高中人教A版 (2019)7.2 復數(shù)的四則運算教案

這是一份高中人教A版 (2019)7.2 復數(shù)的四則運算教案，共5頁。

教學基本信息
課題
7.2.2復數(shù)的乘、除運算
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書《數(shù)學》必修第二冊
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教學目標及教學重點、難點
教學目標：
知識與技能目標：理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則。
過程與方法目標：在問題探究過程中，體會和學習類比等數(shù)學思想方法，感悟運算形成的基本過程。
情感、態(tài)度與價值觀目標：培養(yǎng)類比思想和逆向思維；通過復數(shù)的乘除法的學習，體會實虛數(shù)的矛盾和統(tǒng)一，加深對數(shù)學的情感認識。
教學重點：復數(shù)代數(shù)形式的乘、除法的運算法則及其運算律。
教學難點：復數(shù)除法的運算法則。
教學方法：探究法。
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設(shè)置意圖
引入
各位同學，大家好。今天這節(jié)課我們將探討復數(shù)的乘法、除法運算。經(jīng)過前面的學習，我們了解了復數(shù)的概念，以及復數(shù)加減法運算及其幾何意義。復數(shù)的加法和減法法則，類似多項式的加減法，是將復數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加減。從幾何意義的角度出發(fā)，復數(shù)的加法可以按照向量的加法（平行四邊形法則）來進行，復數(shù)的減法可以按照向量的減法（三角形法則）來進。一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。
通過上節(jié)課的探究，我們發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的加減法與實數(shù)中多項式的加減法類似，那么，復數(shù)的乘除運算，是否也有這個規(guī)律呢？接下來讓我們一起來探究一下。
復習復數(shù)的加減法運算及其幾何意義相關(guān)知識，通過復數(shù)加減法運算與實數(shù)運算的對比，引出復數(shù)乘除法的運算法則。
新課
（一）復數(shù)的乘法法則：
我們規(guī)定，復數(shù)的乘法法則如下：
設(shè)，那么他們的積
根據(jù)復數(shù)的乘法法則，請同學們思考一下問題：
問題（1）：兩個復數(shù)的積是個什么數(shù)？它的的值唯一確定嗎？
通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，兩個復數(shù)的積仍是復數(shù)，它的值唯一確定。
問題（2）：當都是實數(shù)時，與實數(shù)乘法法則一致嗎？
根據(jù)法則，我們發(fā)現(xiàn)，當時，都是實數(shù)，復數(shù)的乘法與實數(shù)乘法法則一致。
問題（3）：復數(shù)的乘法類似于實數(shù)的哪種運算方法?
兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結(jié)果中把換成，并且把實部與虛部分別合并即可。
通過以上探究，我們知道，兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù)，且唯一確定，運算中與實數(shù)的乘法法則保持一致，類似于兩個多項式相乘。
（二）復數(shù)乘法的運算律
復數(shù)的加法滿足實數(shù)運算中的運算律，那么，復數(shù)的乘法是否滿足實數(shù)乘法的運算律呢？復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律。以為例，讓我們一起驗證。
設(shè)，
根據(jù)乘法的運算法則：
所以，
同理可證，
（三）復數(shù)的除法法則
與復數(shù)減法法則的推導方法類似，我們利用復數(shù)的減法是復數(shù)加法的逆運算，利用復數(shù)的加法法則，推導出了復數(shù)的減法法則?，F(xiàn)在我們依據(jù)，復數(shù)的除法是乘法的逆運算，利用復數(shù)的乘法法則，去推導復數(shù)的除法法則。即把滿足的復數(shù)，叫做復數(shù)的商。
計算，得到，
計算，得到，，
由復數(shù)相等的定義，得，聯(lián)立以上兩個等式，
解這個二元一次方程組，用加減消元法比較簡單，最終解得。
以上，就是復數(shù)除法法則的探究過程。
設(shè)，復數(shù)的除法法則是：
，由此可見，兩個復數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個確定的復數(shù)。
說明：在進行復數(shù)的除法運算時，通常先把寫成的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數(shù)，即
這里分子分母都乘分母的“實數(shù)化因式”（共軛復數(shù)），從而使分母“實數(shù)化”。
與實數(shù)多項式的乘法進行類比，有利于學生理解復數(shù)的乘法法則。同時培養(yǎng)學生類比的核心素養(yǎng)。
引導學生根據(jù)復數(shù)的加法滿足實數(shù)加法的運算律，大膽嘗試推導復數(shù)乘法的運算律。培養(yǎng)學生的學習興趣和勇于探索的精深。
通過將復數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成分式的除法，再類比實數(shù)中的分母有理化，對分母進行實數(shù)化，通過該化簡的過程，幫助學生理解復數(shù)的除法法則。滲透類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，體會數(shù)學知識的緊密聯(lián)系。
例題
（一）復數(shù)的乘法對應例題
例，計算
分析：復數(shù)的乘法，類似于多項式乘法，從左到右進行計算。
解：
例，計算
分析：可以利用復數(shù)的乘法法則計算，也可以用與實數(shù)系相對應的乘法公式計算
解：
（二）復數(shù)的除法對應例題
例，計算
分析：先將除法化成分式的形式，在進行分母實數(shù)化運算。
解
例，在復數(shù)范圍內(nèi)解下列方程
及時運用新的理論知識，進行應用和鞏固練習，讓學生體驗成功。使學生實現(xiàn)從掌握知識到運用知識的轉(zhuǎn)化。
在計算的過程中，鍛煉學生的計算能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的核心能力。
在熟練應用復數(shù)的乘法除法運算法則之余，進行提升練習。讓學生先獨立思考，提高學生的建構(gòu)能力及主動發(fā)現(xiàn)問題，探究問題的能力。分層教學，讓不同能力水平的學生學有所得。
總結(jié)
（1）復數(shù)代數(shù)形式的乘法法則：
兩個復數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得結(jié)果中把換成，并且把實部與虛部分別合并即可。
（2）復數(shù)代數(shù)形式的除法法則：
在進行復數(shù)的除法運算時，通常先把寫成的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數(shù)，將分母“實數(shù)化”。
通過課堂小結(jié)，增強學生對復數(shù)代數(shù)形式的乘法除法運算的理解。引導學生自我反饋、自我總結(jié)，并對所學知識進行提煉升華。
作業(yè)
1.計算：


2.計算：

3.計算：


4.在復數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：

課后鞏固，
知識升華。