高中數(shù)學(xué)7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算優(yōu)質(zhì)教案

這是一份高中數(shù)學(xué)7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算優(yōu)質(zhì)教案，共4頁。教案主要包含了預(yù)習(xí)課本，引入新課，新知探究，典例分析，課堂小結(jié)，板書設(shè)計，作業(yè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與多項式乘法是類似的，不同的是即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是通過分子分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的素材.
課程目標(biāo)：
1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；
2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律;
3.理解且會求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.
數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)
1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則;
2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo);
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算;
4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題.
重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算．
難點(diǎn)：求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.
教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練.
教學(xué)工具：多媒體.
情景導(dǎo)入
前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算，根據(jù)多項式的乘法、除法運(yùn)算法則猜測復(fù)數(shù)的乘法、除法滿足何種運(yùn)算法則？
要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.
二、預(yù)習(xí)課本，引入新課
閱讀課本77-79頁，思考并完成以下問題
1、復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則是什么？
2、復(fù)數(shù)乘法的多項式運(yùn)算與實(shí)數(shù)的多項式運(yùn)算法則是否相同？如何應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)解決問題？
要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。
三、新知探究
1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
[提示]復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．
2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對于任意z1，z2，z3∈C，有
3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則
(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)
四、典例分析、舉一反三
題型一 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
例1 計算下列各題．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i.
【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.
解題技巧（復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算技巧）
1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法
(1)首先按多項式的乘法展開．
(2)再將i2換成－1.
(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i.
跟蹤訓(xùn)練一
1．計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( )
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13iD．－13－2i
【答案】D.
【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
2．若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】B.
【解析】因為z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)，
又此點(diǎn)在第二象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.
題型二 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算
例2計算(1＋2i)÷(3－4i).
【答案】-15+25i.
【解析】 原式=1+2i3-4i=1+2i3+4i3-4i3+4i=-5+10i25=-15+25i.
解題技巧： (復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算技巧)
1．兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟
(1)首先將除式寫為分式；
(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；
(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
跟蹤訓(xùn)練二
1．復(fù)數(shù)z＝eq \f(1,1＋i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________.
【答案】eq \f(\r(2),2).
【解析】∵z＝eq \f(1,1＋i)＝＝eq \f(1－i,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，
∴|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2).
2．計算：eq \f(?1＋i??4＋3i?,?2－i??1－i?)＝________.
【答案】－2＋i.
【解析】＝eq \f(1＋7i,1－3i)＝＝－2＋i.
題型三 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問題
例3 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：
（1）；
（2），其中，且．
【答案】 （1）方程的根為．
（2）方程的根為．
【解析】（1）因為，所以方程的根為．
（2）將方程配方，得，
．
所以原方程的根為．
解題技巧（解決復(fù)數(shù)方程根問題的技巧）
與復(fù)數(shù)方程有關(guān)的問題，一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解．根與系數(shù)的關(guān)系仍適用，但判別式“Δ”不再適用．
跟蹤訓(xùn)練三
1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c為實(shí)數(shù))．
(1)求b，c的值；
(2)試判斷1－i是否是方程的根．
【答案】(1)b＝－2，c＝2. (2)1－i也是方程的一個根．
【解析】(1)因為1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2.
(2)將方程化為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個根．
五、課堂小結(jié)
讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧
六、板書設(shè)計
7.2.2 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算
1. 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 例1 例2 例3
2. 復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
3. 復(fù)數(shù)的除法

七、作業(yè)
課本80頁練習(xí)，80頁習(xí)題7.2的剩余題.
本節(jié)課主要是在學(xué)生了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，類比多項式的乘除運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，使學(xué)生對知識更加融會貫通.尤其在例3，使學(xué)生對方程的根有了更深刻的認(rèn)識.交換律
z1·z2＝z2·z1
結(jié)合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法對加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3