵． 【變式5-2】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE． （1）求證：△ACD∽△BCE； （2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積． 【分析】（1）由題意可知，又∠ACD＝∠BCE，從而證明結(jié)論； （2）過(guò)A作AG⊥CD于G，則△AGC是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題． 【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵， ∴△ACD∽△BCE； （2）解：過(guò)A作AG⊥CD于G， 由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°， ∴AG＝CG， 在Rt△ACG中，由勾股定理得： ∴CG＝AG＝3， ∴S＝＝． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部